準対称関数

代数学、特に代数的組合せ論において、準対称関数とは、可算個の変数を持つ形式的冪級数環の部分環である準対称関数の環の任意の要素である。この環は対称関数の環を一般化する。この環は、 n が無限大に近づくにつれて、n変数の準対称多項式の環の特定の極限として実現できる。この環は、準対称多項式間の関係を変数の数nに依存しない方法で表現できる普遍構造として機能する(ただし、その要素は多項式でも関数でもない)。

準対称関数の環（ QSym と表記）は、整数などの 任意の可換環 R上で定義できます。準対称関数は、Rに係数を持つ変数の有界次数のべき級数であり、単項式の係数が、変数を添え字とする任意の正の整数の厳密に増加する列と指数の任意の正の整数列に対して 単項式の係数に等しいという意味でシフト不変です。^{[1]準対称関数の研究の多くは、}対称関数 の研究に基づいています。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots }$${\displaystyle x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{k}^{\alpha _{k}}}$${\displaystyle x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots x_{i_{k}}^{\alpha _{k}}}$${\displaystyle i_{1}$${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})}$

有限変数の準対称関数は準対称多項式である。対称多項式と準対称多項式はどちらも、変数の多項式環 に対する対称群の作用によって特徴付けられる。そのような作用の 1 つは変数を置換し、連続するインデックスを持つ変数のペアを反復的に交換することで多項式を変更する 。このようなすべての交換によって変化しない多項式は、対称多項式の部分環を形成する。2 番目の作用は条件付きで変数を置換し、両方の変数を含む単項式を除いて変数の ペアを交換することで多項式を変更する。 ^{[2] [3]} このようなすべての条件付き交換によって変化しない多項式は、準対称多項式の部分環を形成する。4 変数の準対称多項式の 1 つは多項式である。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle p(x_{1},\dots,x_{n})}$${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle p(x_{1},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{4}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}.\,}$

これらの単項式を含む最も単純な対称多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{4}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}x_{4}+x_ {1}x_{3}^{2}x_{4}+x_{2}x_{3}^{2}x_{4}\\{}+x_{1}x_{2}x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}x_{4}^{2}+x_{1}x_{3}x_{4}^{2}+x_{2}x_{3}x_{4}^{2}.\,\end{aligned}}}$

QSymは次数付きR代数であり、次 のように分解される。

${\displaystyle \operatorname {QSym} =\bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {QSym} _{n},\,}$

ここで、 は次数 の同次であるすべての準対称関数の-範囲です。の2 つの自然な基底は、の合成によってインデックス付けされた単項式基底と基本基底で、 と表記されます。単項式基底はとすべての形式的なべき級数 で構成されます。${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}}$ ${\displaystyle \{M_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{F_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha \vDash n}$${\displaystyle M_{0}=1}$

${\displaystyle M_{\alpha }=\sum _{i_{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots x_{i_{k}}^{\alpha _{k}}.\,}$

基本的な基礎は、すべての形式的な冪級数から 成ります${\displaystyle F_{0}=1}$

${\displaystyle F_{\alpha}=\sum _{\alpha \succeq \beta}M_{\beta},\,}$

ここで、は、の隣接する部分を足し合わせることで得られることを意味します。例えば、(3,2,4,2)   (3,1,1,1,2,1,2) です。したがって、環が有理数環である場合、 ${\displaystyle \alpha \succeq \beta }$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \succeq}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}=\operatorname {span} _{\mathbb {Q} }\{M_{\alpha }\mid \alpha \vDash n\}=\operatorname {span} _{\mathbb {Q} }\{F_{\alpha }\mid \alpha \vDash n\}.\,}$

すると、対称関数 の代数を、単項式対称関数とすべての形式的冪級数で張られたQSymの部分代数として定義することができ、ここで和は整数分割に並べ替えられるすべての合成にわたって成り立つ。さらに、が成り立つ。例えば、${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{0}\oplus \Lambda _{1}\oplus \cdots }$ ${\displaystyle m_{0}=1}$${\displaystyle m_{\lambda }=\sum M_{\alpha },}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Lambda _{n}=\Lambda \cap \operatorname {QSym} _{n}}$${\displaystyle F_{(1,2)}=M_{(1,2)}+M_{(1,1,1)}}$${\displaystyle m_{(2,1)}=M_{(2,1)}+M_{(1,2)}.}$

準対称関数の他の重要な基底には、準対称シュア関数の基底^[4] 、 「タイプI」および「タイプII」の準対称べき和^{[5] 、マトロイドの列挙に関連する基底[6] [7]}などがある。

準対称関数は、列挙的組合せ論、対称関数論、表現論、および数論に応用されている。準対称関数の応用には、P 分割の列挙、^{[8] [9]} 順列、^{[10] [11] [12] [13]}タブロー、^[14]ポセットの連鎖、^{[14] [15]}有限コクセター群の簡約分解（スタンレー対称関数経由）、^{[14]パーキング関数[16]}などがある。対称関数論と表現論では、シューベルト多項式、^{[17] [18]}マクドナルド多項式、^[19] ヘッケ代数、^[20]カジダン・ルスティッヒ多項式^[21 ]の研究に応用されている。準対称関数は、多くの場合、組合せ構造と対称関数の間に強力な橋渡しを提供する。

次数付きホップ代数として、準対称関数の環の双対は非可換対称関数の環である。すべての対称関数は準対称関数でもあるため、対称関数の環は準対称関数の環の部分代数である。

準対称関数の環は、単一の特性を持つ次数付きホップ代数のカテゴリにおける終端オブジェクトです。^[22] したがって、そのようなホップ代数は準対称関数の環への射を持ちます。

その一例がピーク代数である。^[23]

マルヴェヌート・ロイテナウアー代数^{[24]は、対称関数、準対称関数、}非可換対称関数の環（それぞれSym、QSym、NSymと表記）を次の可換図のように関連付ける順列に基づくホップ代数である。前述のQSymとNSymの双対性は、この図の主対角線に反映されている。

多くの関連するホップ代数は、アギアールとマジャハンによって種のカテゴリのホップモノイドから構築されました。^[25]

非可換変数の準対称関数の環を構成することもできる。^{[3] [26]}

• 準対称関数に関する BIRS ワークショップ