完全同次対称多項式

完全同次対称多項式は、tに関する形式的冪級数の次の恒等式によって特徴付けられる。

$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}\sum _{j=0}^{\infty }(X_{i}t)^{j}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-X_{i}t}}}$

（これは、完全な同次対称多項式の母関数、または母級数と呼ばれます。）ここで、最終式の各分数は、中間式の因数である形式的な等比級数を表す通常の方法です。等式は、これらの等比級数の積がどのように形成されるかを考慮することで正当化できます。積の各因数は、各等比級数から選択された 1 つの項を掛け合わせることによって得られ、変数X _iのすべての単項式は、そのような項の選択の 1 つに対してのみ得られ、単項式の次数に等しいtのべき乗が掛けられます。

上記の式は、マクマホンのマスター定理の特殊な場合と見なすことができる。右辺は次のように解釈できる。${\displaystyle 1/\!\det(1-tM)}$どこ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$そして${\displaystyle M={\text{diag}}(X_{1},\ldots ,X_{N})}$左側では、完全な同次対称多項式は、マクマホン式に現れる多項係数の特殊な場合として識別できます。

標準的な計算を行うと、生成関数は次のように書くこともできます。$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})\,t^{k}=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }(X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}){\frac {t^{j}}{j}}\right)}$$これは、プレチスティクス指数関数のべき級数展開である。${\displaystyle (X_{1}+\cdots +X_{n})t}$（そして、${\displaystyle p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}}$はまさにj乗和対称多項式である。

基本的な対称多項式と完全な同次多項式の間には、根本的な関係が存在する。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{m-i}(X_{1},\ldots ,X_{n})=0,}$

これは、 m > 0 のすべての場合、および任意の数の変数nに対して有効です。これが成り立つことを示す最も簡単な方法は、完全な同次多項式について上で示したものと同様の、 tに関する形式的べき級数の恒等式から学ぶことです。これは、プレチスティック指数関数を用いて次のように表すこともできます。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})(-t)^{k}=\prod _{i=1}^{n}(1-X_{i}t)=PE[-(X_{1}+\cdots +X_{n})t]}$

（これは実際にはtに関する多項式の恒等式です。なぜなら、e _n ( X ₁ , ..., X _n )の後、基本対称多項式はゼロになるからです。）これを完全同次対称多項式の生成関数で乗算すると、定数級数 1 が得られます（同等に、プレシスティック指数関数は指数関数の通常の性質を満たします）。そして、基本同次多項式と完全同次多項式の関係は、t ^mの係数を比較することによって得られます。この関係を理解するためのもう少し直接的な方法は、次数mの固定された単項式X ^αを含む総和における寄与を考慮することです。単項式に非ゼロ指数で現れる変数の任意の部分集合Sに対して、それらの変数の積X _Sをe _s ( X ₁ , ..., X _n )の項として含む寄与があり、ここでs = # Sであり、単項式⁠ X ^α / X _S ⁠ はh _{m − s} ( X ₁ , ..., X _n )から得られます。この寄与の係数は(−1) ^sです。この関係は、次の事実から導かれます。

${\displaystyle \sum _{s=0}^{l}{\binom {l}{s}}(-1)^{s}=(1-1)^{l}=0\quad {\mbox{for }}l>0,}$

二項式によれば、l < m は_{X α に現れる（非ゼロ指数を持つ）異なる変数の数を表す。e 0 ( X 1 , ..., X n ) と h 0} ( ^X 1 , ..., X n ) はどちらも 1 に等しいので、この関係_から総和の_最初の項または_最後の項_を分離する_ことができる。前者は次の式を与える。

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})+e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}}$

などによって、連続する完全同次対称多項式を基本対称多項式で再帰的に表現することが可能になり、後者は一連の方程式を与える。

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}}$

などなど、逆の操作も可能になります。最初のn個の基本的および完全な同次対称多項式は、これらの関係において全く同様の役割を果たしますが、前者の多項式はゼロになるのに対し、後者はゼロになりません。この現象は、対称関数の環の設定で理解できます。この環には、 n 個の基本的および最初のn 個の完全な同次対称関数の列を交換する環自己同型があります。

n個の変数に関する次数1からnまでの完全な同次対称多項式の集合は、n個の変数に関する対称多項式の環を生成する。より具体的には、整数係数を持つ対称多項式の環は、整数多項式の環に等しい。

${\displaystyle \mathbb {Z} {\big [}h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big ]}.}$

これは次のように定式化できる。

${\displaystyle h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$

整数係数を持つX ₁ , ..., X _nの対称多項式環の超越基底を形成する（基本対称多項式の場合も同様）。環についても同様である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数を他の可換環に置き換えた場合。これらの記述は、いずれかの種類の対称多項式をもう一方の種類の対称多項式で表現できる可能性が示されているため、基本的な対称多項式に関する同様の記述から導かれます。

完全同次多項式および基本対称多項式の整数値における評価は、スターリング数と関連している。

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}(1,2,\ldots ,k)&=\left\{{\begin{matrix}n+k\\k\end{matrix}}\right\}\\e_{n}(1,2,\ldots ,k)&=\left[{k+1 \atop k+1-n}\right]\\\end{aligned}}}$

多項式h _k ( X ₁ , ..., X _n )は、例えばX ₁ , ..., X _nにおける次数kのすべての異なる単項式対称多項式の和​​でもあります。

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})\\&=\left(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}\right)+\left(X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\right)+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}}$

同次対称多項式に対するニュートンの恒等式は、単純な再帰式を与える。

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},}$

どこ${\displaystyle h_{k}=h_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})}$そしてp _kはk乗和対称多項式です。 ${\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=X_{1}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}}$上記のとおり。

小規模向け${\displaystyle k}$我々は持っています

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}}$

n次元ベクトル空間Vと、固有値X ₁ , X ₂ , ..., X _nを持つ線形演算子M  : V → Vを考えます。Sym ^k ( V )をそのk番目の対称テンソルべき乗とし、M ^{Sym( k )}を誘導演算子Sym ^k ( V ) → Sym ^k ( V )とします。

命題：

${\displaystyle \operatorname {Trace} _{\operatorname {Sym} ^{k}(V)}\left(M^{\operatorname {Sym} (k)}\right)=h_{k}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}).}$

証明は簡単だ。Mの固有基底e _iを考える。Sym k ( V )の基底は、ⁱ 1 _≤ i 2 _≤ ... ≤ i _kの列でインデックス付けできる。実際、対称化を考える。

${\displaystyle e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}}$。

これらのベクトルはすべて、固有値を持つM ^{Sym( k )}の固有ベクトルです。

${\displaystyle X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}$

したがって、この命題は真である。

同様に、基本的な対称多項式は反対称テンソルべき乗のトレースによって表現できます。どちらの表現も、シュール関数のトレースとしてのシュール多項式の表現に含まれており、これはGL( V )のワイル指標公式と見なすことができます。

変数を置き換えると${\displaystyle X_{i}}$のために${\displaystyle 1+X_{i}}$対称多項式${\displaystyle h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})}$ は、​${\displaystyle h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$、 のために${\displaystyle 0\leq j\leq k}$、

${\displaystyle h_{k}(1+X_{1},\ldots ,1+X_{n})=\sum _{j=0}^{k}{\binom {n+k-1}{k-j}}h_{j}(X_{1},\ldots ,X_{n}).}$

^{[ 1 ]}の補題3.5にある証明は、増加関数の組み合わせ的性質に基づいている。${\displaystyle k}$-タプル${\displaystyle (i_{1},\ldots ,i_{k})}$どこ${\displaystyle 1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}$。