リンドラー座標

リンドラー座標は、特殊相対性理論において、平坦な時空における等加速参照系の双曲的加速を記述するために使用される座標系である。相対論的物理学において、双曲的加速参照系^{[H 1] [1]}の座標は、平坦なミンコフスキー時空の一部を表す重要かつ有用な座標チャートを構成する。^{[2] [3] [4] [5]}特殊相対性理論では、等加速する粒子は双曲運動をするため、粒子が静止している等加速参照系を固有参照系として選ぶことができる。この双曲的加速系における現象は、一様重力場で生じる効果に例えることができる。平坦時空における加速の一般的な概要については、「加速 (特殊相対性理論)」および「固有参照系 (平坦な時空) 」を参照してください。

この記事では、光速はc = 1、慣性座標は( X、Y、Z、T )、双曲座標は( x、y、z、t )と定義されます。これらの双曲座標は、加速される観測者の位置に応じて、主に 2 つの種類に分けられます。観測者が時間T = 0に位置X = 1/α ( αは共動加速度計によって測定される一定の固有加速度) にいる場合、双曲座標は対応するリンドラー計量とともにリンドラー座標と呼ばれることがよくあります。^{[6]観測者が時間}T = 0に位置X = 0にいる場合、双曲座標は、対応するコットラー・モラー計量とともに、モラー座標^[1]またはコットラー・モラー座標と呼ばれることがあります。^[7]双曲運動する観測者に関連する別のチャートは、レーダー座標^[8]を使用することで得られます。これはラス座標と呼ばれることもあります。^{[9] [10]}コットラー・モラー座標とラス座標はどちらもリンドラー座標とも呼ばれます。^[11]

歴史を振り返ると、このような座標は特殊相対性理論の登場直後に導入され、双曲運動の概念と並行して（完全にまたは部分的に）研究されました。平坦なミンコフスキー時空との関係では、アルベルト・アインシュタイン（1907、1912）、^{[H 2]} マックス・ボルン（1909） 、[ ^{H 1 ] アルノルド} ・ゾンマーフェルト（1910）、^{[H 3]マックス} ・フォン・ラウエ（1911）、 [ ^{H 4]ヘンドリック・ローレンツ（1913）、 [H 5]}フリードリヒ・コットラー（ 1914） 、 ^{[H 6 ]}ヴォルフガング・パウリ（1921）、^{[H 7]}カール・ボラート（1922）、^{[H 8]}ステパン・モホロビチッチ（1922）、^{[H 9]}ジョルジュ・ルメートル（1924）、^{[H 10]}アインシュタインとネイサン・ローゼン（1935）、^{[H 2]}クリスチャン・モラー（1943、1952）、^{[H 11]}フリッツ・ローリッヒ（1963）、^[12]ハリー・ラス（1963）、^{[13]そして、}一般相対性理論の平坦な時空と曲がった時空の両方との関係では、ヴォルフガング・リンドラー（1960、1966）による。 ^{[14] [15]詳細と出典については、} § 歴史を参照してください。

双曲運動する物体の世界線は、固有時間とラピディティの関数として、-方向に一定の固有加速度を持ち、次のように表される。^[16]${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \alpha \tau}$

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha \tau ),\quad X=x\cosh(\alpha \tau )}$

ここでは定数、は変数であり、世界線は双曲線 に似ています。ゾンマーフェルト^{[H 3] [17]}は、を変数、 を定数として定義することで方程式を再解釈できることを示しました。これにより、共動観測者によって測定された双曲運動中の物体の同時「静止形状」を表します。 と設定して観測者の固有時間を双曲的に加速されたフレーム全体の時間として使用することにより、慣性座標と双曲座標間の変換式は結果として次のようになります。^{[6] [9]}${\displaystyle x=1/\alpha }$${\displaystyle \alpha \tau}$${\displaystyle X^{2}-T^{2}=x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha \tau}$${\displaystyle \tau =t}$

逆の場合

${\displaystyle t={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y=Y,\quad z=Z}$

微分してミンコフスキー計量に挿入する

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} X^{2}+\mathrm {d} Y^{2}+\mathrm {d} Z^{2},}$

双曲的に加速されたフレームにおける計量は次のように表さ れる。

これらの変換は、リンドラー観測者を、リンドラー座標で「静止している」、つまりx、y、z を一定に保ち、時間の経過と共にtのみを変化させる観測者として定義します。座標は、 がリンドラー観測者の固有加速度 (双曲線 に沿った) を表す場合、しばしばリンドラーくさびと呼ばれる領域で有効です。この世界線を維持するために、観測者は一定の固有加速度で加速する必要があり、リンドラー地平線に近いリンドラー観測者ほど(リンドラー地平線) の固有加速度が大きくなります。すべてのリンドラー観測者は、慣性系で時間 に瞬間的に静止しており、この時点で、固有加速度を持つリンドラー観測者は位置(実際はですが、 の単位であると仮定します)にいます。これは、リンドラー座標におけるリンドラー地平線からのその観測者の一定距離でもあります。すべてのリンドラー観測者が で時計をゼロに設定すると、リンドラー座標系を定義するときに、どのリンドラー観測者の固有時間がリンドラー座標の座標時間と等しくなるかを選択できます。この観測者の固有加速度が上記の の値を定義します（リンドラー地平線から異なる距離にいる他のリンドラー観測者の場合、座標時間はそれらの観測者の固有時間の定数倍に等しくなります）。^[18]固有時間が座標時間と一致するリンドラー観測者が固有加速度 を持つ観測者となるようにリンドラー座標系を定義するのが一般的な慣例であり、そのため は方程式から削除できます。 ${\displaystyle 0<X<\infty ,\;-X<T<X}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle x=1/\alpha }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle T=0}$${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle X=1/\alpha _{i}}$${\displaystyle X=c^{2}/\alpha _{i}}$${\displaystyle c=1}$${\displaystyle T=0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \alpha}$

上記の式は について簡略化されています。 加速度 が与えられた場合、簡略化されていない式の方がリンドラー地平線距離を求めるのに便利です。 ${\displaystyle c=1}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&t={\frac {c}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {cT}{X}}\right)\;{\overset {X\,\gg \,cT}{\approx }}\;{\frac {c^{2}T}{\alpha X}}\\&\Rightarrow X\approx {\frac {c^{2}T}{\alpha t}}\;{\overset {T\,\approx \,t}{\approx }}\;{\frac {c^{2}}{\alpha }}\end{aligned}}}$

この記事の残りの部分では、と の両方を設定するという慣例に従うため、と の単位は1 単位 になります。光秒/秒²を設定することと、光年/年²を設定することは大きく異なることに注意してください。 の単位を選択した場合でも、適切な加速度の大きさは単位の選択によって異なります。たとえば、距離に光年単位 (または)、時間に年単位 (または) を使用する場合、これは光年/年²を意味し、約 9.5 メートル/秒²に等しくなります。一方、距離に光秒単位 (または)、時間に秒単位 (または) を使用する場合、これは光秒/秒²を意味し、299 792 458 メートル/秒^{2 を}意味します。 ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle c=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle =c^{2}/\alpha =1}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle c=1}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \alpha =1}$

より一般的な変換式の導出は、対応するフェルミ・ウォーカー四元体が定式化され、そこからフェルミ座標または固有座標が導出されるときに与えられる。^[19]これらの座標の原点の選択に応じて、メトリック、原点と点の間の時間の遅れ、座標光速を導出することができる（この可変の光速は特殊相対性理論と矛盾しない。なぜなら、これは使用される加速座標の副産物に過ぎず、慣性座標では一定のままであるからである）。フェルミ座標の代わりに、光信号を使用して距離を決定することによって得られるレーダー座標を使用することもできる（距離の概念のセクションを参照）。これにより、メトリック、時間の遅れ、および光速はもはや座標に依存しなくなり、特に、座標光速は慣性系における 光速と同一のままである。${\displaystyle dt_{0}}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |dx|/|dt|}$${\displaystyle (c=1)}$

との新しいチャート（1a）では、コフレーム体を取るのが自然である。 ${\displaystyle c=1}$${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle d\sigma ^{0}=x\,dt,\;\;d\sigma ^{1}=dx,\;\;d\sigma ^{2}=dy,\;\;d\sigma ^{3}=dz}$

デュアルフレームフィールドを持つ

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}\partial _{t},\;\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{x},\;\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{y},\;\;{\vec {e}}_{3}=\partial _{z}}$

これは、各イベントにおける接空間内の局所ローレンツフレームを定義します（リンドラーチャートでカバーされる領域、つまりリンドラーウェッジ）。時間的単位ベクトル場の積分曲線は、リンドラー観測者と呼ばれる観測者のファミリーの世界線で構成される時間的合同を与えます。リンドラーチャートでは、これらの世界線は垂直座標線として表示されます。上記の座標変換を使用すると、これらが元の直交チャートの双曲弧に対応することがわかります。 ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$${\displaystyle x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}}$

あらゆるロレンツ多様体における時間的合同と同様に、この合同には運動学的分解があります( Raychaudhuri 方程式を参照)。この場合、リンドラー観測者の合同の膨張と渦度は消えます。膨張テンソルが消えるということは、各観測者が近隣の観測者と一定の距離を保っていることを意味します。渦度テンソルが消えるということは、観測者の世界線が互いの周りでねじれていないことを意味します。これは一種の「渦巻き」の局所的不在です。

各観測者の加速度ベクトルは共変微分で与えられる。

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1}}$

つまり、各リンドラー観測者はその方向に加速しているということです。個別に言えば、各観測者は実際にこの方向に一定の大きさで加速しているので、彼らの世界線はユークリッド幾何学における一定の経路曲率の曲線である円のローレンツ類似体です。 ${\displaystyle \partial _{x}}$

リンドラー観測者は渦度フリーなので、超曲面直交でもあります。直交空間超スライスは です。これらはリンドラー図では水平半平面として、直交図では を通る半平面として表示されます (上の図を参照)。線要素 を設定すると、これらが通常のユークリッド幾何学 を持つことがわかります。したがって、リンドラー図の空間座標は、リンドラー観測者が相互に静止しているという主張と一致する非常に単純な解釈を持ちます。リンドラー観測者のこの剛性特性については、この記事の後半でもう一度取り上げます。 ${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle T=X=0}$${\displaystyle dt=0}$${\displaystyle d\sigma ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;\forall x>0,\forall y,z}$

より小さな定数 x 座標を持つリンドラー観測者は、追いつくのがより困難に加速していることに注意してください。これは意外に思えるかもしれません。なぜなら、ニュートン物理学では、一定の相対距離を維持する観測者は同じ加速度を共有する必要があるからです。しかし、相対論的物理学では、何らかの外力 (対称軸に平行) によって加速される棒の後端は、先端よりも少し激しく加速する必要があり、そうでないと最終的に破損することがわかります。これは、ローレンツ収縮の現れです。棒が加速すると、その速度が増加し、長さが短くなります。棒は短くなるため、後端は前端よりも激しく加速する必要があります。別の見方をすると、後端はより短い時間で同じ速度変化を達成する必要があります。これにより、ある距離で後端の加速度が発散し、リンドラー地平線が生じることを示す微分方程式が導き出されます。

この現象は、よく知られた「パラドックス」、ベルの宇宙船パラドックスの基礎となっています。しかし、これは相対論的運動学の単純な帰結です。これを理解する 1 つの方法は、加速度ベクトルの大きさが、対応する世界線の経路曲率にすぎないことを観察することです。しかし、リンドラー観測者の世界線は、ユークリッド平面の同心円族の類似物であるため、スピード スケート選手によく知られている事実のローレンツ類似物を扱っているだけです。同心円族では、内側の円は外側の円よりも速く曲がる必要があります (単位弧長あたり)。

ミンコフスキーチャートで自然な選択によって与えられる代替フレームも導入する価値がある。

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T},\;{\vec {f}}_{1}=\partial _{X},\;{\vec {f}}_{2}=\partial _{Y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{Z}}$

これらのベクトル場を上記の座標変換で変換すると、リンドラー図（リンダーウェッジ）ではこのフレームは

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}_{0}&={\frac {1}{x}}\cosh(t)\,\partial _{t}-\sinh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{1}&=-{\frac {1}{x}}\sinh(t)\,\partial _{t}+\cosh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{2}&=\partial _{y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{z}\end{aligned}}}$

時間的単位ベクトル場 によって定義される時間的合同性の運動分解を計算すると、膨張と渦度が再び消え、さらに加速度ベクトルも消えることがわかります。言い換えれば、これは測地線合同であり、対応する観測者は慣性運動の状態にあります。元の直交座標では、ミンコフスキー観測者と呼ぶこれらの観測者は静止しています。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle \nabla _{{\vec {f}}_{0}}{\vec {f}}_{0}=0}$

リンドラーチャートでは、ミンコフスキー観測者の世界線は座標平面に漸近する双曲正割曲線として現れる。具体的には、リンドラー座標では、事象を通過するミンコフスキー観測者の世界線は ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle t=t_{0},\;x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\operatorname {artanh} \left({\frac {s}{x_{0}}}\right),\;-x_{0}<s<x_{0}\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}}},\;-x_{0}<s<x_{0}\\y&=y_{0}\\z&=z_{0}\end{aligned}}}$

ここで、ミンコフスキー観測者の固有時刻です。リンドラー図では、彼の履歴のほんの一部しかカバーされていないことに注意してください。これは、リンドラー図が測地線的に完全でない理由を明確に示しています。時間的測地線は、有限の固有時間で図がカバーする領域の外側を走ります。もちろん、リンドラー図は測地線的に完全ではないことはすでにわかっていました。なぜなら、リンドラー図は、測地線的に完全な図である元の直交図の一部しかカバーしていないからです。 ${\displaystyle s}$

図に示されているケースでは、および に光円錐を（正しくスケール調整および強調して）描画しています。 ${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle s\in \left\{-{\frac {1}{2}},\;0,\;{\frac {1}{2}}\right\}}$

リンドラー座標チャートにはx = 0の座標特異点があり 、計量テンソル (リンドラー座標で表現)の行列式は消失します。これは、x  → 0 のときにリンドラー観測者の加速度が発散するために発生します。リンドラーウェッジを示す図からわかるように、リンドラーチャートの軌跡x  = 0 は、直交座標チャートの軌跡T ²  =  X ²、  X  > 0 に対応します。直交座標チャートは、それぞれがヌル測地線合同によって支配される 2 つのヌル半平面で構成されます。

今のところ、リンドラー地平線をリンドラー座標の境界として単純に考える。リンドラー座標で一定の位置にある加速観測者の集合を考えると、その中の誰もT  ≥  Xのイベ​​ントからの光信号を受信することはできない(図では、これらは上部の赤い地平線が沿う直線T = X上またはその左側のイベントである。ただし、これらの観測者は加速を止めて自らこの線を越えればT  ≥  Xのイベ​​ントからの信号を受信することはできる)。また、 T  ≤ − Xのイベ​​ント (下部の赤い地平線が沿う直線T = − X上またはその左側のイベント。これらのイベントは、過去の世界線のすべての未来の光円錐の外側にある) に信号を送ることもできない。また、この加速観測者の集合のメンバーが地平線にどんどん近づいていくと考えると、地平線までの距離がゼロに近づく極限では、この距離にいる観測者が経験する一定の固有加速度 (これはそのような観測者が経験する重力加速度でもある) は無限大に近づく。これらの事実は、ブラックホールの事象の地平線の外側に浮かぶ観測者の集合を考えた場合にも当てはまります。各観測者はシュワルツシルト座標で一定の半径で浮かんでいます。実際、ブラックホールのすぐ近くでは、事象の地平線に近い形状はリンドラー座標で記述できます。加速フレームの場合のホーキング放射はウンルー放射と呼ばれます。その関係は、加速と重力の等価性です。

リンドラー図の測地線方程式は測地線ラグランジアンから簡単に得られる。

${\displaystyle {\ddot {t}}+{\frac {2}{x}}\,{\dot {x}}\,{\dot {t}}=0,\;{\ddot {x}}+x\,{\dot {t}}^{2}=0,\;{\ddot {y}}=0,\;{\ddot {z}}=0}$

もちろん、元の直交座標図では測地線は直線として表示されるため、座標変換を使用してリンドラー図で測地線を簡単に取得できます。ただし、元の図とは別に測地線を取得して研究することは有益であるため、このセクションではそれを行います。

1番目、3番目、4番目から、最初の積分がすぐに得られる。

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {E}{x^{2}}},\;\;{\dot {y}}=P,\;\;{\dot {z}}=Q}$

しかし、線要素から、それぞれ時間的測地線、ヌル測地線、空間的測地線について、次の式が得られる。これにより、第4の積分が得られる 。${\displaystyle \varepsilon =-x^{2}\,{\dot {t}}^{2}+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}$${\displaystyle \varepsilon \in \left\{-1,\,0,\,1\right\}}$

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}=\left(\varepsilon +{\frac {E^{2}}{x^{2}}}\right)-P^{2}-Q^{2}}$。

これは測地線方程式の完全な解を与えるのに十分です。

測地線がヌルの場合、 から が非ゼロのとき、x座標の範囲は区間 ${\displaystyle {\frac {E^{2}}{x^{2}}}\,-\,P^{2}\,-\,Q^{2}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0\,<\,x\,<\,{\frac {E}{\sqrt {P^{2}\,+\,Q^{2}}}}}$。

リンドラーウェッジ内の任意のイベントを通過するヌル測地線を与える完全な7つのパラメータ族は、

${\displaystyle {\begin{aligned}t-t_{0}&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{E}}\left[s\left(P^{2}+Q^{2}\right)-{\sqrt {E^{2}-\left(P^{2}+Q^{2}\right)x_{0}^{2}}}\right]\right)+\\&\qquad \operatorname {artanh} \left({\frac {1}{E}}{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})x_{0}^{2}}}\right)\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}+2s{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})x_{0}^{2}}}-s^{2}(P^{2}+Q^{2})}}\\y-y_{0}&=Ps;\;\;z-z_{0}=Qs\end{aligned}}}$

与えられたイベントを通る代表的なヌル測地線の軌跡をプロットすると（つまり、ハイパースライスに投影すると）、点を通り、リンドラー地平線に直交するすべての半円の族によく似た図が得られます（図を参照）。^[27]${\displaystyle t=0}$

リンドラーチャートにおいて、リンドラー観測者にとってヌル測地線の任意の空間ハイパースライスへの投影が単なる半円弧であるという事実は、先に示した一般解から直接検証できますが、これを確認する非常に簡単な方法があります。静的時空とは、渦度のない時間的キリングベクトル場が見つかる時空です。この場合、対応する静的観測者（慣性観測者である必要はありません）に直交する、一意に定義された（同一の）空間ハイパースライスのファミリがあります。これにより、これらのハイパースライスのいずれかに、時空から継承された元の計量と共形的に関連する新しい計量を定義できますが、新しい計量の測地線（これはリーマン3次元多様体上のリーマン計量であることに注意してください）は、まさに時空のヌル測地線の投影であるという特性があります。この新しい計量はフェルマー計量と呼ばれ、座標チャートが与えられた静的時空において、線要素は次のような形をとる。

${\displaystyle ds^{2}=g_{00}\,dt^{2}+g_{jk}\,dx^{j}\,dx^{k},\;\;j,\;k\in \{1,2,3\}}$

フェルマー計量は単純に ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle d\rho ^{2}={\frac {1}{-g_{00}}}\left(g_{jk}\,dx^{j}\,dx^{k}\right)}$

（ここで、計量係数は で評価されると理解されます）。 ${\displaystyle t=0}$

リンドラーチャートでは、時間的変換はそのようなキリングベクトル場であるため、これは静的な時空です（ミンコフスキー時空は当然のことながらアインシュタイン場方程式の静的真空解であるため、驚くことではありません）。したがって、リンドラー観測者のフェルマー計量をすぐに記述できます。 ${\displaystyle \partial _{t}}$

${\displaystyle d\rho ^{2}={\frac {1}{x^{2}}}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right),\;\;\forall x>0,\;\;\forall y,z}$

しかし、これは上半空間チャートにおける双曲三次元空間 H ³のよく知られた線要素です。これは、複素解析学の学生たちが等角写像問題(およびその他)との関連でよく知っている双曲平面H ^{2のよく知られた}上半平面チャートと非常に類似しており、数学に詳しい読者の多くは、上半平面モデルにおけるH ²の測地線が単なる半円 (実軸で表される無限遠の円に直交する) であることはすでに知っています。

リンドラー図はミンコフスキー時空の座標図なので、10 個の線形独立キリング ベクトル場が見つかると予想されます。実際、直交図では、10 個の線形独立キリング ベクトル場が簡単に見つかり、それぞれ時間変換、3 つの空間、3 つの回転、3 つのブーストのパラメータ サブグループが生成されます。これらを組み合わせると、ミンコフスキー時空の対称群である (適切な等時性) ポアンカレ群が生成されます。

しかし、キリングベクトル方程式を直接書き出して解くことは有益である。4つの見慣れたキリングベクトル場が得られる。

${\displaystyle \partial _{t},\;\;\partial _{y},\;\;\partial _{z},\;\;-z\,\partial _{y}+y\,\partial _{z}}$

(時間変換、加速方向と直交する空間変換、加速方向と直交する空間回転) に加えて、さらに 6 つ:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp(\pm t)\,\left({\frac {y}{x}}\,\partial _{t}\pm \left[y\,\partial _{x}-x\,\partial _{y}\right]\right)\\&\exp(\pm t)\,\left({\frac {z}{x}}\,\partial _{t}\pm \left[z\,\partial _{x}-x\,\partial _{z}\right]\right)\\&\exp(\pm t)\,\left({\frac {1}{x}}\,\partial _{t}\pm \partial _{x}\right)\end{aligned}}}$

（ここで、符号は常に + または − が選択されます）。これらが標準の生成器とどのように関係するかを考えるのは演習問題として残しておきます。ここでは、直交座標系で と同等の生成器を取得できなければならないが、リンドラーくさびはこの変換では明らかに不変ではないことを指摘したいと思います。どうしてそうなるのでしょうか。その答えは、滑らかな多様体上の偏微分方程式系によって定義されるものと同様に、キリング方程式は一般に局所的に定義された解を持ちますが、これらは大域的には存在しない可能性があるということです。つまり、グループパラメータに適切な制限を加えると、キリングフローは常に適切な局所近傍で定義できますが、フローは大域的には明確に定義されない可能性があります。これは、ローレンツ多様体自体とは何の関係もありません。一般的な滑らかな多様体の研究でも同じ問題が発生するからです。 ${\displaystyle \partial _{T}}$

リンドラー図の研究から得られる多くの貴重な教訓の 1 つは、リンドラー観測者が使用できる 距離の概念が実際にはいくつかあるということです。

1 つ目は、上で暗黙的に採用したもの、つまり空間超スライス上の誘導リーマン計量です。これは、この誘導リーマン計量に対応するため、定規距離と呼びますが、その操作上の意味はすぐには明らかではないかもしれません。 ${\displaystyle t=t_{0}}$

物理的測定の観点から、2 つの世界線間の距離のより自然な概念はレーダー距離です。これは、観測者の世界線 (イベント A) から小さな物体の世界線にヌル測地線を送信し、そこで反射して (イベント B) 観測者に戻ります (イベント C)。レーダー距離は、観測者が持つ理想的な時計で測定された往復の移動時間を割ることで得られます。

(ミンコフスキー時空では、幸いにも、2 つの世界線の間に複数のヌル測地線経路が存在する可能性を無視できますが、宇宙論モデルやその他の応用^{(どれですか? )}では、物事はそれほど単純ではありません。また、2 人の観測者間の距離の概念が、観測者を入れ替えても対称的な概念を与えると想定することにも注意が必要です。)

特に、それぞれ座標が と である 1 組のリンドラー観測者について考えます。(最初の観測者、つまり後続の観測者は、先行する観測者に追いつくために、少し加速していることに注意してください)。リンドラー線要素を設定すると、加速の方向に移動するヌル測地線の方程式が簡単に得られます。 ${\displaystyle x=x_{0},\;y=0,\;z=0}$${\displaystyle x=x_{0}+h,\;y=0,\;z=0}$${\displaystyle dy=dz=0}$

${\displaystyle t-t_{0}=\log \left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}$

したがって、これら2つの観測者間のレーダー距離は次のように表される。

${\displaystyle x_{0}\,\log \left(1+{\frac {h}{x_{0}}}\right)=h-{\frac {h^{2}}{2\,x_{0}}}+O\left(h^{3}\right)}$

これは定規の距離よりも少し小さいですが、近くの観察者にとっては差異は無視できるほどです。

距離の 3 つ目の概念は、観測者が、ある物体 (点物体ではない) 上に置かれた単位円板が、自分の位置からどのように見えるかを測定するというものです。これを光学直径距離と呼びます。ミンコフスキー時空におけるヌル測地線の単純な特性により、一対のリンドラー観測者間の光学距離 (加速の方向と一致する) を簡単に決定できます。図から、光学直径距離が のようにスケールすると考えるのが妥当でしょう。したがって、後続の観測者が先行する観測者までの距離を推定する場合 ( の場合)、光学距離は定規距離よりも少し大きくなり、定規距離はレーダー距離よりも少し大きくなります。ここで、先行する観測者が後続の観測者までの距離を推定する場合について少し考えてみましょう。 ${\textstyle h+{\frac {1}{x_{0}}}+O\left(h^{3}\right)}$${\displaystyle h>0}$

距離の概念は他にもありますが、要点は明らかです。これらのさまざまな概念の値は、一般に、特定のリンドラー観測者のペアでは一致しませんが、すべてのリンドラー観測者のペアが一定の距離を維持するという点では一致しています。非常に近いリンドラー観測者が相互に静止しているという事実は、上で述べたように、リンドラー合同の膨張テンソルが同じように消えるという事実から生じます。ただし、ここでは、さまざまな意味で、この剛性特性がより大きなスケールでも維持されることを示しました。相対論的物理学では、棒を剛体で加速することはできない(また、ディスクを剛体で回転させることはできない) というよく知られた事実を考えると、これは本当に注目すべき剛性特性です。少なくとも、不均一な応力を受けずには不可能です。これを確認する最も簡単な方法は、ニュートン物理学では、剛体を「蹴る」と、その物体内のすべての物質要素の運動状態が即座に変化することを観察することです。もちろん、これは、物理的な効果を持つ情報は光速よりも速く伝送できないという相対論の原理とは矛盾します。

したがって、棒の長さのどこかに外力を加えて棒を加速すると、棒が際限なく伸びて最終的に折れないようにするためには、棒のさまざまな場所にある物質の要素がすべて同じ大きさの加速を感じることはできません。言い換えれば、折れない加速棒は、長さに沿って変化する応力に耐えなければなりません。さらに、時間によって変化する力に関するあらゆる思考実験では、物体を「蹴る」か徐々に加速しようとするかに関係なく、相対論的運動学と矛盾する機械モデルを回避するという問題を避けることはできません (物体の離れた部分が加えられた力にあまりにも速く反応するため)。

定規の距離の操作上の意味についての質問に戻ると、これは、繰り返し端から端までセットされた小さな定規を、観察者が非常にゆっくりと手から手へと渡すときに得られる距離であるはずだとわかります。しかし、この解釈を詳細に正当化するには、何らかの物質モデルが必要になります。

上で説明したリンドラー座標は、フェルミ正規座標として、曲がった時空に一般化できます。この一般化は、本質的には、適切な正規直交四面体を構築し、それをフェルミ-ウォーカー輸送則を使用して所定の軌道に沿って輸送することを伴います。詳細については、以下の参考文献にある Ni と Zimmermann の論文を参照してください。このような一般化により、実際に、地球上の実験室で慣性効果と重力効果、およびより興味深い結合した慣性-重力効果を研究することができます。

コトラー・ミューラー座標とリンドラー座標

アルバート・アインシュタイン（1907）^{[H 13]は、}等加速度系内の効果を研究し、座標依存の時間の遅れと光速の式（2c）と等価なものを得た。また、この式を観測者の原点から独立させるために、レーダー座標と形式的に一致する時間の遅れ（2i ）を得た。マックス・ボルン（1909）^{[H 14]}は、ボルン剛性の概念を導入するとともに、双曲運動の式を「双曲的に加速された参照システム」（ドイツ語：hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ）への変換として使用できることを指摘した。これは（ 2d ）と等価である。ボルンの業績は、アルノルド・ゾンマーフェルト（1910）^{[H 15]}とマックス・フォン・ラウエ（1911 ）^{[H 16]}によってさらに発展させられ、両者は虚数を用いて（2d）を得、これをヴォルフガング・パウリ（1921）^[16]がまとめ、虚数を用いて座標（2d）のほかに計量（2e ）も得た。アインシュタイン（1912） ^{[H 17]は}静的重力場を研究し、コットラー・メラー計量（2b）と、座標に依存する光速を用いた式（ 2a ）の近似値を得た。 ^[28]ヘンドリック・ローレンツ（1913）^{[H 18]は、アインシュタインの}等価原理と均一重力場 を研究しながら、（ 2d、2e、2f）に類似した座標を得た。

詳細な説明はフリードリヒ・コットラー（1914）^{[H 19]}によってなされ、彼は対応する正規直交四面体、変換式、計量（2a、2b）を定式化した。またカール・ボラート（1922）^{[H 20]は}、一様加速度と一様重力場の研究で計量（2b）を得た。ボルン剛性に関する論文で、ジョルジュ・ルメートル（1924）^{[H 21]は座標と計量（} 2a、2b ）を得た。アルバート・アインシュタインとネイサン・ローゼン（1935）は、一様重力場の「よく知られた」表現として（2d、2e）を説明した。^{[H 22]}クリスチャン・モラー(1943) ^{[H 11]}が均質重力場に関する研究で( 2a、2b )を得た後、彼(1952) ^{[H 23]}とミスナー、ソーン、ホイーラー(1973) ^[2]はフェルミ–ウォーカー輸送を用いて同じ方程式を得た。

これらの研究は平坦な時空を対象としていたが、ヴォルフガング・リンドラー（1960）^[14]は曲がった時空における双曲運動を解析し、平坦な時空における双曲座標（2d、2e ）とシュワルツシルト空間におけるクラスカル座標との類似性を示した（1966） ^{[15] 。これは、双曲運動する観測者によって測定される}ウンルー放射の定式化において後続の研究者に影響を与えたが、これはブラックホールのホーキング放射の記述に似ている。

地平線

Born (1909) は、双曲運動する Born 剛体の内部点は領域 にのみ存在できることを示した。^{[H 24]} Sommerfeld (1910) は、慣性座標と双曲座標間の変換に許される座標は を満たさなければならないと定義した。^{[H 25]} Kottler (1914) ^{[H 26] は}この領域 を と定義し、双曲運動においてその外側にはいかなる信号も観測者に届かない「境界面」(ドイツ語: Grenzebene )の存在を指摘した。これは Bollert (1922) によって「観測者の地平線」(ドイツ語: Horizo​​nt des Beobachters )と名付けられた。 ^{[H 27]} Rindler (1966) ^{[15] は、}そのような地平線と Kruskal 座標の地平線との関係を示した。 ${\displaystyle X/\left(X^{2}-T^{2}\right)>0}$${\displaystyle T<X}$${\displaystyle X^{2}-T^{2}>0}$${\displaystyle c^{2}/\alpha +x}$

レーダー座標

ボレルトの形式論を用いて、ステパン・モホロビッチ(1922) ^{[H 28] は}いくつかのパラメータについて異なる選択を行い、印刷エラーのある計量 ( 2h ) を得た。これはボレルト (1922b) によって別の印刷エラーで修正され、印刷エラーのないバージョンはモホロビッチ (1923) によって示された。さらに、モホロビッチは計量 ( 2b、現在ではコットラー・モラー計量と呼ばれる) は間違っていると誤って主張したが、これはボレルト (1922) によって反論された。^{[H 29]}計量 ( 2h ) はハリー・ラス (1963) ^[13]によって再発見され、ラスは対応する座標 ( 2g ) も与えた。これは「ラス座標」と呼ばれることもある。^[9]メトリック（2h ）は（ 2a、2b ）と同様に、フリッツ・ローリッヒ（1963）によっても導出されました。 ^[12]最終的に、ラス座標（2g、2h）はデスロージとフィルポット（1987）によってレーダー座標と同一視されました。^{[29] [8]}

• ベルの宇宙船のパラドックスは、リンドラー座標を使用して研究されることが多い、時には物議を醸す主題です。
• ボルン座標。ミンコフスキー時空における特定の加速観測者の運動に適応したもう一つの重要な座標系。
• 合同性（一般相対性理論）
• エーレンフェストのパラドックスは、ボルン座標を使用して研究されることが多い、物議を醸す主題です。
• 一般相対論におけるフレーム場
• 一般相対性理論のリソース
• ミルンモデル
• レイショードリ方程式
• ウンルー効果

役に立つ背景情報:

• ブースビー、ウィリアム M. (1986)。『微分可能多様体とリーマン幾何学入門』ニューヨーク：アカデミック・プレス。ISBN 0-12-116052-1。滑らかな多様体上のベクトル場に関する背景については第 4 章 を参照してください。
• フランケル、セオドア（1979年）。『重力曲率：アインシュタインの理論入門』サンフランシスコ：WHフリーマン。ISBN 0-7167-1062-5。フェルマー計量の導出については第 8 章 を参照してください。

リンドラー座標:

• リンドラー、ヴォルフガング (1969)。『エッセンシャル相対性』ニューヨーク、ヴァン・ノストランド・ラインホールド社。doi :10.1007/ 978-1-4757-1135-6。ISBN 978-0-387-90201-2。

• ミスナー、チャールズ、ソーン、キップ・S、ホイーラー、ジョン・アーチボルド（1973年）。『重力』サンフランシスコ：WHフリーマン。ISBN 0-7167-0344-0。セクション6.6を参照してください。
• リンドラー、ヴォルフガング（2001年）。『相対性理論：特殊、一般、宇宙論』オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-850836-0。
• Ni, Wei-Tou; Zimmermann, Mark (1978). 「加速回転観測者の固有基準系における慣性および重力の影響」Physical Review D . 17 (6): 1473–1476. Bibcode :1978PhRvD..17.1473N. doi :10.1103/PhysRevD.17.1473.

リンドラー地平線:

• Jacobson, Ted & Parenti, Renaud (2003). 「地平線エントロピー」.発見. Phys . 33 (2): 323–348. arXiv : gr-qc/0302099 . Bibcode :2003FoPh...33..323J. doi :10.1023/A:1023785123428. S2CID  16826867.電子版
• バルセロ、カルロス; リベラティ、ステファノ & ヴィッサー、マット (2005)。「アナログ重力」。Living Reviews in Relativity。8 ( 1): 12。arXiv : gr -qc/0505065。Bibcode : 2005LRR .....  8 ...12B。doi : 10.12942/ lrr - 2005-12。PMC 5255570。PMID 28179871。