双曲運動（相対性）

双曲運動は、特殊相対性理論において、一定の固有加速度を持つ物体の運動である。この運動が双曲運動と呼ばれるのは、時空を通過する物体の経路を記述する方程式が双曲線であるためであり、これは適切な慣性（非加速）フレームを表す座標を持つミンコフスキー図上にグラフ化するとわかる。この運動にはいくつかの興味深い特徴があり、その 1 つは、図からわかるように、十分な先行を与えられれば光子を追い抜くことができることである。 ^[1]

ヘルマン・ミンコフスキー(1908) は、世界線上の点と四元加速度の大きさの関係と「曲率双曲線」（ドイツ語：Krümmungshyperbel）を示した。^[2]ボルンの剛性の文脈で、マックス・ボルン(1909) はその後、四元加速度の大きさが一定の場合の「双曲運動」（ドイツ語：Hyperbelbewegung ）という用語を作り出し、双曲運動する荷電粒子の詳細な説明を提供し、対応する「双曲的に加速された参照システム」（ドイツ語：hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem）を導入した。^[3]ボルンの公式は、アルノルド・ゾンマーフェルト(1910) によって簡略化され、拡張された。^[4]初期のレビューについては、マックス・フォン・ラウエ(1911、1921) ^[5]またはヴォルフガング・パウリ(1921) の教科書を参照。^[6] Galeriu (2015) ^[7]または Gourgoulhon (2013) ^[8]および加速（特殊相対性理論）#歴史も参照。

粒子の固有加速度は、粒子が慣性系から別の慣性系へ加速する際に「感じる」加速度として定義されます。固有加速度が運動線と平行に向いている場合、特殊相対論における通常の3加速度と次のよう に関係します。 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle a=du/dT}$

${\displaystyle \alpha =\gamma ^{3}a={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2}}}{\frac {du}{dT}},}$

ここで、 は粒子の瞬間速度、ローレンツ因子、は光速、 は座標時間です。運動方程式を解くと、座標時間と固有時間で表すことができる目的の式が得られます。簡略化のために、時間、場所、速度の初期値はすべて 0 に設定できます。^{[5] [6] [9] [10] [11]}${\displaystyle u}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle c}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau}$

これにより、時間 T における双曲線と空間位置変数 が得られます。この場合、加速された物体は時間に に配置されます。代わりにゼロ以外の初期値がある場合、双曲運動の式は次の形式になります。^{[12] [13] [14]}${\displaystyle \left(X+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}T^{2}=c^{4}/\alpha ^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle T=0}$

${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}u(T)&={\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{\sqrt {1+\left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)^{2}}}}\quad \\&=c\tanh \left\{\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)\right\}\\X(T)&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)^{2}}}-\gamma _{0}\right)\\&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\cosh \left[\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)\right]-\gamma _{0}\right\}\\c\tau (T)&=c\tau _{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\ln \left({\frac {{\sqrt {c^{2}+\left(u_{0}\gamma _{0}+\alpha T\right){}^{2}}}+u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{\left(c+u_{0}\right)\gamma _{0}}}\right)\\&=c\tau _{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)-\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)\right\}\end{aligned}}&{\begin{aligned}u(\tau )&=c\tanh \left\{\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right\}\\\\X(\tau )&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\cosh \left[\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right]-\gamma _{0}\right\}\\\\cT(\tau )&=cT_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\sinh \left[\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right]-{\frac {u_{0}\gamma _{0}}{c}}\right\}\end{aligned}}\end{array}}}}$

双曲運動の世界線（これからは固有時間の関数として記述する）はいくつかの方法で簡略化できる。例えば、次の式は

${\displaystyle X={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right)}$

空間的なシフトを受ける可能性があり、したがって ${\displaystyle c^{2}/\alpha }$

${\displaystyle X={\frac {c^{2}}{\alpha }}\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}}$, ^[15]

観測者が時刻 の位置にいることによって得られる。さらに、ラピディティを設定して導入することにより、^[14]双曲運動の方程式は^{[4] [16]に簡約される。}${\displaystyle X=c^{2}/\alpha }$${\displaystyle T=0}$${\displaystyle x=c^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} {\frac {u}{c}}={\frac {\alpha \tau }{c}}}$

双曲線で。 ${\displaystyle X^{2}-c^{2}T^{2}=x^{2}}$

ボルン（1909）、^[3]ゾンマーフェルト（1910）、^[4]フォン・ラウエ（1911）、^[5]パウリ（1921）^{[6]も双曲運動する}荷電粒子の電磁場の方程式を定式化した。^[7]これはヘルマン・ボンディとトーマス・ゴールド（1955）^[17]とフルトンとローリッヒ（1960）^{[18] [19]}によって拡張された。

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rho '}'=&{\frac {\left(8e/\alpha ^{2}\right)\rho 'z'}{\xi ^{\prime 3}}}\\E_{z'}'=&{\frac {-\left(4e/\alpha ^{2}\right)1/\alpha ^{2}+t^{\prime 2}+\rho ^{\prime 2}-z^{\prime 2}}{\xi ^{\prime 3}}}\\E_{\varphi '}'=&H_{\varphi '}'=H_{z'}'=0\\H_{\varphi '}'=&{\frac {\left(8e/\alpha ^{2}\right)\rho 't'}{\xi ^{\prime 3}}}\\\xi '=&{\sqrt {\left(1/\alpha ^{2}+t^{\prime 2}-\rho ^{\prime 2}-z^{\prime 2}\right)^{2}+\left(2\rho '/\alpha \right)^{2}}}\end{aligned}}}$

これは、永久双曲運動中の電荷は放射するかどうか、そしてこれが等価原理と一致するかどうかという議論の多い^{[20] [21]}問題に関連しています。永久双曲運動は不可能なので、これは理想的な状況に関するものですが。Born (1909)やPauli (1921)などの初期の著者は放射は発生しないと主張しましたが、Bondi & Gold ^[17]やFulton & Rohrlich ^{[18] [19]}などの後の著者は、放射が実際に発生することを示しました。

双曲運動の式（２）では、表現は定数であるが、ラピディティは可変である。しかし、ゾンマーフェルト^[16]が指摘したように、定数としながら、を変数として定義することができる。これは、式が、共動観測者から見た 双曲座標を持つ加速物体の同時静止形状を示す変換になることを意味する。${\displaystyle x}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (x,y,z,\eta )}$

${\displaystyle cT=x\sinh \eta ,\quad X=x\cosh \eta ,\quad Y=y,\quad Z=z}$

この変換により、固有時間は双曲的に加速されたフレームの時間になります。これらの座標は一般にリンドラー座標（類似の変形はコットラー・メラー座標またはラス座標と呼ばれます）と呼ばれ、フェルミ座標または固有座標の特殊なケースと見なすことができ、ウンルー効果に関連してよく使用されます。これらの座標を使用すると、双曲運動している観測者は見かけ上の事象の地平線を持ち、それを超えると信号が観測者に届かないこと がわかります。

双曲運動における基準フレームを定義するあまり知られていない方法は、反転、並進、および別の反転からなる特殊な共形変換の使用である。 ^{[22]これはミンコフスキー空間における}ゲージ変換として一般的に解釈されるが、一部の著者はこれを加速度変換として使用している（批判的な歴史的調査についてはKastrupを参照）。^[23]これは次の形式である。

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2ax+a^{2}x^{2}}}}$

空間次元を 1 つだけ使用し、 と設定してさらに簡略化し 、加速度 を使用すると 、次の式が得られます^[24]${\displaystyle x^{\mu }=(t,x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle a^{\mu }=(0,-\alpha /2)}$

${\displaystyle T={\frac {t}{1-{\frac {1}{4}}\alpha {}^{2}t^{2}}},\quad X={\frac {-\alpha t^{2}}{2\left(1-{\frac {1}{4}}\alpha {}^{2}t^{2}\right)}}}$

双曲線で表すと、 の時点では が特異になることがわかります。これに対して Fulton & Rohrlich & Witten ^[24]は、この極限から離れなければならないと述べています。一方、Kastrup ^[23] (加速解釈に非常に批判的) は、これはこの解釈の奇妙な結果の 1 つであると述べています。 ${\displaystyle \left(X-1/\alpha \right)^{2}-T^{2}=1/\alpha ^{2}}$${\displaystyle t=\pm (x+2/\alpha )}$

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• Leigh Page & Norman I. Adams (1936 年 3 月)。「新しい相対性理論。論文II 。加速システム間の電磁場の変換と力の方程式」。Physical Review。49 ( 6): 466–469。Bibcode : 1936PhRv ...49..466P。doi :10.1103/PhysRev.49.466。
• ミスナー、チャールズ W. ;ソーン、キップ S. ;ウィーラー、ジョン A. (1973)、重力、WH フリーマン、第 6 章、ISBN 0-7167-0344-0
• リンドラー・ヴォルフガング (1960)。「曲がった時空における双曲的運動」。物理評論。119 ( 6): 2082–2089。Bibcode :1960PhRv..119.2082R。doi : 10.1103/PhysRev.119.2082。
• ルドヴィク・シルバーシュタイン（1914年）『相対性理論』190ページ。
• Naber, Gregory L., The Geometry of Minkowski Spacetime , Springer-Verlag, New York, 1992. ISBN 0-387-97848-8 (ハードカバー), ISBN 0-486-43235-1 (Dover ペーパーバック版). pp 58–60.  

• 物理学FAQ: 相対論的ロケット
• Mathpages: 加速移動、均一に加速する電荷は放射しますか?