適切な参照フレーム（平坦な時空）

相対性理論における固有座標系は、加速座標系の特殊な形式、すなわち加速される観測者が静止しているとみなせる座標系である。これは、曲がった時空、およびエネルギー運動量テンソルによって生じる時空曲率が無視できる「平坦な」ミンコフスキー時空における現象を記述することができる。この記事は平坦な時空のみを扱い、特殊相対性理論は平坦な時空の理論であり、一般相対性理論は曲がった時空に関する重力理論であるという定義を使用しているため、結果的に特殊相対性理論における加速座標系を扱うことになる。^{[1] [2] [3]}（慣性系における加速度の表現については、 3 加速、 4 加速、固有加速度、双曲運動などの概念が定義され、相互に関連付けられている 「加速 (特殊相対性理論)」の記事を参照。）

このようなフレームの基本的な特性は、加速された観測者の固有時間をフレーム自体の時間として使用することである。これは時計仮説（実験的に確認されている）と関連しており、それによれば、加速された時計の固有時間は加速の影響を受けず、したがって測定された時計の時間の遅れは瞬間的な相対速度のみに依存する。関連する固有参照フレームは、時空フレネ・セレの公式で定式化できる共動正規直交四元体のような概念を使用して、または代わりにフェルミ・ウォーカー輸送を非回転の基準として使用して構築される。座標がフェルミ・ウォーカー輸送に関連している場合、フェルミ座標という用語が使用されることがあり、回転も含まれる一般的な場合は固有座標と呼ばれる。加速された観測者の特別なクラスは、3 つの曲率が一定である世界線をたどる。これらの運動はボルン剛体運動のクラスに属します。つまり、加速された物体の構成要素の相互距離または合同性が、その固有フレーム内で変化しない運動です。2つの例としては、双曲運動の固有参照フレームのリンドラー座標またはコットラー・メラー座標、および等速円運動の場合のボルン座標またはランジュバン座標があります。

以下では、ギリシャ語の添え字は 0、1、2、3 に渡って、ラテン語の添え字は 1、2、3 に渡って、括弧内の添え字は四元ベクトル場と関連しています。計量テンソルのシグネチャは (-1、1、1、1) です。

コットラー・メラー座標またはリンドラー座標のいくつかの特性は、アルバート・アインシュタイン(1907) ^{[H 1]}が等加速基準系について論じた際に予見されていた。ボルン剛性の概念を導入したマックス・ボルン( 1909) ^{[H 2] は}、双曲運動の世界線の公式が「双曲的に加速された基準系」への変換として再解釈できることを認識した。ボルン自身、およびアルノルド・ゾンマーフェルト(1910) ^{[H 3]}とマックス・フォン・ラウエ(1911) ^{[H 4]}は、荷電粒子とその場の特性を計算するためにこのフレームを使用した (加速 (特殊相対性理論)#歴史およびリンドラー座標#歴史を参照)。さらに、グスタフ・ヘルグロッツ(1909) ^{[H 5] は}、等速回転や定曲率の世界線を含むすべてのボルン剛性運動の分類を示した。フリードリヒ・コットラー(1912, 1914) ^{[H 6] は}、共動フレネ・セレ四面体を用いて固有座標系または固有座標 (ドイツ語: Eigensystem, Eigenkoordinaten ) に対する「一般化ローレンツ変換」を導入し、この形式主義をエルグロッツの定曲率世界線、特に双曲運動と等速円運動に適用した。エルグロッツの公式はジョルジュ・ルメートル(1924) によっても簡略化され、拡張された。^{[H 7]定曲率世界線は、ウラジミール・ペトルフ (1964) [4]}によって再発見されたほか、ジョン・ライトン・シング(1967) ^[5]によって「時間的螺旋」として、またはレタウ (1981) によって「定常世界線」として再発見された。^[6]固有参照フレームの概念は、後にクリスチャン・モラー（1952）^[7]やシンジ（1960）の教科書でフェルミ・ウォーカー輸送に関連して再導入され、さらに発展した。^[8]固有時間変換と代替案の概要は、コットラーの貢献を引用したロマン（1963）^[9]によって与えられた。特に、ミスナー、ソーン、ホイーラー（1973）^[10]は、フェルミ・ウォーカー輸送と回転を組み合わせ、その後の多くの著者に影響を与えた。バーラム・マッシューン（1990、2003）^{[11]は、局所性と加速運動の仮説を分析した。時空のフレネ・セレ式とフェルミ・ウォーカー輸送の関係は、アイヤーと}CVヴィシュベシュワラ（1993）^[12]によって議論された。Johns (2005) ^[13]や Bini et al. (2008) ^[14]などが提案している。「一般フレームにおける特殊相対論」の詳細な表現は Gourgoulhon (2013) によって提案されている。^[15]

加速運動と曲がった世界線の研究には、微分幾何学のいくつかの結果を利用できる。例えば、ユークリッド空間の曲線に対するフレネ・セレの公式は、19世紀にはすでに任意の次元に拡張されており、ミンコフスキー時空にも適用できる。この公式は、曲がった世界線に付随する正規直交基底の輸送を記述するため、4次元ではこの基底は共動四元体または四元体（または、四元体、移動フレーム、フレーム場、局所フレーム、任意の次元での移動体とも呼ばれる）と呼ばれる。^{[16] [17] [18] [19]}${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$

ここで、は世界線に沿った固有時間であり、時間的場は4 元速度に対応する接線 と呼ばれ、3 つの空間的場は および に直交し、主法線、従法線、および三法線と呼ばれます。最初の曲率は4 元加速度(つまり、固有加速度)の大きさに対応し、その他の曲率および はねじれおよび超ねじれとも呼ばれます。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(1)}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}}$ ${\displaystyle \kappa_{1}}$${\displaystyle \kappa_{2}}$${\displaystyle \kappa_{3}}$

フレネ・セレ四分子は回転する場合と回転しない場合がありますが、回転しない部分と回転する部分を分離した別の形式を導入すると便利です。これは、四分子の固有輸送^[20]または一般化フェルミ輸送^[21]の次の式を使用して行うことができます。^{[10] [12] [22] [21] [20] [23]}${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$

どこ

${\displaystyle \vartheta ^{\mu \nu }={\underset {\text{Fermi–Walker}}{\underbrace {A^{\mu }U^{\nu }-A^{\nu }U^ {\mu }} }}+{\underset {\mathrm {\text{空間回転}} }{\underbrace {U_{\alpha }\omega _{\beta }\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }} }}}$

または簡略化した形でまとめると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{(\eta )}}{d\tau }}=-\left[(\mathbf {U} \wedge \mathbf {A} )\mathbf {e } _{(\eta )}+\mathbf {R} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right]}$

は4 元速度、は4 元加速度を示し、" "はドット積、" "はウェッジ積を示します。最初の部分はフェルミ–ウォーカー輸送^{[13]を表し、これは 3 つの空間的テトラド場が 3 つの}ジャイロスコープシステムの運動に対して方向を変えない場合に物理的に実現されます。したがって、フェルミ–ウォーカー輸送は非回転の標準と見なすことができます。2 番目の部分は、が角速度4 元ベクトル、 がレヴィ–チヴィタ記号である反対称 2 階テンソルで構成されます。この回転行列は 3 つの空間的テトラド場にのみ影響することが判明しているため、同じ世界線に沿ったフェルミ–ウォーカーテトラドの非回転空間的場に対する回転テトラド (フレネ–セレテトラドなど) の空間的場の空間的回転として解釈できます。 ${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle \wedge}$${\displaystyle (\mathbf {U} \wedge \mathbf {A} )\mathbf {e} _{(\eta )}=\mathbf {A} \left(\mathbf {U} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right)-\mathbf {U} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right)}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$

同じ世界線上にあるとは回転行列で結ばれているので、回転するフレネ・セレ四分子を使って回転しないフェルミ・ウォーカー四分子を構成することが可能である。 ^{[24] [25]}これは平坦な時空だけでなく任意の時空でも機能するが、実用化は難しい。^[26]たとえば、それぞれの空間的四分子場と の間の角速度ベクトルは、ねじれと で表すことができる。 [ 12 ^{] [13] [27] [28]}${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$${\displaystyle \kappa _{2}}$${\displaystyle \kappa _{3}}$

曲率が一定であると仮定すると（平坦な時空におけるらせん運動の場合、または静止した軸対称時空の場合）、平面内の空間的フレネ・セレベクトルを一定の反時計回りの回転で整列させ、結果として得られる中間空間フレームを軸の周りで角度 だけ一定に回転させ、最終的に空間フェルミ・ウォーカーフレームを与える（時間的場は同じままであることに注意）：^[25]${\displaystyle \mathbf {e} _{(1)}-\mathbf {e} _{(3)}}$${\displaystyle \mathbf {h} _{(i)}}$${\displaystyle \mathbf {h} _{(3)}}$${\displaystyle \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau }$${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$

特別な場合およびについては、およびが成り立ち、したがって（3b）は-軸の周りの単一の一定回転に簡約される：^{[29] [30] [31] [24]}${\displaystyle \kappa _{3}=0}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}=[0,0,0,1]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,\ \kappa _{2}\right]}$${\displaystyle \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =\kappa _{2}\tau }$${\displaystyle \mathbf {h} _{(i)}=\mathbf {e} _{(i)}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}}$

平坦な時空では、加速された物体は瞬間的に瞬間慣性系 内で静止しており、物体が通過する瞬間慣性系のシーケンスは、ローレンツ変換の連続的な適用に対応します。ここで、 は外部慣性系、ローレンツ変換行列です。この行列は、上で定義した適切な時間依存四元数 で置き換えることができ、 が粒子の位置を示す時間トラックである場合、変換は次のようになります。^[32]${\displaystyle \mathbf {x} '=[x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3}]}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} '}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(\nu )}(\tau )}$${\displaystyle \mathbf {\mathbf {q} } (\tau )}$

次に を と置くと、 は に置き換えられ、時間的場は消え、したがって空間的場だけが存在するようになる。その後、加速フレームの時間は によって加速観測者の固有時間と同一視される。最終的な変換は^{[33] [34] [35] [36]}の形になる。${\displaystyle x^{\prime 0}=t'=0}$${\displaystyle \mathbf {x} '}$${\displaystyle \mathbf {r} =[x^{1},x^{2},x^{3}]}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$${\displaystyle x^{0}=t=\tau }$

これらは固有座標と呼ばれることもあり、対応するフレームは固有参照フレームである。^[20]フェルミ・ウォーカー輸送の場合、これらはフェルミ座標とも呼ばれる^[37]（一部の著者は回転の場合にもこの用語を使用している^[38]）。対応する計量はミンコフスキー時空（リーマン項なし）では次の形式になる：^{[39] [40] [41] [42 ] [ 43] [44] [45] [46]}

しかし、これらの座標はグローバルに有効ではなく、^{[43]に制限されています。}

3 つのフレネ・セレ曲率がすべて一定である場合、対応する世界線は平坦な時空におけるキリング運動から得られる世界線と同一である。対応する固有フレームと合同性がボルン剛性の条件、つまり 2 つの隣接する世界線の時空距離が一定であることを満たすため、これらは特に興味深い^{。[47] [48]}これらの運動は「時間的螺旋」または「静止世界線」に対応し、6 つの主要なタイプに分類できる。2 つはねじれがゼロ (一様並進、双曲運動)、4 つはねじれがゼロでない (一様回転、懸垂線、半立方放物線、一般の場合)。^{[49] [50] [4] [5] [6] [51] [52] [53] [54]}

ケースは加速なしで均一な移動を生成します。したがって、対応する適切な参照フレームは通常のローレンツ変換によって与えられます。他の 5 つのタイプは次のとおりです。 ${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=\kappa _{3}=0}$

曲率（運動方向の定数加速度）は、ミンコフスキー図の世界線が双曲線であるため、双曲運動を生み出す： ^{[55] [56] [57] [58] [59] [60]}${\displaystyle \kappa _{1}=\alpha ,}$ ${\displaystyle \kappa _{2}=\kappa _{3}=0}$${\displaystyle \alpha }$

対応する正規直交四面体は、ローレンツ因子、固有速度、ラピディティとして双曲関数を持つ逆ローレンツ変換行列 と同一である（ねじれとがゼロなので、フレネ・セレの公式とフェルミ・ウォーカーの公式は同じ四面体を生成する）：^{[56] [61] [62] [63] [64] [65] [66]}${\displaystyle \gamma =\cosh \eta }$${\displaystyle v\gamma =\sinh \eta }$${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} v=\alpha \tau }$${\displaystyle \kappa _{2}}$${\displaystyle \kappa _{3}}$

変換（4b）に挿入し、世界線（5a）を使用すると、加速観測者は常に原点に位置するため、コットラー・モラー座標は^{[67] [68] [62] [69] [70]に従う。}${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\sinh(\alpha \tau )\\X&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\cosh(\alpha \tau )-{\frac {1}{\alpha }}\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X+{\frac {1}{\alpha }}}}\right)\\x&={\sqrt {\left(X+{\frac {1}{\alpha }}\right)^{2}-T^{2}}}-{\frac {1}{\alpha }}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$

は の範囲内で有効であり、メトリックは ${\displaystyle -1/\alpha <X<\infty }$

${\displaystyle ds^{2}=-(1+\alpha x){}^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$。

あるいは、加速観測者が時刻に位置すると設定すると、リンドラー座標は（ 4b）と（5a、5b ）から導かれる：^{[71] [72] [73]}${\displaystyle \mathbf {\mathbf {q} } =0}$${\displaystyle X=1/\alpha }$${\displaystyle \tau =T=0}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=x\sinh(\alpha \tau )\\X&=x\cosh(\alpha \tau )\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} {\frac {T}{X}}\\x&={\sqrt {X^{2}-T^{2}}}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$

は の範囲内で有効であり、メトリックは ${\displaystyle 0<X<\infty }$

${\displaystyle ds^{2}=-\alpha ^{2}x^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

曲率は、世界線と等速円運動を生み出す^{[74] [75] [76] [77] [78] [79] [80]}${\displaystyle \kappa _{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}>0}$${\displaystyle \kappa _{3}=0}$

どこ

を軌道半径、を座標角速度、を固有角速度、を接線速度、を固有速度、をローレンツ因子、を回転角とする。四面体はフレネ・セレ方程式（ １）から導出できる。 ^{[74] [76] [77] [80]あるいは}通常の回転座標の四面体のローレンツ変換によって簡単に得られる。^{[81] [82]}${\displaystyle h}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d_{(\nu )}}$

同じ世界線上の対応する非回転フェルミ・ウォーカー四面体は、式（ ２）のフェルミ・ウォーカー部分を解くことによって得られる。^{[83] [84]あるいは、式（} ６ｂ ）を式（ ３ａ ）と一緒に使うことで、 ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,\gamma ^{2}p\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=\gamma ^{2}p,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =\gamma ^{2}p_{0}\tau =\gamma p\tau =\gamma \theta }$

得られた回転角は（ 6c ）と共に（ 3c ）に代入することができ、これによりフェルミ・ウォーカー四面体が導かれる^{[31] [24]}${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\gamma (1,\ -v\sin \theta ,\ v\cos \theta ,\ 0)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(-\gamma v\sin \Theta ,\ \cos \theta \cos \Theta +\gamma \sin \theta \sin \Theta ,\ \sin \theta \cos \Theta -\gamma \cos \theta \sin \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\gamma v\cos \Theta ,\ \cos \theta \sin \Theta -\gamma \sin \theta \cos \Theta ,\ \sin \theta \sin \Theta +\gamma \cos \theta \cos \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =(0,\ 0,\ 0,\ 1)\end{alignedat}}}$

以下では、フレネ・セレ四面体を用いて変換を定式化する。変換（4b ）に（ 6c ）を挿入し、世界線（6a）を使用すると、座標が得られる^{[74] [ 76] [85] [86] [87] [38]}${\displaystyle \mathbf {q} }$

は の範囲内で有効であり、メトリックは ${\displaystyle (X+h)^{2}+(\gamma Y)^{2}\leqq 1/p_{0}^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\gamma ^{2}\left[1-(x+h)^{2}p_{0}^{2}-\gamma ^{2}p_{0}^{2}y^{2}\right]d\tau ^{2}+2\gamma ^{2}p_{0}(x\ dy-y\ dx)d\tau +dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

回転フレームの中心に静止する観測者を選択すると、方程式は通常の回転変換に簡約されます^{[88] [89] [90]}${\displaystyle h=0}$

は範囲内で有効であり、メトリックは ${\displaystyle 0<{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}<1/p_{0}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left[1-p_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]dt^{2}+2p_{0}(-y\ dx+x\ dy)dt+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$。

最後の式は回転円筒座標（ボルン座標）でも書くことができる：^{[91] [92] [93] [94] [95]}

は範囲内で有効であり、メトリックは ${\displaystyle 0<r<1/p_{0}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-p_{0}^{2}r^{2}\right)dt^{2}+2p_{0}r^{2}dt\ d\phi +dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}+dz^{2}}$

フレーム（6d、6e、6f ）は、エーレンフェストのパラドックスやサニャック効果など、回転プラットフォームの形状を記述するために使用できます。

曲率は懸垂線運動、すなわち双曲運動と空間的並進運動を組み合わせた運動を生み出す^{[96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]}${\displaystyle \kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}>0}$${\displaystyle \kappa _{3}=0}$

どこ

ここで は速度であり、固有速度はラピディティとしてローレンツ因子である。対応するフレネ・セレ四面体は次のようになる: ^{[97] [99]}${\displaystyle v}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ n,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(1)}&=\left(\sinh \eta ,\ \cosh \eta ,\ 0,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-n\cosh \eta ,\ -n\sinh \eta ,\ -\gamma ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&=\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{aligned}}}$

同じ世界線上の対応する非回転フェルミ・ウォーカー四面体は、式（ ２ ）のフェルミ・ウォーカー部分を解くことによって得られる。^[102]同じ結果は式（３ａ）からも得られ、 ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,na\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=na,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =na\tau }$

これを（7a ）と一緒に（ 3c ）に挿入すると、フェルミ・ウォーカー四分子群が得られる。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ n,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(\sinh \eta \cos \Theta +n\cosh \eta \sin \Theta ,\ \cosh \eta \cos \Theta +n\sinh \eta \sin \Theta ,\ \gamma \sin \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\sinh \eta \sin \Theta -n\cosh \eta \cos \Theta ,\ \cosh \eta \sin \Theta -n\sinh \eta \cos \Theta ,\ -\gamma \cos \Theta \ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{alignedat}}}$

適切な座標またはフェルミ座標は、( 4b )にまたはを挿入することによって得られる。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

曲率は半三次放物線または尖った動きを生み出す^{[103] [104] [105] [106] [107] [108] [109]}${\displaystyle \kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}=0}$${\displaystyle \kappa _{3}=0}$

対応するフレネ・セレ四分体は次のようになる: ^{[104] [106]}${\displaystyle \theta =a\tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ \theta ,\ {\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(1)}&=\left(\theta ,\ 1,\ \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ -\theta ,\ 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&=\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{aligned}}}$

同じ世界線上の対応する非回転フェルミ-ウォーカー四面体は、式（ ２ ）のフェルミ-ウォーカー部分を解くことによって得られる。^[109]同じ結果は式（３ａ）からも得られ、 ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,a\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=a,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =a\tau =\theta }$

これを（８ ）と一緒に（ ３ｃ ）に代入すると、フェルミ・ウォーカー四元体が得られる（この場合、次のことに注意）： ${\displaystyle \Theta =\theta }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ \theta ,\ {\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(\theta \cos \theta +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\sin \theta ,\ \cos \theta +\theta \sin \theta ,\ \theta \cos \theta +\left({\frac {1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\sin \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\theta \sin \theta -{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\cos \theta ,\ \sin \theta -\theta \cos \theta ,\ \theta \sin \theta -\left({\frac {1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\cos \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{alignedat}}}$

適切な座標またはフェルミ座標は、( 4b )にまたはを挿入することによって得られる。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

曲率、は等速円運動と組み合わされた双曲運動を生み出す。世界線は^{[110] [111] [112] [113] [114] [115] [116]で与えられる。}${\displaystyle \kappa _{1}\neq 0}$${\displaystyle \kappa _{2}\neq 0}$${\displaystyle \kappa _{3}\neq 0}$

どこ

接線速度、固有接線速度、ラピディティ、軌道半径、座標角速度、固有角速度、回転角として、ローレンツ因子がある。フレネ・セレ四面体は^{[111] [113]}${\displaystyle v}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle h}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ -n\sin \theta ,\ -n\cos \theta \right)\\\mathbf {e} _{(1)}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(\gamma a\sinh \eta ,\ \gamma a\cosh \eta ,\ -np\cos \theta ,\ -np\sin \theta \right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-n\cosh \eta ,\ -n\sinh \eta ,\ \gamma \sin \theta ,\ -\gamma \cos \theta \right)\\\mathbf {e} _{(3)}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(np\sinh \eta ,\ np\cosh \eta ,\ \gamma a\cos \theta ,\ \gamma a\sin \theta \right)\end{aligned}}}$

同じ世界線上の対応する非回転フェルミ–ウォーカー四面体は次のようになります。まず( 9b )を( 3a )に代入すると角速度が得られ、これを( 9a )と一緒に( 3b 、左)に代入し、最後に( 3b、右)に代入するとフェルミ–ウォーカー四面体が生成されます。適切な座標またはフェルミ座標は、またはを( 4b )に代入することで得られます(結果の式は長いためここでは示していません)。 ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

前の #History セクションで説明した内容に加えて、Herglotz、Kottler、Møller の貢献についてさらに詳しく説明します。これらの著者は、平坦な時空における加速運動の広範な分類を行ったためです。

ヘルグロッツ（1909）^{[H 5]}は、メトリック

${\displaystyle ds^{2}=d\sigma ^{2}+{\frac {1}{A_{44}}}(d\nu )^{2}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}d\nu &=A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{3}+A_{44}d\xi _{4}\\d\sigma ^{2}&=\sum _{1}^{3}ij\ A_{ij}d\xi _{i}d\xi _{j}-{\frac {1}{A_{44}}}\left(A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{3}\right)^{2}\end{aligned}}}$

は、のときにボルン剛性の条件を満たします。彼は、ボルン剛体の運動は一般にその点の 1 つの運動によって決定される (クラス A) が、3 つの曲率が一定でらせんを表す世界線 (クラス B) は例外であると指摘しました。後者の場合、ヘルグロッツは一連の運動の軌跡に対応する次の座標変換を与えました。 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}d\sigma ^{2}=0}$

（H1）、 ${\displaystyle x_{i}=a_{i}+\sum _{1}^{4}a_{ij}x_{j}^{\prime },\qquad i=1,2,3,4}$

ここで、 と は固有時間の関数である。 について微分し、 を定数と仮定すると、 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle \vartheta }$${\displaystyle \vartheta }$${\displaystyle x_{i}}$

（H2）${\displaystyle {\frac {dx_{i}^{\prime }}{d\vartheta }}+q_{i}+\sum _{1}^{4}p_{ij}x_{j}^{\prime }=0}$

ここで、は の原点の 4 元速度を表し、は の周りの角速度を表す6 元ベクトル（つまり、2 次 の反対称 4 元テンソル、または6 つの独立した要素を持つ 2ベクトル）です。任意の 6 元ベクトルと同様に、 には 2 つの不変量があります。 ${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle O'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle -p_{ij}}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle O'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=p_{23}p_{14}+p_{31}p_{24}+p_{12}p_{34},\\\Delta &=p_{23}^{2}+p_{31}^{2}+p_{12}^{2}+p_{14}^{2}+p_{24}^{2}+p_{34}^{2},\end{aligned}}}$

が定数で が変数のとき、(H1) によって記述される任意の運動族は群を形成し、等距離曲線族と同値となり、ボルン剛性を満たします。これは、それらが と剛直に接続されているためです。このような運動群を導くために、(H2) を任意の定数値および で積分することができます。回転運動の場合、これは不変量またはがゼロかどうかによって 4 つの群になります。これらの群は、ローレンツ変換の 4 つの 1 パラメータ群に対応します。これらの群は、ローレンツ変換 ( での回転)はでの双曲運動に対応するという仮定のもと、前のセクションでヘルグロッツによってすでに導出されています。後者は 19 世紀に研究され、フェリックス・クラインによって斜航運動、楕円運動、双曲運動、放物運動に分類されました (メビウス群も参照)。 ${\displaystyle x_{j}^{\prime }}$${\displaystyle \vartheta }$${\displaystyle S'}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p_{ij}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle R_{4}}$${\displaystyle R_{3}}$

フリードリヒ・コットラー（1912）^{[H 6]は}ヘルグロッツに従い、以下のフレネ・セレの公式を用いて4次元で同じ定曲率の世界線を導いた。世界線の共動四面体と3つの曲率 ${\displaystyle c^{(\alpha )}}$${\displaystyle {\frac {1}{R_{1}}},\ {\frac {1}{R_{2}}},\ {\frac {1}{R_{3}}}}$

${\displaystyle {{\begin{matrix}{\frac {dc_{1}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{2}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{3}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{4}^{(\alpha )}}{ds}}=\end{matrix}}\left.{\begin{matrix}*&{\frac {c_{2}^{(\alpha )}}{R_{1}}}&*&*\\-{\frac {c_{1}^{(\alpha )}}{R_{1}}}&*&{\frac {c_{3}^{(\alpha )}}{R_{2}}}&*\\*&-{\frac {c_{2}^{(\alpha )}}{R_{2}}}&*&{\frac {c_{4}^{(\alpha )}}{R_{3}}}\\*&*&-{\frac {c_{3}^{(\alpha )}}{R_{3}}}&*\end{matrix}}\alpha =1,2,3,4\right\}}}$

（ １ ）に対応する。コットラーは、テトラッドはそのような世界線の基準フレームとして見ることができると指摘した。そして、軌道の変換を与えた。

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(1)}c_{1}+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$（と）${\displaystyle {h=1,2,3,4}}$

（ 4a ）と一致している。コットラーはまた、基底ベクトルが通常の空間で固定され、したがって回転を共有しない四元体を定義しました。この場合はさらに2つのケースに区別されました。接線（つまり、時間的）四元体場が一定である場合、空間的四元体場は接線と「厳密に」接続された四元 体に置き換えることができます。${\displaystyle {c_{2}^{(h)},c_{3}^{(h)},c_{4}^{(h)}}}$${\displaystyle {b_{2}^{(h)},b_{3}^{(h)},b_{4}^{(h)}}}$

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\eta _{0}^{(1)}c_{1}+\eta _{0}^{(2)}b_{2}+\eta _{0}^{(3)}b_{3}+\eta _{0}^{(4)}b_{4}}}$

2番目のケースは、 を設定することによって通常空間に「固定」されたベクトルである。コトラーは、これがヘルグロッツによって与えられたクラスBに対応することを指摘した（コトラーはこれを「第二種のボルンの体」と呼ぶ）。 ${\displaystyle {\eta ^{(1)}=0}}$

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\eta _{0}^{(2)}b_{2}+\eta _{0}^{(3)}b_{3}+\eta _{0}^{(4)}b_{4}}}$、

そしてヘルグロッツのクラス（A）（コットラーはこれを「第一種ボルンの体」と呼ぶ）は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}}$

どちらも式（4b）に対応する。

---

（1914a）^{[H 6]}コトラーは、変換

${\displaystyle X=x+\Gamma ^{(1)}c_{1}+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$、

物体の点の非同時座標を記述するのに対し、${\displaystyle \Gamma ^{(1)}=0}$

${\displaystyle X=x+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$、

物体の点の同時座標を記述する。これらの式は、次の式を挿入することで「一般化ローレンツ変換」となる。

${\displaystyle \Gamma ^{(3)}=X',\quad \Gamma ^{(4)}=Y',\quad \Gamma ^{(2)}=Z',\quad \Gamma ^{(1)}=ic(T'-\tau )}$

したがって

${\displaystyle X-x=ic(T'-\tau )c_{1}+Z'c_{2}+X'c_{3}+Y'c_{4}}$

（ 4b ）と一致して。彼は、時間軸が世界線のそれぞれの接線と一致するシステムに対して、「固有座標」と「固有フレーム」（ドイツ語：Eigenkoordinaten、Eigensystem）という用語を導入しました。彼はまた、世界線が次のように定義される第2種のボルン剛体が、

${\displaystyle {\mathfrak {X}}=x+\Delta ^{(2)}c_{2}+\Delta ^{(3)}c_{3}+\Delta ^{(4)}c_{4}}$、

は、適切なフレームを定義するのに特に適しています。この式を使用して、彼は双曲運動（自由落下）と等速円運動の適切なフレームを定義しました。

（1916a）コトラーは、3つの曲率に基づいて加速度相対運動の一般的な測定基準を与えた。

${\displaystyle {\begin{aligned}dS^{2}=&d\xi ^{\prime 2}+d\eta ^{\prime 2}+d\zeta ^{\prime 2}-2c\ d\tau 'd\xi '\cdot \eta 'i/R_{2}+2c\ d\tau 'd\eta '\cdot \left(\xi 'i/R_{2}-\zeta 'i/R_{3}\right)+c\ d\tau 'd\zeta '\cdot \eta 'i/R_{3}\\&-c^{2}d\tau ^{\prime 2}\left[\left(1-\xi '/R_{1}\right)^{2}+\eta ^{\prime 2}/R_{2}^{2}+\eta ^{\prime }/R_{3}^{2}+\left(\xi '/R_{2}-\zeta '/R_{3}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

（1916b）で彼はそれを次のように表現した。

${\displaystyle {ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+2g_{14}dx\ dit+2g_{24}dy\ dit+2g_{34}dz\ dit+g_{44}(dit)^{2}}}$

ここで、 は 、および、およびから自由であり、において線形です。 ${\displaystyle {g_{14}g_{24}g_{34}g_{44}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\frac {\partial g_{i4}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial g_{k4}}{\partial x_{i}}}=0}$${\displaystyle {\frac {\partial g_{i4}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial g_{k4}}{\partial x_{i}}}={\text{const.}}}$${\displaystyle {\sqrt {g}}}$${\displaystyle xyz}$

Møller (1952) ^[7]は次のような輸送方程式を定義した。

${\displaystyle {\frac {de_{i}}{d\tau }}={\frac {\left(e_{l}{\dot {U}}_{l}\right)U_{i}-{\dot {U}}_{i}\left(i_{l}U_{l}\right)}{c^{2}}}}$

フェルミ・ウォーカー輸送（ 2 、回転なし）と一致している。瞬間慣性系へのローレンツ変換は次のように与えられた。

${\displaystyle x_{i}=f_{i}(\tau )+x_{k}^{\prime }\alpha _{ki}(\tau )}$

（4a）と一致している。、および と設定することにより、彼は「剛体基準系の相対論的類似体」への変換を得た。 ${\displaystyle x^{i}=x_{l}^{\prime }}$${\displaystyle x_{4}^{\prime }=0}$${\displaystyle t=\tau }$

${\displaystyle X_{i}=f_{i}(t)+x^{\prime \kappa }\alpha _{\kappa i}(\tau )}$

フェルミ座標（4b）と一致し、計量

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}}$

回転のないフェルミ計量（4c）と一致した。彼はフェルミ・ウォーカー四元体と双曲運動および等速円運動のフェルミ座標を得た（双曲運動のいくつかの公式は1943年にすでに彼によって導かれていた）。

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• 物理学FAQ: 特殊相対性理論における加速
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