一般相対論における測地線

一般相対性理論では、測地線は「直線」の概念を曲がった時空に一般化します。重要なことは、すべての外部の非重力の力から自由な粒子の世界線が、特定のタイプの測地線であるということです。言い換えれば、自由に移動または落下する粒子は常に測地線に沿って移動します。

一般相対性理論では、重力は力ではなく、曲がった時空幾何学の結果とみなすことができます。この場合、曲率の源は応力エネルギーテンソル(たとえば、物質を表します) です。したがって、たとえば、恒星を周回する惑星の軌道は、恒星の周りの曲がった 4 次元 (4-D) 時空幾何学の測地線を 3 次元 (3-D) 空間に投影したものです。

完全な測地線方程式は、 sが運動のスカラーパラメータ（例えば、固有時） であり、および が 2 つの下位のインデックスで対称なクリストッフェル記号（アフィン接続係数またはレヴィ-チヴィタ接続係数と呼ばれることもある）である。ギリシャ語のインデックスは 0、1、2、3 のいずれかの値を取り、繰り返しのインデックスおよびには総和規則が用いられる。この方程式の左辺の量は粒子の加速度であるため、この方程式はニュートンの運動の法則 に類似しており、ニュートンの運動の法則も同様に粒子の加速度の公式を提供している。クリストッフェル記号は 4 つの時空座標の関数であるため、測地線方程式によって運動が記述されるテスト粒子の速度や加速度などの特性とは無関係である。 $${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\ }$$${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

これまで、測地線運動方程式はスカラーパラメータsで記述されてきました。代わりに時間座標で記述することもできます(ここでは定義を示すために3 つのバーを使用しました)。測地線運動方程式は次のようになります。 ${\displaystyle t\equiv x^{0}}$$${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .}$$

この測地線運動方程式の定式化は、コンピュータ計算や一般相対性理論とニュートン重力の比較に役立ちます。^[1]連鎖律を使用して、固有時間をパラメータとして使用する形式からこの形式の測地線運動方程式を導くのは簡単です。この最後の方程式の両辺は、ミュー指数をゼロに設定すると消えることに注意してください。粒子の速度が十分に小さい場合、測地線方程式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle {d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}.}$$

ここで、ラテンインデックスn は[1,2,3] の値を取ります。この式は、特定の場所と時間にあるすべてのテスト粒子が同じ加速度を持つことを意味します。これはニュートン重力のよく知られた特徴です。たとえば、国際宇宙ステーション内を漂っているすべてのものは、重力によりほぼ同じ加速度を受けます。

物理学者スティーブン・ワインバーグは、等価原理から直接測地線運動方程式を導出しました。^[2]このような導出の最初のステップは、自由落下する粒子が、自由落下座標系 ( ) に関して点事象の近傍で加速しないと仮定することです。 を設定すると、自由落下で局所的に適用できる次の方程式が得られます。 次のステップは、多次元連鎖律を使用することです。次の式が得られます。 時間についてもう一度微分すると、次の式が得られます 。 等価原理により、この最後の式の左辺は消えなければならないことはすでに述べました。 したがって、 次の式が得られます。 この最後の式の両辺に次の量を掛けます。 したがって、次の式 が得られます 。${\displaystyle X^{\mu }}$${\displaystyle T\equiv X^{0}}$$${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}=0.}$$$${\displaystyle {dX^{\mu } \over dT}={dx^{\nu } \over dT}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}}$$$${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}={d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$$$${\displaystyle {d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$$$${\displaystyle {\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}}$$$${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right].}$$

ワインバーグはアフィン接続を次のように定義している。^[3] これは次の式につながる。 $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \alpha }=\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]}$$$${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}.}$$

局所慣性時間座標「T」を使用する代わりに、固有時間「s」を運動パラメータとして使用した場合、測地運動方程式の導出は完了することに注意してください。いずれにせよ、1次元の連鎖律を適用して続けましょう。 $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}.}$$ $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$$

前と同様に、 と設定できます。すると、 tに関するx ⁰の 1 次導関数は 1 になり、 2 次導関数は 0 になります。λを0 に置き換えると次のようになります。 ${\displaystyle t\equiv x^{0}}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$$

これを前の式から d x ^λ / d t倍すると、次の式が得られます。 これは測地線運動方程式の形式です (座標時間をパラメータとして使用)。 $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}}$$

測地線運動方程式は平行移動の概念を使って導くこともできる。^[4]

作用原理を介して測地線方程式を導くことができます (これが最も一般的な手法です) 。時間的に離れた 2 つのイベント間の測地線を見つけようとする場合を考えてみましょう。

作用を とします 。 ここで は線分要素です。曲線は時間的であるため、平方根の内側には負の符号があります。測地線方程式を得るには、この作用を変化させる必要があります。これを行うには、パラメータ に関してこの作用をパラメータ化します。これを行うと、次の式が得られます。 $${\displaystyle S=\int ds}$$${\displaystyle ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}}$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\,d\lambda }$$

ここで、この作用を曲線に対して変化させることができます。最小作用の原理により、次の式が得られます。 ${\displaystyle x^{\mu }}$$${\displaystyle 0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\right)\,d\lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}}d\lambda }$$

積の法則を用いると次の式が得られます。 ここで $${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d\delta x^{\nu }}{d\lambda }}\right)\,d\lambda =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\,d\lambda }$$$${\displaystyle {\frac {d\tau }{d\lambda }}={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}$$

最後の項を部分積分し、全体の導関数（境界ではゼロに等しい）を削除すると、次のようになります。 $${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\right)\,d\tau =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}-2\delta x^{\mu }g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}\right)\,d\tau }$$

少し単純化すると次のようになります。 したがって、 この式に を掛けると次のようになります。 $${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-2{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\right)\delta x^{\mu }d\tau }$$$${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }-{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$$${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$$${\displaystyle 0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$$

ハミルトンの原理により、オイラー・ラグランジュ方程式は $${\displaystyle g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)=0}$$

逆計量テンソルを 掛けると次のようになる。 ${\displaystyle g^{\mu \beta }}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right){\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$$

こうして測地線方程式が得られる。 クリストッフェル記号 は計量テンソルによって次のように定義される。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$$$${\displaystyle \Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)}$$

^{(注: 同様の導出を、若干の修正を加えることで、光のような[引用が必要]}または空間のような分離された点のペア間の測地線に対しても同様の結果を得ることができます。)

アルバート・アインシュタインは、測地線運動方程式は空間の場の方程式、すなわちリッチ曲率がゼロになるという事実から導かれると信じていた。彼は次のように書いている。^[5]

この運動の法則は、任意の大きさの重力質量の場合に一般化され、空の空間の場の方程式のみから導出できることが示されています。この導出によれば、運動の法則は、場が生成質量点以外のどこでも特異ではないという条件によって暗示されます。

そして^[6]

元の相対論的重力理論の欠陥の 1 つは、場の理論としては完全ではなかったことです。粒子の運動の法則は測地線の方程式によって与えられるという独立した仮説を導入しました。

完全な場の理論は場だけを知り、粒子や運動の概念は知りません。なぜなら、これらは場から独立して存在してはならず、場の一部として扱われるからです。

特異点のない粒子の記述に基づいて、結合された問題を論理的により満足のいく形で扱う可能性が生まれます。つまり、場の問題と運動の問題が一致するのです。

物理学者も哲学者も、重力特異点の運動を記述するために測地線方程式を場の方程式から得ることができるという主張を何度も繰り返してきたが、この主張は依然として議論の的となっている。^[7]デイビッド・マラメントによると、「測地線原理は一般相対性理論の定理として再現できるが、それはアインシュタインの方程式（または保存則）のみの結果ではない。問題の定理を導くには他の仮定が必要である」。^[8]場の方程式が点特異点の運動とは区別して流体または塵の運動を決定するという考えは、それほど議論の余地がない。^[9]

等価原理から測地線方程式を導出する際には、局所慣性座標系内の粒子は加速していないと 仮定した。しかし、現実には粒子は帯電しており、ローレンツ力に従って局所的に加速している可能性がある。つまり、 $${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{\alpha \beta }}.}$$$${\displaystyle {\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.}$$

ミンコフスキーテンソル は次のように表されます。 ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$$${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

これらの最後の3つの方程式は、自由落下中の加速度がゼロであると仮定する代わりに、一般相対性理論における運動方程式を導出するための出発点として使用できます。^{[2]ここではミンコフスキーテンソルが関係しているため、一般相対性理論では}計量テンソル と呼ばれるものを導入する必要があります。計量テンソルgは対称であり、自由落下中のミンコフスキーテンソルに局所的に縮小されます。結果として得られる運動方程式は次のとおりです。 [ ^10] $${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{\alpha \beta }}.}$$$${\displaystyle {g_{\alpha \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=-1.}$$

この最後の方程式は、粒子が時間的測地線に沿って動いていることを示しています。光子のような質量のない粒子は、代わりにヌル測地線に従います (最後の方程式の右辺で -1 を 0 に置き換えます)。最後の 2 つの方程式は、後者を固有時間に関して微分したときに互いに矛盾しないことが重要であり、次のクリストッフェル記号の式によってその矛盾が保証されます。 この最後の方程式は電磁場を含まず、電磁場が消える極限でも適用できます。上付き文字gは、計量テンソルの逆数を表します。一般相対性理論では、テンソルの添え字は、計量テンソルまたはその逆数との収縮によってそれぞれ下げられたり上げられたりします。 $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)}$$

2 つのイベント間の測地線は、定常間隔(4 次元の「長さ」)を持つ 2 つのイベントを結合する曲線として記述することもできます。ここでの定常とは、変分法で使用される用語の意味で使用され、つまり、曲線に沿った間隔は測地線の近くにある曲線間で最小限に変化します。

ミンコフスキー空間では、任意の 2 つのイベントを結ぶ測地線は 1 つしか存在せず、時間的測地線の場合、これは2 つのイベント間の固有時間が最も長い曲線です。曲がった時空では、大きく離れた 2 つのイベントの間に複数の時間的測地線が存在する可能性があります。このような場合、複数の測地線に沿った固有時間は一般に同じではありません。このような場合の測地線によっては、2 つのイベントを結び、測地線に近い曲線の固有時間が測地線よりも長くなるか短くなる可能性があります。^[11]

2 つのイベントを通る空間的な測地線の場合、ミンコフスキー空間であっても、その 2 つのイベントを通る、測地線より長いか短い固有長を持つ近くの曲線が常に存在します。ミンコフスキー空間では、測地線は直線になります。慣性参照フレームで測地線と純粋に空間的に異なる (つまり、時間座標を変更しない) 曲線は、測地線より固有長が長くなりますが、そのような参照フレームで測地線と純粋に時間的に異なる (つまり、空間座標を変更しない)曲線は、固有長が短くなります。

時空における曲線の間隔は $${\displaystyle l=\int {\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\,ds\ .}$$

そして、オイラー・ラグランジュ方程式は、 計算 を すると、 $${\displaystyle {d \over ds}{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\ ,}$$$${\displaystyle 2\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }\right)=U^{\lambda }{d \over ds}\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\ ,}$$${\displaystyle U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.}$

パラメータsがアフィンに選択されると、上の式の右辺は消えます（定数であるため）。最終的に、測地線方程式が得られます。 ${\displaystyle U_{\nu }U^{\nu }}$$${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }=0\ .}$$

測地線方程式は、曲線の自動平行移動から導出することもできます。導出は、We-Heraeus 国際冬季講座「重力と光」で Frederic P. Schuller が行った講義に基づいています。

が接続を持つ滑らかな多様体であり、が多様体上の曲線であるとします。曲線が自動平行移動可能であるのは、 の場合のみです。 ${\displaystyle (M,O,A,\nabla )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0}$

測地線方程式を導くためには、チャートを選択する必要があります。 直線性とライプニッツの法則 を使用します。${\displaystyle (U,x)\in A}$$${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}\left({\dot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$$${\displaystyle C^{\infty }}$$${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}\left(\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\dot {\gamma }}^{m}\right){\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$$

接続が関数（）にどのように作用するかを使用し、接続係数関数の助けを借りて2番目の項を展開します。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{m}}$$${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial {\dot {\gamma }}^{m}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$$

最初の項は と簡略化できます。ダミーインデックスの名前を変更します。 ${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}}$$${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$$

最終的に測地線方程式に到達します。 $${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}=0}$$

• 測地線
• 測地歳差
• シュヴァルツシルト測地線
• ハミルトン流としての測地線
• シングの世界関数

• スティーブン・ワインバーグ、「重力と宇宙論：一般相対性理論の原理と応用」、（1972年）ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ニューヨーク、ISBN  0-471-92567-5。第3章を参照。
• Lev D. LandauとEvgenii M. Lifschitz 著、『The Classical Theory of Fields』(1973) Pergammon Press, Oxford ISBN 0-08-018176-7セクション 87 を参照。 
• チャールズ・W・ミスナー、キップ・S・ソーン、ジョン・アーチボルド・ウィーラー、『重力』 (1970)WHフリーマン、ニューヨーク、ISBN 0-7167-0344-0。 
• Bernard F. Schutz、『一般相対性理論入門』(1985年、2002年) Cambridge University Press: Cambridge, UK; ISBN 0-521-27703-5。 第6章を参照。 
• Robert M. Wald、「一般相対性理論」（1984年）シカゴ大学出版局、シカゴ。 セクション3.3を参照。