立方根

数学 において、数xの3 乗根とは、 y ³ = xとなる数y のことです。すべての非ゼロの実数は、ちょうど 1 つの実数 3 乗根と 1 組の複素共役3 乗根を持ち、すべての非ゼロの複素数は3 つの異なる複素 3 乗根を持ちます。たとえば、 と表記される8の実数 3 乗根は2です。これは2 ³ = 8であるためです。一方、 8の他の 3 乗根はとです。 -27 iの 3 つの 3 乗根は次のとおりです。 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}}$${\displaystyle -1+i{\sqrt {3}}}$${\displaystyle -1-i{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle 3i,\quad {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i、\quad {\text{and}}\quad -{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i.}$

いくつかの文脈では、特に立方根を取るべき数が実数である場合、立方根の1つ（この特定のケースでは実数）は主立方根と呼ばれ、根号 で表されます。実数だけを考えれば立方根は立方関数の逆関数ですが、複素数も考えればそうではありません。非ゼロ数の立方は常に複数の複素立方根を持ちますが、その主立方根は立方化された数ではない場合があります。たとえば、ですが、${\displaystyle {\sqrt[{3}]{~^{~}}}.}$${\displaystyle \left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{3}=x,}$${\displaystyle (-1+i{\sqrt {3}})^{3}=8}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2.}$

数xの立方根は、次の式を満たす 数yである。

${\displaystyle y^{3}=x.\ }$

任意の実数xに対して、 y ³  =  xとなる実数y が1 つ存在します。3乗関数は増加するため、2 つの異なる入力に対して同じ結果は得られず、すべての実数をカバーします。言い換えると、これは全単射、つまり 1 対 1 です。次に、これも 1 対 1 である逆関数を定義できます。実数に対して、すべての実数の一意の 3 乗根を定義できます。この定義を使用すると、負の数の 3 乗根は負の数になります。

xとy が複素数であることが許される場合、解は 3 つあり ( xが 0 でない場合)、したがってxには 3 つの立方根があります。実数には 1 つの実数立方根と、複素共役ペアを形成するさらに 2 つの立方根があります。たとえば、 1の立方根は次のとおりです。

${\displaystyle 1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

これらの根の最後の 2 つは、任意の実数または複素数のすべての根の間の関係につながります。ある数が特定の実数または複素数の 1 つの立方根である場合、他の 2 つの立方根は、その立方根に 1 の 2 つの複素 3 乗根のいずれかを掛け合わせることで求められます。

複素数の場合、主立方根は通常、実部が最大となる立方根、または、引数の絶対値が最小となる立方根として定義されます。これは、自然対数の主値と次の式で 結びついています。

${\displaystyle x^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).}$

xを次のように 書くと

${\displaystyle x=r\exp(i\theta )\,}$

ここでrは非負の実数であり、θは範囲

${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$、

すると、主複素立方根は

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}$

これは、極座標では、半径の 3 乗根を取り、極角を 3 で割って 3 乗根を定義することを意味します。この定義では、負の数の主な 3 乗根は複素数であり、たとえば³ √ −8 は−2 ではなく、1 + i √ 3になります。

この問題は、立方根を多価関数として考えることでも解決できます。元の複素数xを3つの同値な形式で書き表すと、

${\displaystyle x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}}$

これら3つの形式の主な複素立方根はそれぞれ

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}}$

x = 0でない限り、 xの 3 つの表現が同等であっても、これら 3 つの複素数は異なります。たとえば、³ √ −8 は、 −2、 1 + i √ 3、または1 − i √ 3と計算される可能性があります。

これはモノドロミーの概念に関連しています。関数の立方根をゼロの周りの閉じた経路に沿って連続的にたどると、回転した後、立方根の値は${\displaystyle e^{2i\pi /3}.}$

立方根は、与えられた角度の 1/3 の角度を求める問題 (角の三等分) や、与えられた辺を持つ立方体の 2 倍の体積を持つ立方体の辺を求める問題 ( 立方体の2 倍を求める) で発生します。1837 年にピエール・ワンツェルは、これらのどちらもコンパスと定規を使った作図では実行できないことを証明しました。

ニュートン法は、立方根を計算するために使用できる反復法です。実数浮動小数点数の場合、この方法は次の反復アルゴリズムに簡略化され、 aの立方根のより優れた近似値を連続的に生成します。

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).}$

この方法は、選択された3つの要因を単純に平均化するものであり、

${\displaystyle x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a}$

各反復ごとに。

Halley 法は、反復ごとに作業量は増えるものの、反復ごとにより速く収束するアルゴリズムでこれを改善します。

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).}$

これは3乗的に収束するので、2回の反復はニュートン法の3回の反復と同じ量の作業になります。ニュートン法の各反復では、2回の乗算、1回の加算、1回の除算が必要です。1/3⁠ a は事前計算されているため、3 回の反復と事前計算には 7 回の乗算、3 回の加算、および 3 回の除算が必要です。

ハレー法の各反復には、3 回の乗算、3 回の加算、および 1 回の除算が必要です^[1]。したがって、2 回の反復には、6 回の乗算、6 回の加算、および 2 回の除算が必要です。したがって、1 回の除算が 3 回の加算よりもコストがかかる場合は、ハレー法の方が高速になる可能性があります。

どちらの方法でも、 x ₀の初期近似値が不十分だとアルゴリズムのパフォーマンスが非常に低下する可能性があり、良好な初期近似値を得るのは一種の黒魔術のようなものです。実装によっては、浮動小数点数の指数ビットを操作します。つまり、指数を 3 で割ることで初期近似値を得ます。^[1]

また、 n 乗根法 に基づくこの一般化連分数も便利です。

x がaの 3 乗根の良い第一近似値であり、y = a − x ³である場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle =x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.}$

2 番目の方程式は、最初の方程式の分数のペアをそれぞれ 1 つの分数に結合するため、収束速度が 2 倍になります。

三次方程式は三次（未知数の最大のべき乗は 3）の多項式方程式であり、その 3 つの解は常に立方根と平方根で解くことができます（ただし、3 つの解のうち少なくとも 1 つが有理数であれば、3 つの解すべてに対して平方根のみで表すより簡単な表現が存在します）。解のうち 2 つが複素数の場合、3 つの解の表現はすべて実数の実数 3 乗根を含みますが、3 つの解がすべて実数の場合は、複素数の複素数 3 乗根で表すことができます。

四次方程式は、立方根と平方根を使って解くこともできます。

立方根の計算は、紀元前1800年頃のバビロニアの数学者にまで遡ることができます。 ^[2]紀元前4世紀にプラトンは立方体を2倍にする問題を提示しました。これは、コンパスと定規を使用して、与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体の辺を構築することを要求しました。これには、現在では不可能であることがわかっている長さ3√2^の構築が必要でした。

立方根を求める方法は、紀元前2世紀頃に編纂され、紀元3世紀に劉徽が注釈をつけた中国の数学書『九章算術』^{に登場します。 [3]}ギリシャの数学者ヘロン・オブ・アレクサンドリアは、紀元1世紀に立方根を計算する方法を考案しました。彼の公式は、エウトキオスがアルキメデスの注釈の中で再び言及しています。^[4]紀元499年、インド数学とインド天文学の古典時代の数学者で天文学者のアリヤバータは、アリヤバーティヤ（セクション2.5）で桁数の多い数の立方根を求める方法を示しました。^[5]

• 平方根を計算する方法
• 多項式トピックのリスト
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• 立方根計算機は任意の数を最も単純な根号形式に縮約します
• 立方根の計算、Ken Turkowski、Apple テクニカル レポート #KT-32、1998 年。C ソース コードが含まれています。
• Weisstein、Eric W.「立方根」。MathWorld。