レイトレーシング（グラフィックス）

入力として、（計算ではベクトル正規化と外積を使用します）：

• ${\displaystyle E\in \mathbb {R^{3}} }$目の位置
• $\displaystyle T\in \mathbb {R^{3}} }$目標位置
• ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$視野- 人間の場合、$\displaystyle \approx \pi /2{\text{ rad}}=90^{\circ }}$
• ${\displaystyle m,k\in \mathbb {N} }$ビューポートの垂直方向と水平方向の正方形ピクセル数
• ${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq k\land 1\leq j\leq m}$実際のピクセル数
• $\displaystyle {\vec {v}}\in \mathbb {R^{3}} }$上下方向を示す垂直ベクトル。通常${\displaystyle {\vec {v}}=[0,1,0]}$-回転軸がET断面である点Cを中心としたビューポートの回転を決定するロールコンポーネント

そのアイデアは、各ビューポートのピクセル中心の位置を見つけることです。${\displaystyle P_{ij}}$これにより、目から伸びる線を見つけることができます。${\displaystyle E}$そのピクセルを通過して、最終的に点によって記述される光線を取得します${\displaystyle E}$およびベクトル${\displaystyle {\vec {R}}_{ij}=P_{ij}-E}$（またはその正規化）${\displaystyle {\vec {r}}_{ij}}$まず、ビューポートの左下隅のピクセルの座標を見つける必要があります。${\displaystyle P_{1m}}$そして、ビューポートに平行な方向（ベクトル）に沿ってシフトすることで次のピクセルを見つけます。${\displaystyle {\vec {b}}_{n}}$、${\displaystyle {\vec {v}}_{n}}$) にピクセルのサイズを掛けます。以下では、距離を含む式を紹介します。${\displaystyle d}$目とビューポートの間。ただし、この値はレイ正規化の際に減少します。${\displaystyle {\vec {r}}_{ij}}$（だから、それを受け入れるしかないでしょう）${\displaystyle d=1}$そして計算から除外する）。

事前計算：ベクトルを見つけて正規化しましょう${\displaystyle {\vec {t}}}$およびベクトル${\displaystyle {\vec {b}},{\vec {v}}}$これらはビューポートと平行です（すべて上の図に示されています）。

${\displaystyle {\vec {t}}=T-E,\qquad {\vec {b}}={\vec {t}}\times {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\vec {t}}_{n}={\frac {\vec {t}}{||{\vec {t}}||}},\qquad {\vec {b}}_{n}={\frac {\vec {b}}{||{\vec {b}}||}},\qquad {\vec {v}}_{n}={\vec {t}}_{n}\times {\vec {b}}_{n}}$

ビューポートの中心に注意してください${\displaystyle C=E+{\vec {t}}_{n}d}$次に、ビューポートのサイズを計算します。${\displaystyle h_{x},h_{y}}$逆アスペクト比を含めて2で割った値${\displaystyle {\frac {m-1}{k-1}}}$

${\displaystyle g_{x}={\frac {h_{x}}{2}}=d\tan {\frac {\theta }{2}},\qquad g_{y}={\frac {h_{y}}{2}}=g_{x}{\frac {m-1}{k-1}}}$

そして、次のピクセルシフトベクトルを計算します。${\displaystyle q_{x},q_{y}}$ビューポートに平行な方向に沿って（${\displaystyle {\vec {b}},{\vec {v}}}$）、左下中央ピクセル${\displaystyle p_{1m}}$

${\displaystyle {\vec {q}}_{x}={\frac {2g_{x}}{k-1}}{\vec {b}}_{n},\qquad {\vec {q}}_{y}={\frac {2g_{y}}{m-1}}{\vec {v}}_{n},\qquad {\vec {p}}_{1m}={\vec {t}}_{n}d-g_{x}{\vec {b}}_{n}-g_{y}{\vec {v}}_{n}}$

計算：注記${\displaystyle P_{ij}=E+{\vec {p}}_{ij}}$そしてレイ${\displaystyle {\vec {R}}_{ij}=P_{ij}-E={\vec {p}}_{ij}}$それで

${\displaystyle {\vec {p}}_{ij}={\vec {p}}_{1m}+{\vec {q}}_{x}(i-1)+{\vec {q}}_{y}(j-1)}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{ij}={\frac {{\vec {R}}_{ij}}{||{\vec {R}}_{ij}||}}={\frac {{\vec {p}}_{ij}}{||{\vec {p}}_{ij}||}}}$

自然界では、光源から発せられた光線は、最終的にその進行を遮る表面に到達します。この「光線」は、同じ経路を進む光子の流れと考えることができます。完全な真空状態では、この光線は直線になります（相対論的効果は無視します）。この光線には、吸収、反射、屈折、蛍光という4つの現象が起こり得ます。表面は光線の一部を吸収し、反射光や屈折光の強度を低下させます。また、光線の全部または一部を1つまたは複数の方向に反射することもあります。表面に透明または半透明の性質がある場合、光線の一部を別の方向に屈折させながら、スペクトルの一部（または全部）を吸収し（場合によっては色も変化させます）。まれに、表面が光の一部を吸収し、より長い波長の光をランダムな方向に蛍光的に再放出することもあります。ただし、これは非常にまれな現象であるため、ほとんどのレンダリングアプリケーションでは考慮する必要はありません。吸収、反射、屈折、蛍光といった現象を考慮すると、入射光はすべて考慮に入れなければならず、それ以上は考慮に入れてはならない。例えば、ある表面が入射光線の66%を反射し、50%を屈折させるということはあり得ない。なぜなら、両者を合計すると116%になってしまうからである。反射または屈折した光線は、そこから他の表面に当たり、その表面の吸収、屈折、反射、蛍光といった特性が、入射光線の進行に再び影響を与える。これらの光線の一部は、私たちの目に届き、私たちがその光景を目にする原因となり、最終的な画像に寄与する。

再帰的レイ トレーシングの前身であるレイ キャスティングの基本的な考え方は、目から発せられる光線をピクセルごとに追跡し、その光線の経路を遮る最も近いオブジェクトを見つけることです。画像を網戸に例えると、網戸の各正方形がピクセルになります。これが、目がそのピクセルを通して見るオブジェクトです。このアルゴリズムは、シーン内のマテリアルの特性と光の効果を利用して、このオブジェクトの陰影を決定できます。表面が光源に面している場合、光はその表面に到達し、遮られたり影になったりしないという簡略化された仮定が置かれています。表面の陰影は、従来の 3D コンピュータ グラフィックスの陰影モデルを使用して計算されます。レイ キャスティングが従来のスキャンライン アルゴリズムよりも提供していた重要な利点の 1 つは、円錐や球などの非平面の表面や立体を容易に処理できることでした。数学的な表面が光線と交差できる場合、レイ キャスティングを使用してレンダリングできます。複雑なオブジェクトは、ソリッド モデリング技術を使用して作成し、簡単にレンダリングできます。

ボリュームレイキャスティング方式では、各レイをトレースし、レイに沿って色や密度をサンプリングして、最終的なピクセルカラーに組み合わせます。この方法は、オブジェクトを明示的なサーフェス（三角形など）で容易に表現できない場合によく用いられます。例えば、雲や3D医療スキャンをレンダリングする場合などです。

SDF レイマーチング、または球面トレーシング^{[ 16 ]}では、各レイは、符号付き距離関数(SDF)で定義された表面とレイとの交点を近似するために、複数ステップでトレースされます。SDF は、表面のどの部分も見逃さずにできるだけ大きなステップを取ることができるように、各反復ごとに評価されます。閾値を使用して、表面に十分近い点に到達したときに、それ以上の反復をキャンセルします。この方法は、3D フラクタルレンダリングによく使用されます。^{[ 17 ]}

以前のアルゴリズムでは、目からシーンに向かって光線を追跡し、物体に当たるまで追跡していましたが、光線を再帰的に追跡することなく光線の色を決定していました。再帰的レイトレーシングでは、このプロセスを継続します。光線が表面に当たると、反射、屈折、影のために追加の光線が生成されることがあります。^{[ 18 ]}

• 反射光線は鏡面反射の方向に描かれる。その光線が交差する最も近い物体が、反射像として映る。
• 透明な物質を通過する屈折光線も同様に作用しますが、屈折光線は物質に入射または出射する可能性があるという点が異なります。ターナー・ウィッテッドは、透明な固体を通過する光線の数学的論理を拡張し、屈折の影響を含めるようにしました。^{[ 19 ]}
• 各光源に向かって影の光線が描かれます。表面と光源の間に不透明な物体が存在する場合、その表面は影になり、光源は表面を照らしません。

これらの再帰的な光線は、レイトレーシング画像にさらなるリアリティをもたらします。

レイ トレーシング ベースのレンダリングの人気は、ラスタライズなどの他のレンダリング方法とは異なり、光の輸送の現実的なシミュレーションに基づいている点にあります。ラスタライズは、ジオメトリの現実的なシミュレーションに重点を置いています。他のアルゴリズムではシミュレートするのが難しい反射や影などの効果は、レイ トレーシング アルゴリズムの自然な結果です。各レイの計算上の独立性により、レイ トレーシングは基本的なレベルの並列化に適していますが、^{[ 20 ]}レイ パスの分岐により、並列処理での高い利用率は実際にはかなり困難です。^{[ 21 ]}

レイ トレーシングの重大な欠点はパフォーマンスですが、シーンの複雑さと画面上のピクセル数によっては、理論的には従来のスキャンライン レンダリングよりも高速になる可能性があります。2010 年代後半まで、リアルタイムのレイ トレーシングは、複雑なタスクでは一般消費者向けハードウェアでは不可能だと考えられていました。スキャンライン アルゴリズムやその他のアルゴリズムは、データの一貫性を使用してピクセル間で計算を共有しますが、レイ トレーシングは通常、各目の光線を個別に処理してプロセスを新たに開始します。ただし、この分離には、必要に応じてより多くの光線を発射して空間アンチエイリアシングを実行し、必要に応じて画像品質を向上させることができるなど、他の利点があります。

Whitted式再帰的光線追跡は、相互反射や屈折などの光学効果を処理できますが、一般的にフォトリアリスティックではありません。レンダリング方程式を完全に評価すると、光の流れのあらゆる物理的効果が概念的に含まれるため、リアリズムが向上します。しかし、必要な計算リソースや、幾何学的および材料モデリングの忠実度の制限を考えると、これは実現不可能です。パストレーシングはレンダリング方程式を評価するためのアルゴリズムであり、現実世界の照明をより忠実にシミュレーションできます。

目から光源に向かって光線を照射して画像を生成するプロセスは、光子が実際に進む方向とは逆であるため、 「逆光線追跡」と呼ばれることがあります。しかし、この用語には混乱が生じています。初期の光線追跡は常に目から行われており、ジェームズ・アーヴォなどの初期の研究者は、光源から光線を照射して結果を取得することを「逆光線追跡」と呼んでいました。したがって、目に基づく光線追跡と光源に基づく光線追跡を区別する方がより明確です。

直接照明は一般的に目ベースのレイ トレーシングを使用してサンプリングするのが最適ですが、特定の間接効果は光源から生成されたレイから恩恵を受けることができます。コースティクスは、広い反射領域からの光が狭い (ほぼ) 拡散面領域に集束することによって生じる明るいパターンです。光源から反射オブジェクトに直接レイを投射し、その経路を目まで追跡するアルゴリズムは、この現象をより適切にサンプリングします。この目ベースと光源ベースのレイの統合は、双方向パス トレーシングとして表現されることが多く、目と光源の両方からパスが追跡され、その後、一定の長さの後で接続レイによってパスが結合されます。^{[ 22 ] [ 23 ]}

フォトン マッピングは、光ベースと目ベースの両方のレイ トレーシングを使用するもう 1 つの方法です。最初のパスでは、高エネルギーの光子が光源からの光線に沿って追跡され、3 次元空間の関数として放射束の推定値 (同名のフォトン マップ自体) が計算されます。次のパスでは、目からシーンに向かって光線が追跡され、可視面が決定され、フォトン マップを使用して可視面の点の照明が推定されます。^{[ 24 ] [ 25 ]}双方向パス トレーシングと比較したフォトン マッピングの利点は、統計的バイアスの代償として、フォトンを大幅に再利用して計算を削減できることです。

光が非常に狭い開口部を通ってシーンを照らさなければならない場合（暗い部屋で、明るい部屋に通じるドアが少し開いている場合など）、またはほとんどの点が光源に直接視線を向けられないシーン（天井照明器具やトーチなど）では、別の問題が発生します。このような場合、ごく一部の経路のみがエネルギーを伝達します。メトロポリス光輸送は、経路空間のランダム探索から始まり、エネルギーのある経路が見つかったら、近くの光線空間を探索することでこの情報を再利用する手法です。^{[ 26 ]}

右側の画像は、上記のアルゴリズムを用いてカメラ（または目）から光源まで再帰的に生成された光線の経路の簡単な例を示しています。拡散面はあらゆる方向に光を反射します。

まず、視点から光線が生成され、ピクセルを通ってシーンへとトレースされ、そこで拡散面に当たります。その面から、アルゴリズムは反射光線を再帰的に生成し、シーン内をトレースして別の拡散面に当たります。最後に、別の反射光線が生成され、シーン内をトレースして光源に当たり、吸収されます。ピクセルの色は、最初の拡散面と2番目の拡散面の色、および光源から放出される光の色によって決まります。たとえば、光源が白色光を放出し、2つの拡散面が青色の場合、結果として得られるピクセルの色は青色になります。

レイ・トレーシングの原理を理解するために、光線と球体の交点を求める方法を考えてみましょう。これは、線と球体の交点を求めるための数学的な計算と、それに続くピクセルの色を決定する計算の仕組みです。もちろん、レイ・トレーシングの一般的なプロセスにはもっと多くの要素がありますが、これは使用されるアルゴリズムの一例を示しています。

ベクトル表記では、中心が の球の方程式は次のようになります。${\displaystyle \mathbf {c} }$半径${\displaystyle r}$は

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}.}$

点から始まる光線上の任意の点${\displaystyle \mathbf {s} }$方向を定めて${\displaystyle \mathbf {d} }$（ここ${\displaystyle \mathbf {d} }$は単位ベクトルです) は次のように書くことができます

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {s} +t\mathbf {d} ,}$

どこ${\displaystyle t}$その距離は${\displaystyle \mathbf {x} }$そして${\displaystyle \mathbf {s} }$我々の問題では、${\displaystyle \mathbf {c} }$、${\displaystyle r}$、${\displaystyle \mathbf {s} }$（例えば光源の位置）${\displaystyle \mathbf {d} }$、そして私たちは見つける必要がある${\displaystyle t}$したがって、${\displaystyle \mathbf {x} }$:

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {s} +t\mathbf {d} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}.}$

させて${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {s} -\mathbf {c} }$簡略化のため、

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {v} +t\mathbf {d} \right\Vert ^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ^{2}+t^{2}\mathbf {d} ^{2}+2\mathbf {v} \cdot t\mathbf {d} =r^{2}}$

${\displaystyle (\mathbf {d} ^{2})t^{2}+(2\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )t+(\mathbf {v} ^{2}-r^{2})=0.}$

dが単位ベクトルであることを知っていれば、次のようなちょっとした簡略化が可能になります。

${\displaystyle t^{2}+(2\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )t+(\mathbf {v} ^{2}-r^{2})=0.}$

この二次方程式には解があります

${\displaystyle t={\frac {-(2\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )\pm {\sqrt {(2\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )^{2}-4(\mathbf {v} ^{2}-r^{2})}}}{2}}=-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )\pm {\sqrt {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {d} )^{2}-(\mathbf {v} ^{2}-r^{2})}}.}$

2 つの値${\displaystyle t}$この方程式を解くことで得られるのは、次の2つです。${\displaystyle \mathbf {s} +t\mathbf {d} }$これらは、光線が球面と交わる点です。

負の値は光線上にはなく、反対側の半線（つまり、から始まる線）上にあります。${\displaystyle \mathbf {s} }$反対方向）。

平方根の中の量（判別式）が負の場合、光線は球と交わらない。

ここで、少なくとも正の解が存在すると仮定し、${\displaystyle t}$最小値とします。さらに、球がシーン内で光線と交差する最も近い物体であり、反射性物質でできていると仮定します。光線がどの方向に反射されるかを求める必要があります。反射の法則によれば、反射角は入射光線と球の法線との間の入射角と等しく、反対方向になります。

球面の法線は単純に

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {y} -\mathbf {c} }{\left\Vert \mathbf {y} -\mathbf {c} \right\Vert }},}$

どこ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {s} +t\mathbf {d} }$は、以前に見つけた交点です。反射方向は、反射によって見つけることができます。${\displaystyle \mathbf {d} }$に関して${\displaystyle \mathbf {n} }$つまり

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {d} -2(\mathbf {n} \cdot \mathbf {d} )\mathbf {n} .}$

したがって、反射光線は次の式で表されます。

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} +u\mathbf {r} .\,}$

あとは、後者の光線と視野との交点を計算して、反射光線が当たるピクセルを取得するだけです。最後に、このピクセルに適切な色を設定します。この際、元の光源の色と球体の色が反射によってどのように組み合わされるかを考慮します。

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