ソリッドモデリング

ソリッドモデリング（またはソリッドモデリング）は、3次元形状（ソリッド）の数学的およびコンピュータモデリングのための一貫した原則です。ソリッドモデリングは、 3Dモデリングなどの幾何学的モデリングやコンピュータグラフィックスのより広範な関連分野の中で、物理的な忠実度を重視する点で区別されます。^[1]幾何学的モデリングとソリッドモデリングの原則は、3Dコンピュータ支援設計の基礎を形成し、一般に、物理オブジェクトのデジタルモデルの作成、交換、視覚化、アニメーション、調査、注釈付けをサポートします。

ソリッド モデリング技術を使用すると、設計プロセスの一部として実行されるいくつかの困難なエンジニアリング計算のプロセスを自動化できます。機械加工や組み立てなどのプロセスのシミュレーション、計画、検証は、ソリッド モデリング開発の主なきっかけの 1 つでした。最近では、サポートされる製造アプリケーションの範囲が大幅に拡大し、板金 製造、射出成形、溶接、配管ルーティングなどが含まれるようになりました。従来の製造を超えて、ソリッド モデリング技術は、ラピッド プロトタイピング、デジタル データのアーカイブ、物理オブジェクト上のサンプリングされたポイントからソリッドを再構築することによるリバース エンジニアリング、有限要素を使用した機械分析、動作計画と NC パス検証、メカニズムの運動学的および動的分析などの基盤として機能します。これらすべてのアプリケーションで中心的な問題は、実際のアーティファクトの物理的動作と一致する方法で 3 次元ジオメトリを効果的に表現および操作する能力です。ソリッド モデリングの研究開発は、これらの問題の多くに効果的に対処しており、引き続きコンピューター支援エンジニアリングの中心的な焦点となっています。

今日実践されているソリッドモデリングの概念は、機械幾何モデリングシステムにおける情報の完全性に対する特定の必要性に依存しており、つまり、あらゆるコンピュータモデルは、対応する物理的オブジェクトに要求される可能性のあるすべての幾何学的クエリをサポートする必要があるという意味で、この要件は暗黙的に、2 つの表現が一貫している限り、同じ物理的オブジェクトの複数のコンピュータ表現の可能性を認識しています。物理的オブジェクトの概念が計算可能な数学的特性によって定義され、特定の表現とは独立していない限り、表現の情報の完全性を計算的に検証することは不可能です。このような推論により、今日知られているソリッドモデリングの分野を形成したモデリングパラダイムが開発されました。^[2]

製造されたすべてのコンポーネントは有限のサイズと適切に動作する境界を持っているため、当初は追加または削除できる均質な等方性材料で作られた剛性部品を数学的にモデル化することに重点が置かれていました。これらの仮定された特性は、3 次元ユークリッド空間のサブセットである領域の特性に変換できます。「固体性」を定義する 2 つの一般的なアプローチは、それぞれ点集合トポロジーと代数トポロジーに依存しています。両方のモデルは、単純なピースまたはセルから固体を構築する方法を指定します。

連続体点集合の堅固性モデルによれば、任意のX ⊂ ℝ ³のすべての点は、Xに関する近傍に従って、内部点、外部点、境界点として分類できます。ℝ ^{3に一般的な}ユークリッド計量が備わっていると仮定すると、点p ∈ Xの近傍は開いた球の形をとります。X が堅固であるとみなされるためには、任意のp ∈ Xのすべての近傍が一貫して 3 次元でなければなりません。より低次元の近傍を持つ点は堅固性の欠如を示します。近傍の次元の同質性は、内部の閉包に等しい集合として定義される閉じた正規集合のクラスに対して保証されます。任意のX ⊂ ℝ ³は、その内部の閉包を取ることによって閉じた正則集合に変換、つまり「正規化」することができ、したがって、立体のモデリング空間は、数学的には ℝ ³の閉じた正則部分集合の空間として定義されます( Heine-Borel 定理により、すべての立体はコンパクト集合であることが暗示されています)。さらに、立体は、集合の和、積、差のブール演算の下で閉じている必要があります (材料の追加と削除後の固体性を保証するため)。標準的なブール演算を閉じた正則集合に適用すると、閉じた正則集合が生成されない可能性がありますが、この問題は、標準的なブール演算を適用した結果を正規化することで解決できます。^{[3]正規化された集合演算は、∪ ∗}、∩ ^∗、および − ^∗で表されます。

集合X ⊂ ℝ ³を立体として組み合わせ論的に特徴付けるには、 X を向き付け可能なセル複合体として表し、セルが、それ以外は無数の連続体にある点に対して有限の空間アドレスを提供するようにする必要があります。^{[1]ユークリッド空間の}半解析的 有界部分集合のクラスは、ブール演算 (標準および正規化) に対して閉じており、すべての半解析集合を次元 0、1、2、3 の互いに素なセルのコレクションに層化できるという追加の特性があります。半解析集合を点、線分、三角形の面、および四面体要素のコレクションに三角形分割することは、よく使用される層化の例です。固体性の組み合わせモデルは、半解析的有界部分集合であることに加えて、立体は 3 次元の位相多面体、具体的には境界を持つ 3 次元の向き付け可能な多様体であると要約されます。^[4]特に、これは多面体の組み合わせ境界^[5]のオイラー特性が2であることを意味します。固体の組み合わせ多様体モデルはまた、ジョーダン-ブラウワー定理の結果として、固体の境界が空間を正確に2つの要素に分割することを保証し、これにより、製造不可能と見なされる非多様体近傍を持つ集合を排除します。

立体の点集合モデルと組み合わせモデルは完全に互いに整合しており、必要に応じて連続体または組み合わせ特性に依存して互換的に使用でき、n次元に拡張できます。この整合を容易にする重要な特性は、ℝ ⁿの閉じた正規部分集合のクラスが、均質なn次元位相多面体と正確に一致することです。したがって、すべてのn次元立体は、その境界によって明確に表現でき、境界は均質なn −1 次元近傍を持つn−1次元多面体の組み合わせ構造を持ちます。

仮定された数学的特性に基づくと、立体を表現するあらゆる方式は、ユークリッド空間の半解析的サブセットのクラスに関する情報を捕捉する方法である。つまり、すべての表現は、同じ幾何学的および位相的なデータをデータ構造の形式で編成するさまざまな方法である。すべての表現方式は、プリミティブのセットに対する有限の数の操作に基づいて編成される。したがって、特定の表現のモデリング空間は有限であり、単一の表現方式ではすべてのタイプの立体を表現するのに十分ではない可能性がある。たとえば、正規化されたブール演算の組み合わせによって定義された立体は、非常に単純な場合を除き、空間の軌跡に従って移動するプリミティブのスイープとして必ずしも表現できるとは限らない。このため、現代の幾何学的モデリング システムは、立体の複数の表現方式を維持し、表現方式間の効率的な変換を容易にする必要がある。

以下はソリッドモデルを作成または表現するために使用される手法のリストです。^[4]現代のモデリングソフトウェアは、これらのスキームを組み合わせてソリッドを表現する場合があります。

この方式は、オブジェクトのファミリーの概念に基づいています。ファミリーの各メンバーは、いくつかのパラメーターによって他のメンバーと区別できます。各オブジェクト ファミリーは汎用プリミティブと呼ばれ、ファミリー内の個々のオブジェクトはプリミティブ インスタンスと呼ばれます。たとえば、ボルトのファミリーは汎用プリミティブであり、特定のパラメーター セットによって指定された単一のボルトはプリミティブ インスタンスです。純粋なパラメーター化されたインスタンス化方式の特徴は、インスタンスを組み合わせて、新しいより複雑なオブジェクトを表す新しい構造を作成する手段がないことです。この方式のもう 1 つの主な欠点は、表現されたソリッドのプロパティを計算するアルゴリズムの作成が難しいことです。かなりの量のファミリー固有の情報をアルゴリズムに組み込む必要があるため、各汎用プリミティブを特殊なケースとして扱う必要があり、全体を均一に扱うことができません。

このスキームは、本質的には、ソリッドによって占有される空間セルのリストです。セルはボクセルとも呼ばれ、固定サイズの立方体で、固定空間グリッドに配置されます (他の多面体配置も可能ですが、立方体が最も単純です)。各セルは、セルの重心などの単一点の座標によって表される場合があります。通常、特定のスキャン順序が課され、対応する順序付けられた座標セットは空間配列と呼ばれます。空間配列は、一義的で一意のソリッド表現ですが、「マスター」または定義表現として使用するには冗長すぎます。ただし、それらはパーツの大まかな近似を表すことができ、特に構成ソリッドジオメトリなどの他の表現と組み合わせて使用​​すると、幾何学アルゴリズムのパフォーマンスを向上させるために使用できます。

このスキームは、上で詳述した固体の組合せ論的（代数的位相的）記述に従う。固体は、複数のセルに分解して表現できる。空間占有列挙スキームは、すべてのセルが立方体で規則的なグリッド内にあるセル分解の特殊なケースである。セル分解は、固体の連結性（ピースの数）や属数（穴の数）などの特定の位相的特性を計算するための便利な方法を提供する。三角形分割の形のセル分解は、偏微分方程式の数値解を求める 3D有限要素で使用される表現である。ホイットニー正則層状化やモース分解などの他のセル分解は、ロボットの動作計画のアプリケーションに使用される可能性がある。^[6]

境界表現と同様に、オブジェクトの表面が表現されます。ただし、複雑なデータ構造や NURBS ではなく、頂点とエッジの単純な表面メッシュが使用されます。表面メッシュは、構造化 ( STL ファイルの三角形メッシュや、四辺形の水平および垂直リングを持つ四角形メッシュなど) することも、ランダムにグループ化された三角形と高レベルのポリゴンを持つ非構造化メッシュにすることもできます。

構成的ソリッドジオメトリ (CSG) は、上で説明した正規化されたセット操作を介して、ブール構成またはプリミティブの組み合わせとして剛性ソリッドを表現するためのスキームのファミリです。CSG と境界表現は、現在、ソリッドの最も重要な表現スキームです。CSG 表現は、非終端ノードが剛性変換 (方向保存アイソメトリ) または正規化されたセット操作を表す順序付きバイナリツリーの形式を取ります。終端ノードは、閉じた正規セットを表すプリミティブリーフです。CSG 表現のセマンティクスは明確です。各サブツリーは、サブツリーのプリミティブリーフによって表されるセットに指定された変換/正規化されたセット操作を適用した結果の集合を表します。CSG 表現は、材料の追加または削除 (ボス、穴、ポケットなど) に対応するフィーチャの形式で設計意図を捉えるのに特に役立ちます。 CSGの魅力的な特性としては、簡潔性、立体の妥当性の保証、計算上便利なブール代数特性、立体のプリミティブとその位置や方向を定義する高レベルのパラメータによる立体の形状の自然な制御などが挙げられます。比較的単純なデータ構造と洗練された再帰アルゴリズム^[7]もCSGの人気にさらに貢献しています。

スイープ スキームに具体化されている基本概念は単純です。空間を移動するセットは、移動するセットとその軌道によって表現されるボリューム (ソリッド) をトレースまたはスイープできます。このような表現は、指定された軌道に沿って移動するカッターから削除された材料を検出する、相対的に移動する 2 つのソリッドの動的干渉を計算する、モーション プランニング、さらにはキャンバス上で移動するブラシの動きをトレースするなどのコンピューター グラフィックス アプリケーションなどのアプリケーションのコンテキストで重要です。ほとんどの市販の CAD システムは、主に断面を横切る空間軌道上を移動する 2 次元断面の形でスイープ ソリッドを作成する (限定された) 機能を提供します。ただし、現在の研究では、1 つのパラメーターを横切って移動する 3 次元形状の近似値や、複数のパラメーターの動きが示されています。

点の集合X を定義する非常に一般的な方法は、空間内の任意の点で評価できる述語を指定することです。言い換えると、 X は、述語によって指定された条件を満たすすべての点で構成されるように暗黙的に定義されます。述語の最も単純な形式は、実数値関数の符号に関する条件であり、これにより、等式と不等式による集合のよく知られた表現がもたらされます。たとえば、 条件、、 がそれぞれ平面 と 2 つの開いた線形半空間 を表す場合です。より複雑な関数プリミティブは、より単純な述語のブール結合によって定義できます。さらに、 R 関数の理論により、このような表現を任意の閉じた半解析的集合の単一の関数不等式に変換できます。このような表現は、マーチング キューブアルゴリズムなどのポリゴン化アルゴリズムを使用して境界表現に変換できます。 ${\displaystyle f=ax+by+cz+d}$${\displaystyle f(p)=0}$${\displaystyle f(p)>0}$${\displaystyle f(p)<0}$

フィーチャは、固有の幾何学的パラメータ（長さ、幅、深さなど）、位置と方向、幾何公差、材料特性、および他のフィーチャへの参照などの属性に関連付けられたパラメトリック形状として定義されます。 ^[8]フィーチャは、関連する製造プロセスとリソースモデルへのアクセスも提供します。したがって、フィーチャは、プリミティブな閉じた正規集合よりも意味的に高いレベルにあります。フィーチャは一般に、CADと下流の製造アプリケーションをリンクするための基礎となることが期待されており、設計データの再利用のためにデータベースを編成するための基礎にもなります。パラメトリックフィーチャベースのモデリングは、エンジニアリングにおける複雑なオブジェクトのシステムを完全に記述するために、構成的バイナリソリッドジオメトリ（CSG）と頻繁に組み合わせられます。

ソリッド モデラーの歴史的発展は、 CAD の歴史全体の中で捉える必要があります。重要なマイルストーンは、研究用システム BUILD の開発と、それに続く商用スピンオフであるRomulus の開発であり、 Romulus はParasolid、ACIS、Solid Modeling Solutionsの開発に影響を与えました。独立国家共同体(CIS)における最初の CAD 開発企業の 1 つであるASCON は、 1990 年代に独自のソリッド モデラーの内部開発を開始しました。^[9] 2012 年 11 月、ASCON の数学的部門が独立した会社となり、C3D Labsと名付けられました。この会社には、 C3D ジオメトリ モデリング カーネルをスタンドアロン製品として開発するタスクが割り当てられました。これは、ロシアで唯一の商用 3D モデリング カーネルです。^[10]その他の貢献は、 Mäntylä の GWB と、 1980 年代初頭にハイブリッド モデリング手法などに貢献した GPM プロジェクトによるものです。この頃、ローマ大学で ソリッド モデリングのプログラミング言語PLaSMが考案されました。

ソリッドのモデリングは、 CAD システムの機能の最低限の要件にすぎません。ソリッド モデラーは、コンピュータの高速化とソフトウェア価格の競争力により、過去 10 年間でエンジニアリング部門で一般的に使用されるようになりました^。ソリッド モデリング ソフトウェアは、機械の設計と分析のためにコンポーネントの仮想 3D 表現を作成します。^{[ 11 ]}一般的なグラフィカル ユーザー インターフェイスには、プログラム可能なマクロ、キーボード ショートカット、および動的なモデル操作が含まれます。リアルタイムのシェーディングされた 3D でモデルを動的に再配置する機能が重視されており、設計者が頭の中で 3D イメージを維持するのに役立ちます。

ソリッドパーツモデルは、一般的にはフィーチャーのグループで構成され、モデルが完成するまで、フィーチャーは 1 つずつ追加されます。エンジニアリングソリッドモデルは、主にスケッチャーベースのフィーチャー、つまりパスに沿ってスイープして 3D になる 2D スケッチで構築されます。これらは、たとえばカットや押し出しの場合があります。コンポーネントの設計作業は通常、アセンブリモデリング手法を使用して、製品全体のコンテキスト内で行われます。アセンブリモデルには、製品を構成する個々のパーツモデルへの参照が組み込まれています。^[12]

もう 1 つのタイプのモデリング手法は、「サーフェシング」(フリーフォーム サーフェス モデリング) です。ここでは、サーフェスが定義され、トリムおよびマージされ、塗りつぶされてソリッドになります。サーフェスは通常、空間内のデータム曲線とさまざまな複雑なコマンドを使用して定義されます。サーフェシングはより困難ですが、射出成形などの一部の製造手法に適しています。射出成形部品のソリッド モデルには、通常、サーフェシングとスケッチャー ベースの機能の両方があります。

エンジニアリング図面は半自動的に作成され、ソリッド モデルを参照できます。

パラメトリック モデリングでは、パラメータを使用してモデルを定義します (寸法など)。パラメータの例には、モデル フィーチャの作成に使用される寸法、材料の密度、スイープ フィーチャを記述する式、インポートされたデータ (参照サーフェスを記述するデータなど) などがあります。パラメータは後で変更される可能性があり、モデルは変更を反映して更新されます。通常、パーツ、アセンブリ、および図面の間には関係があります。パーツは複数のフィーチャで構成され、アセンブリは複数のパーツで構成されます。図面はパーツまたはアセンブリから作成できます。

例: シャフトは、100 mm の円を押し出して作成されます。ハブはシャフトの端に組み立てられます。その後、シャフトの長さが 200 mm に変更されます (シャフトをクリックし、長さの寸法を選択して、200 に変更します)。モデルが更新されると、シャフトの長さは 200 mm になり、ハブは組み立てられたシャフトの端に再配置され、エンジニアリング図面と質量プロパティにすべての変更が自動的に反映されます。

パラメータに関連していますが、少し異なるのが制約です。制約は、特定の形状を構成するエンティティ間の関係です。窓の場合、側面は平行で、同じ長さであると定義されることがあります。 パラメトリック モデリングは明白で直感的です。しかし、CAD の最初の 30 年間はそうではありませんでした。変更とは、再描画するか、古いカットや突起の上に新しいカットや突起を追加することを意味していました。設計図の寸法は表示されるのではなく作成されるものでした。 パラメトリック モデリングは非常に強力ですが、モデル作成にはより高度なスキルが必要です。射出成形部品の複雑なモデルには数千のフィーチャがある場合があり、最初のフィーチャを変更すると、後のフィーチャが機能しなくなる可能性があります。巧みに作成されたパラメトリック モデルは、保守と変更が容易です。パラメトリック モデリングは、データの再利用にも適しています。たとえば、 キャップ スクリューのファミリ全体を 1 つのモデルに含めることができます。

最新のコンピュータ断層撮影法や磁気共鳴画像スキャナーを使用すると、ボリューム レンダリングを使用して生成された画像を使用して、ボクセルベース モデルと呼ばれる体内の特徴のソリッド モデルを作成できます。光学3D スキャナーを使用すると、体の外部の特徴のポイント クラウドまたはポリゴン メッシュ モデルを作成できます。

医療用ソリッドモデリングの用途。

• 視覚化
• 特定の体の組織（例えば血管と腫瘍のみ）の可視化
• 義肢、矯正器具、その他の医療機器や歯科機器の設計（マスカスタマイゼーションと呼ばれることもあります）
• ラピッドプロトタイピング用のポリゴンメッシュモデルの作成（例えば、難しい手術の準備をする外科医を支援するため）
• ポリゴンメッシュモデルとCADソリッドモデリングの組み合わせ（例えば、股関節置換部品の設計）
• 空気の流れ、血流など複雑な生物学的プロセスの計算分析
• 新しい医療機​​器とインプラントの生体内計算シミュレーション

スキャン データの視覚化を超える用途の場合は、スキャン データの正確で現実的な幾何学的記述を生成するために、画像セグメンテーションや画像ベースのメッシュ作成などのプロセスが必要になります。

コンピュータ上で実行される CAD プログラムは、複雑な形状からなる実際のジオメトリを「理解」するため、3D ソリッドの重心、体積、質量などの多くの属性をすばやく計算できます。たとえば、この記事の冒頭に示されている角が丸い立方体は、平面から平面まで 8.4 mm です。半径が多く、6 つの面のそれぞれが浅いピラミッド状になっているにもかかわらず、右のスクリーンショットに示すように、設計者はその特性を簡単に計算できます。

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