フレネル方程式

フレネル方程式（またはフレネル係数）は、異なる光学媒体の界面に入射した光（または一般に電磁放射）の反射と透過を表します。これらは、光が横波であることを初めて理解したフランスの技術者で物理学者のオーギュスタン＝ジャン・フレネル（/ f r eɪ ˈ n ɛ l / ）によって推定されました。当時は、波が電場と磁場であるとは誰も認識していませんでした。フレネルの方程式が物質界面に入射する s偏光とp偏光の波の異なる動作を正しく予測したため、初めて偏光を定量的に理解できるようになりました。

屈折率 n _{1の媒体と屈折率}n ₂の別の媒体の間の界面に光が当たると、光の反射と屈折の両方が発生する可能性があります。フレネル方程式は、偏光の 2 つの成分ごとに、反射波の電場と入射波の電場の比率、および透過波の電場と入射波の電場の比率を示します。(磁場も同様の係数を使用して関連付けることができます。) これらの比率は一般に複雑で、相対的な振幅だけでなく界面での 位相シフトも表します。

これらの方程式は、媒体間の界面が平坦であり、媒体が均質かつ等方性であると仮定している。^[1]入射光は平面波であると仮定されており、入射光場は平面波と偏光に分解できるため、あらゆる問題を解くのに十分である。

入射波の2 つの異なる直線偏光成分には、2 セットのフレネル係数があります。任意の偏光状態は2 つの直交直線偏光の組み合わせに分解できるため、これはあらゆる問題に十分対応できます。同様に、非偏光(または「ランダム偏光」) 光は、2 つの直線偏光のそれぞれに等しい量のパワーを持ちます。

s 偏光は、波の電界が入射面(以下の導出ではz方向)に垂直に偏光することを指します。この場合、磁場は入射面にあります。p 偏光は、電界が入射面 (以下の導出ではxy平面)に偏光することを指します。この場合、磁場は入射面に垂直です。偏光成分の「s」と「p」という名前は、ドイツ語の「senkrecht」(垂直または垂直) と「parallel」(入射面に平行) に由来しています。

反射と透過は偏光に依存しますが、法線入射（θ = 0）ではそれらの区別がないため、すべての偏光状態は単一のフレネル係数セットによって制御されます（これが当てはまる別の特殊なケースについては以下で説明します）。

右の図では、光線IOの方向の入射平面波が、屈折率n ₁とn ₂の 2 つの媒体の境界面に点Oで衝突します。波の一部は方向 ORに反射され、一部は方向OTに屈折します。入射光線、反射光線、屈折光線が境界面の法線に対してなす角度は、それぞれθ _i、θ _r、θ _tで表されます。これらの角度の関係は、 反射の法則 とスネルの法則によって表されます。 $${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {r} },}$$$${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{\mathrm {i} }=n_{2}\sin \theta _{\mathrm {t} }.}$$

界面に当たる光の挙動は、以下に示すように、電磁波を構成する電場と磁場、および電磁気学の法則を考慮することで説明されます。波の電場（または磁場）振幅の比が得られますが、実際には、光周波数で直接測定できるのは電力（または放射照度）であるため、電力係数を決定する式の方が重要です。波の電力は、一般に電場（または磁場）振幅の2乗に比例します。

入射光のうち界面から反射される部分を反射率（または反射率、または電力反射係数）Rと呼び、第2の媒体に屈折する部分を透過率（または透過率、または電力透過係数）Tと呼びます。これらは界面の両側で測定されるものであり、透過または反射後の吸収媒体における波の減衰は考慮されていないことに注意してください。^[2]

s 偏光の反射率は、 p 偏光 の反射率は、 ここでZ ₁とZ _{2 は}それぞれ媒体 1 と 2 の 波動インピーダンスです。$${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2},}$$$${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2},}$$

媒体は非磁性（すなわち、μ ₁ = μ ₂ = μ ₀）であると仮定します。これは、光周波数では（他の周波数では透明媒体では）通常良い近似値です。^[3]すると、波動インピーダンスは屈折率n ₁とn ₂によってのみ決定されます。 ここで、Z ₀は自由空間のインピーダンスで、i = 1, 2です。この置き換えにより、屈折率を使用した式が得られます。 $${\displaystyle Z_{i}={\frac {Z_{0}}{n_{i}}}\,,}$$$${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}}\right|^{2}\!,}$$ $${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}\!.}$$

各方程式の2番目の形式は、スネルの法則と三角関数の恒等式を使用してθ _{t を}消去することによって最初の形式から導出されます。

エネルギー保存則の結果として、透過電力（より正確には、放射照度：単位面積あたりの電力）は、反射されない入射電力の割合として簡単に求められる：  ^[4] および $${\displaystyle T_{\mathrm {s} }=1-R_{\mathrm {s} }}$$$${\displaystyle T_{\mathrm {p} }=1-R_{\mathrm {p} }}$$

このような強度はすべて、界面に垂直な方向の波の放射照度として測定されることに注意してください。これは、一般的な実験でも測定されるものです。その数値は、入射波または反射波の方向の放射照度(波のポインティング ベクトルの大きさで与えられる)に、法線方向に対して角度θの波のcos  θを掛けて得られます(または、ポインティング ベクトルと界面に垂直な単位ベクトルのドット積を取ることと同じです)。反射係数の場合は、cos  θ _i = cos  θ _rであるため、この複雑さは無視でき、波の方向の反射放射照度と入射放射照度の比率は、界面に垂直な方向の比率と同じです。

これらの関係は基本的な物理学を説明していますが、多くの実際のアプリケーションでは、非偏光と説明できる「自然光」が対象となります。つまり、 s偏光とp偏光のパワーは等しいため、材料の 有効反射率は 2 つの反射率の平均になります。$${\displaystyle R_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{2}}\left(R_{\mathrm {s} }+R_{\mathrm {p} }\right).}$$

コンピュータグラフィックスなどの非偏光光を扱う低精度のアプリケーションでは、各角度の有効反射係数を厳密に計算するのではなく、シュリックの近似がよく使用されます。

垂直入射の場合、θ _i = θ _t = 0であり、s偏光とp偏光の区別はありません。したがって、反射率は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle R_{0}=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\,.}$$

空気 ( n ₁ = 1 )に囲まれた一般的なガラス ( n ₂ ≈ 1.5 ) の場合、垂直入射時の電力反射率は約 4% であり、ガラス板の両面を考慮すると 8% になります。

n _1からn ₂までの誘電体界面には 、R _{p が}ゼロになり、 p 偏光の入射波が純粋に屈折し、反射光がすべて s 偏光になる特定の入射角があります。 この角度はブリュースター角として知られ、n ₁ = 1およびn ₂ = 1.5 (一般的なガラス) の場合、約 56° です。

密度の高い媒体中を進む光が密度の低い媒体の表面に当たると ( n ₁ > n ₂ )、臨界角と呼ばれる特定の入射角を超えると、すべての光が反射され、R _s = R _p = 1になります。この現象は全反射と呼ばれ、スネルの法則により屈折角の正弦が 1 を超えると予測される入射角で発生します (実際にはすべての実数θに対してsin  θ ≤ 1です)。空気に囲まれたn = 1.5のガラスの場合、臨界角は約 42° です。

45° 入射での反射は、90° の方向転換によく使用されます。光が 45° 入射 ( θ = 45° ) で密度の低い媒体から密度の高い媒体に移動する場合には、上記の式から代数的にR _{p は}R _sの 2 乗に等しいことがわかります。 $${\displaystyle R_{\text{p}}=R_{\text{s}}^{2}}$$

これを使用して、R _sとR _pの測定値の一貫性を確認したり、もう 1 つがわかっている場合にもう 1 つを導出したりできます。この関係は、2 つの均質な材料間の単一平面インターフェースの単純な場合にのみ有効であり、より複雑な分析が必要な基板上のフィルムには有効ではありません。

45° でのR _sおよびR _pの測定値は、垂直入射での反射率を推定するために使用できます。^{[引用が必要]最初に}R _sおよびR _pの算術平均と幾何平均を計算し、次にこれら 2 つの平均を再び算術平均することによって得られる「平均の平均」は、ほとんどの一般的な光学材料で約 3% 未満の誤差でR ₀^{の値を与えます。 [引用が必要]}入射ビームと検出器が互いに遮られるため、実験セットアップで垂直入射での測定を行うのは難しい場合があるため、これは便利です。ただし、 10° 未満の角度ではR _sおよびR _pの入射角への依存性は非常に小さいため、入射ビームと反射ビームを分離できる約 5° での測定は通常、垂直入射の良い近似値になります。

電力（例えば光度計で測定可能）に関する上記の式は、電磁場の 複素振幅、​​つまり振幅に加えて位相シフトを考慮して物理的問題を解くフレネル方程式から導出されます。これらの基礎となる方程式は、一般に電磁場の複素数値の比を提供し、使用する形式に応じていくつかの異なる形式を取ることができます。反射と透過の複素振幅係数は通常、小文字のrとtで表されます（電力係数は大文字です）。前と同様に、両方の媒体の透磁率µ は、光周波数でのすべての誘電体に基本的に当てはまるように、自由空間の透磁率µ ₀に等しいと仮定します。

以下の式とグラフでは、次の規則を採用しています。s 偏光の場合、反射係数r は、反射波の複素電界振幅と入射波の複素電界振幅の比として定義されます。一方、p偏光の場合、 rは波の複素磁場振幅の比(または同等に、電界振幅の比の負数) です。透過係数t は、どちらの偏光でも、透過波の複素電界振幅と入射波の複素電界振幅の比です。係数rとt は、通常、 s偏光とp偏光では異なり、垂直入射 ( sとp の指定は適用されません)でも、波がs 偏光と見なされるかp偏光と見なされるかによってrの符号が反転します。これは、採用されている符号規則によるものです (0° 入射時の空気とガラスの境界面のグラフを参照)。

これらの方程式は、平面界面に入射角 で入射する 平面波、角度 で反射する波、および角度 で透過する波を考慮します。吸収性材料への界面 ( nは複素数) または全反射の場合、透過角は一般に実数にはなりません。ただし、その場合、三角関数と幾何学的角度を避けたこれらの関係の定式化を使用して意味のある結果を得ることができます。2 番目の媒体に発射された不均一な波は、単一の伝播角度を使用して記述することはできません。 ${\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {r} }=\theta _{\mathrm {i} }}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {t} }}$

この慣例を用いると、^{[5] [6]} $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}.\end{aligned}}}$$

t _s = r _s + 1 ^[7]であり、 ⁠₂位/1 ₁⁠ t _p = r _p + 1。波の磁場の比に適用する非常によく似た式を書くこともできますが、電場の比較の方が一般的です。

反射波と入射波は同じ媒体を伝播し、表面の法線に対して同じ角度を形成するため、電力反射係数Rはrの2乗の大きさになる。  ^[8] $${\displaystyle R=|r|^{2}.}$$

一方、光は2つの媒体を異なる方向に伝わるため、電力透過係数Tの計算はそれほど簡単ではありません。さらに、2つの媒体の波動インピーダンスは異なります。電力（放射照度）は、電界振幅の2乗を媒体の特性インピーダンスで割った値（または磁場の2乗に特性インピーダンスを掛けた値）で与えられます。この結果は、上記のt の定義を使用すると^次のようになります。導入された係数⁠ $${\displaystyle T={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}|t|^{2}}$$₂位/1 ₁⁠ は媒体の波動インピーダンスの比の逆数です。cos ( θ )係数は、入射波と透過波の両方について、界面に垂直な方向で波のパワーが計算されるように調整し、最大パワーの透過がT = 1に対応するようにします。

全反射の場合、電力透過率T はゼロですが、それでもt は界面のすぐ外側の電界 (位相を含む) を表します。これは、波として伝播しない (したがってT = 0 ) が、界面に非常に近い場所では非ゼロの値を持つエバネッセント場です。全反射時の反射波の位相シフトは、r _pとr _sの位相角(この場合、大きさは 1) から同様に取得できます。これらの位相シフトはs 波とp波で異なり 、これは全反射を使用して偏光変換を行うよく知られた原理です。

上記のr _sの式に（スネルの法則）を代入し、分子と分母に⁠${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$1/1 ₁⁠  sin θ _t 、次式を得る ^{[10] [11]} $${\displaystyle r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

r _pの式についても同様にすると、結果は ^{[12] [13]と等しくなることが簡単に示される。} $${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

これらの式 ^{[14] [15] [16]はそれぞれ}フレネルの正弦法則とフレネルの正接法則として知られています。^{[17]法線入射ではこれらの式は0/0になりますが、} θ _i → 0の極限では正しい結果が得られることがわかります。

光が 2 つ以上の平行な表面間で多重反射する場合、複数の光線は通常互いに干渉し合い、光の波長に応じて透過および反射の純振幅が変わります。ただし、干渉は表面間の距離が光のコヒーレンス長と同等かそれより短い場合にのみ見られます。通常の白色光の場合、コヒーレンス長は数マイクロメートルですが、レーザー光の場合はそれよりずっと長くなることがあります。

反射間の干渉の例としては、シャボン玉や水面の薄い油膜に見られる虹色の色があります。その応用には、ファブリ・ペロー干渉計、反射防止コーティング、光学フィルターなどがあります。これらの効果の定量分析はフレネル方程式に基づいていますが、干渉を考慮するための計算が追加されています。

転送行列法、または再帰ルアード法 ^[18]は、複数の曲面問題を解くために使用できます。

1808年、エティエンヌ＝ルイ・マルスは、光線が適切な角度で非金属表面から反射されると、二重屈折の方解石結晶から発せられる2本の光線のうちの1本のように振舞うことを発見した。^{[19]彼は後にこの振舞いを説明するために}「偏光」という用語を作った。1815年、偏光角の屈折率への依存性は、デイヴィッド・ブリュースターによって実験的に決定された。^[20]しかし、その依存性の理由は深い謎であったため、1817年後半にトーマス・ヤングは次のように書いた。

偏光光線の反射または非反射の十分な理由を解明するという最大の難題は、いかなる理論によっても完全に解決されない野心的な哲学の虚栄心を傷つける問題として、おそらく長い間残るだろう。^[21]

しかし、1821年にオーギュスタン＝ジャン・フレネルは、光波を、それまで偏光面と呼ばれていたものに垂直な振動を持つ横方向の弾性波としてモデル化することで、正弦法則と正接法則（上記）に相当する結果を導き出した。フレネルは、空気からガラスや水に入射する光について、入射ビームが入射面に対して45°で偏光している場合、その方程式が反射ビームの偏光方向を正しく予測することを実験ですぐに確認した。特に、方程式はブリュースター角で正しい偏光を与えた。 [ ^{22]この実験的確認は、フレネルが「非偏光」波を含む光波は}純粋に横方向であるという理論を初めて明らかにした著作の「追記」で報告された。^[23]

フレネルの導出の詳細は、正弦法則と正接法則の現代的な形を含め、1823年1月にフランス科学アカデミーで発表された回顧録の中で後に説明された。 ^[24]この導出は、エネルギー保存則と界面における接線振動の連続性を組み合わせたが、振動の法線成分に関する条件を考慮に入れていなかった。^[25]電磁気原理からの最初の導出は、1875年にヘンドリック・ローレンツによって行われた。 ^[26]

1823年1月の同じ回想録^[24]で、フレネルは臨界角よりも大きい入射角に対して、反射係数（r _sとr _p）の式が単位振幅の複素数値を与えることを発見した。振幅は通常通りピーク振幅の比を表すことに着目し、彼はその引数が位相シフトを表していると推測し、その仮説を実験的に検証した。^[27]検証には 、

• s成分とp成分の間に90°の合計位相差を生じさせる入射角を、その角度での全内部反射の回数に応じて計算する（一般的には2つの解がある）。
• 入射面に対して45°の初期直線偏光で、その入射角でその回数の全反射を光に与え、
• 最終的な偏光が円形であることを確認する。^[28]

こうして彼は、現在フレネル菱形と呼ばれているものの定量的な理論をようやく完成させた。これは彼が 1817 年以来、何らかの形で実験に使用していた装置である (フレネル菱形 § 歴史を参照)。

複素反射係数の成功は、1836年からジェームズ・マックカラーとオーギュスタン＝ルイ・コーシーにインスピレーションを与え、複素屈折率を持つフレネル方程式を使用して金属からの反射を解析するようになりました。^[29]

フレネルは、完成した全反射と菱形の理論を発表する4週間前に回想録 ^[30]を提出し、その中で必要な用語である直線偏光、円偏光、楕円偏光を導入し、^[31]光学回転を複屈折の一種として説明しました。直線偏光は、反対方向に回転する2つの円偏光成分に分解でき、これらが異なる速度で伝播する場合、それらの間の位相差、つまり直線偏光の結果の方向は、距離に応じて連続的に変化します。^[32]

このように、フレネルによる反射係数の複素数値の解釈は、彼の研究のいくつかの流れの合流点となり、横波仮説に基づく物理光学の再構築の本質的な完成を示すものであったと言える (オーギュスタン＝ジャン・フレネルを参照)。

ここでは、電磁気学の前提から上記の関係を体系的に導きます。

意味のあるフレネル係数を計算するには、媒体が（ほぼ）線形かつ均質であると仮定する必要があります。媒体が等方性でもある場合、4 つの場のベクトルE、  B、  D、  Hは次のように 関係付けられ ます。 ここで、 ϵとμ はスカラーであり、それぞれ媒体の（電気）誘電率と（磁気）透磁率と呼ばれます。真空の場合、これらの値はそれぞれϵ ₀とμ ₀です。したがって、相対誘電率（または誘電率）ϵ _rel = ϵ / ϵ ₀、相対透磁率μ _rel = μ / μ ₀と定義します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\epsilon \mathbf {E} \\\mathbf {B} &=\mu \mathbf {H} \,,\end{aligned}}}$$

光学では、媒体は非磁性であると仮定するのが一般的であり、したがってμ _rel = 1です。無線/マイクロ波周波数での強磁性材料の場合、 μ _relのより大きな値を考慮する必要があります。ただし、光学的に透明な媒体、および光周波数でのその他のすべての材料（メタマテリアルを除く）の場合、μ _{rel は}実際には 1 に非常に近くなります。つまり、μ ≈ μ ₀です。

光学では、通常、媒体の屈折率 nが分かっています。これは、真空中の光速 ( c ) と媒体中の光速の比です。部分反射と透過の解析では、電磁波インピーダンス Zも重要です。これは、 Eの振幅とHの振幅の比です。したがって、 nとZ をϵとμで表し、 Z をnに関連付けることが望ましいです。ただし、最後に述べた関係により、反射係数を波のインピーダンス Zの逆数である波のアドミタンスYで簡単に導出できます。

均一な平面 正弦波の場合、波のインピーダンスまたはアドミタンスは、媒体の固有インピーダンスまたはアドミタンスとして知られています。この場合、フレネル係数が導出されます。

均一平面正弦波電磁波では、電場 Eは次の形をとる。

ここで、E _kは（定数）複素振幅ベクトル、iは虚数単位、kは波数ベクトル（その大きさkは角波数）、rは位置ベクトル、ωは角周波数、tは時間であり、式の実数部は物理的な場であることが理解される。 ^{[注 1]位置}rがkに垂直な方向に変化し  ても式の値は変化しないため、k は 波面に対して垂直である。

位相を角度ϕだけ進めるには、 ωt をωt + ϕに置き換えます（つまり、− ωt を− ωt − ϕに置き換えます）。その結果、（複素）場はe ^−iϕで乗算されます。したがって、位相の進みは、負の 引数を持つ複素定数による乗算に相当します。これは、場（1 ）がE _k  e ^{i k ⋅ r} e ^−iωtとして因数分解されると、より明らかになります。最後の因数は時間依存性を含みます。その因数は、時間に関する微分が−iωによる乗算に対応することも意味します。  ^{[注 2]}

ℓ がrのk方向の成分である場合、フィールド ( 1 )はE _k  e ^{i ( kℓ − ωt )と表記できます。} e ^{i (⋯)}の引数が一定である場合、  ℓ は位相速度( v _p )と呼ばれる 速度で増加する必要があります。これは、 に等しくなります。kについて解くと、次の式が得られます 。${\displaystyle \omega /k\,,\,}$ ${\displaystyle c/n}$

いつものように、時間依存の係数e ^{− iωt}は省略する。これは、あらゆる複素場の量を乗じるものと理解されている。一様平面正弦波の電界は、位置依存の位相器で表される。

このような形の場に対して、ファラデーの法則とマクスウェル・アンペールの法則はそれぞれ次のように帰着する ^[33]。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$

上と同じように、 B = μ H、D = ϵ Eとおくと、BとD を消去してEとHのみの方程式を得ることができます。 材料パラメータϵとμが実数（損失のない誘電体など）の場合、これらの方程式はk、E、H が右手直交三元関数 を形成することを示し、同じ方程式がそれぞれのベクトルの大きさに適用されます。大きさの方程式を取り、（ 2） から代入すると、次の式が得られます。 ここで、HとEはHとEの大きさです。最後の 2 つの方程式を掛け合わせると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{aligned}}}$$

同じ2つの式を割る（または掛け合わせる）と、H = YEとなり、ここで

これが固有アドミタンスです。

( 4 )から位相速度 が得られます。真空の場合、これは になります。2番目の結果を最初の結果で割ると、 になります。 非磁性媒体 (通常の場合) の場合、これはになります。( ( 5 )の逆数を取ると、固有インピーダンスが であることがわかります。真空では、これは自由空間のインピーダンスと呼ばれる値になります。割り算すると、になります。非磁性媒体の場合、これは になります。)${\displaystyle c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}}$${\displaystyle c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$$${\displaystyle n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,.}$$${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}}$${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,}$${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$${\displaystyle Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.}$

デカルト座標( x、y、z )において、 y < 0 の領域は屈折率n ₁、固有アドミッタンスY _{1などを持ち、} y > 0 の領域は屈折率n ₂、固有アドミッタンスY ₂などを持つものとします。この場合、xz平面がインターフェイスであり、y軸はインターフェイスに対して垂直です (図を参照)。iとj (太字のローマン体) は、それぞれx方向とy方向の単位ベクトルとします。入射面はxy平面 (ページの平面) とし、入射角θ _{i は}jからiに向かって測定されます。同じ方向に測定された屈折角はθ _tとします。ここで、下付き文字t は透過を表します( r は反射を表します)。

ドップラーシフトがない場合、ωは反射や屈折で変化しない。したがって、（2）により、波数ベクトルの大きさは屈折率に比例する。

したがって、与えられたωに対して、k を参照媒体（n = 1 ）での波動ベクトルの大きさとして再定義する と、波動ベクトルは第 1 媒体（図の領域y < 0 ）で大きさn ₁ k を持ち、第 2 媒体で大きさn ₂ k を持ちます。大きさと形状から、波動ベクトルは、 最後のステップでスネルの法則を使用する場所であることがわかります 。対応する位相器形式（3） のドット積は、$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\end{aligned}}}$$

したがって:

s偏光の場合、電界はz軸に平行なので、 z方向の成分で記述できる 。反射係数と透過係数をそれぞれr _sとt _sとする。入射電界が単位振幅を持つとすると、そのz成分 の位相子形式（3 ）は

そして反射場と透過場は同じ形で

この記事で使用されている符号規則では、正の反射係数または透過係数は、横方向の場の方向、つまり（この文脈では）入射面に対して垂直な場の方向を維持する係数です。s 偏光の場合、これはE場を意味します。入射、反射、および透過E場（上記の式内）がz方向（「ページ外」）にある場合、それぞれのH場は赤い矢印の方向になります。これは、k、E、H が右手直交トライアドを形成するためです。したがって、 H場は、 H _i、H _r、H _tで表される、それらの矢印の方向の成分によって記述できます。次に、H = YEであるため、

界面では、電磁場の通常の界面条件により、 E場とH場の接線成分は連続している必要がある。つまり、

式（ ８）から式（１０ ）を代入し、さらに式（７）を代入すると、指数係数が打ち消され、界面条件は同時方程式に簡約される。

これらはr _sとt _sについて簡単に解くことができ、次の式が得られます。

そして

垂直入射 （θ _i = θ _t = 0）では、添え字0が追加され、これらの結果は次のようになる。

そして

斜入射 （θ _i → 90°）では、cos θ _i → 0 となるため、r _s → −1、t _s → 0となる。

p偏光の場合、入射、反射、透過の電界は赤い矢印に平行なので、矢印の方向の成分で表すことができます。これらの成分をE _i、E _r、E _{tとします（新しいコンテキストに合わせて記号を再定義します）。反射係数と透過係数を} r _pとt _pとします。入射電界が単位振幅を持つとすると、次の式が得られます。

Eフィールドが赤い矢印の方向にある場合、 k、E、H が右手直交トライアドを形成するには、それぞれのHフィールドが- z方向（「ページ内」）にある必要があり、したがってその方向の成分によって記述できます。これは、採用されている符号規則と一致しており、つまり、正の反射係数または透過係数は、横方向のフィールド（p偏光の場合は H フィールド）の方向を維持する係数です。他のフィールドが赤い矢印と一致することから、符号規則の別の定義が明らかになります。つまり、正の反射係数または透過係数とは、入射面のフィールドベクトルが反射または透過の前後で同じ媒体を指す係数です。^[34]

そこで、入射、反射、透過のH場について、それぞれの-z方向の成分をH _i、H _r、H _tとします。すると、H = YEなので、

界面では、EフィールドとHフィールドの接線成分は連続している必要がある。つまり、

式（ 17）と（18 ）を代入し、さらに（7）を代入すると、指数因子は再び打ち消され、界面条件は次のように減少する。

r _pとt _{p を}解くと、

そして

追加の添え字0で示される 垂直入射 （θ _i = θ _t = 0）では、これらの結果は次のようになる。

そして

斜入射 （θ _i → 90°）では、再びcos θ _i → 0 となり、r _p → −1、t _p → 0となります。

（23）と（24）を（15）と（16）と比較すると、採用された符号規則の下では、垂直入射では2つの偏光の透過係数は等しいが、反射係数は大きさは等しいが符号が反対であることがわかる。この符号の衝突は規則の欠点であるが、付随する利点は、斜入射では符号が一致することである。

波のポインティングベクトルは、その方向の成分が、その方向に垂直な表面におけるその波の放射照度（単位面積あたりの電力）であるベクトルです。平面正弦波の場合、ポインティングベクトルは⁠1/2⁠ ‍ Re { E × H ^∗ }、ここでEとH は問題の波のみによるもので、アスタリスクは複素共役を表します。損失のない誘電体内部（通常の場合）では、 EとH は同位相で、互いに直角であり、波数ベクトルkに対しても直角です。そのため、 s 偏光の場合は、それぞれEとHのzおよびxy成分を使用し （または p 偏光の場合は、 EとHのxyおよび− z成分を）、 k方向の放射照度は単にEH /2で与えられ、これは固有インピーダンスZ  = 1/ Yの媒体ではE ² /2 Zです。電力伝送係数の定義で要求されるように、インターフェースに垂直な方向の放射照度を計算するには、 HまたはEのx成分のみ（完全なxy成分ではなく）、または同等に、 EH /2に適切な幾何学的係数を掛けて、 ( E ² /2 Z ) cos θを取得します。  

式（ １３）と式（２１ ）から、大きさの二乗をとると、反射率（反射電力と入射電力の比）は

s偏光の場合、

p偏光の場合。同じ媒体で同じcos θを持つ2つの波のパワーを比較する場合、上記のインピーダンスと幾何学的要因は同一であり、打ち消されることに注意してください。ただし、パワー伝送を計算する場合（以下を参照）、これらの要因を考慮する必要があります。  

電力透過係数（透過率、界面の法線方向、すなわちy方向における透過電力と入射電力の比）を求める最も簡単な方法は、 R + T = 1 （エネルギー保存則）を使用することです。この方法では、

s偏光の場合、

p偏光の場合。

2つの損失のない媒体（ ϵ と μ が実数かつ正）間のインターフェースの場合、式（ 14）と（22 ）で以前に見つけた振幅透過係数の二乗の大きさを使用して、これらの結果を直接得ることができます。しかし、与えられた振幅（前述のように）に対して、ポインティングベクトルのy方向の成分は、幾何学的係数cos  θに比例し、波動インピーダンスZに反比例します。これらの補正を各波に適用すると、振幅透過係数の二乗を乗じた2つの比率が得られます。

s偏光の場合、

p偏光の場合。最後の2つの式は、損失のない誘電体にのみ適用され、臨界角よりも小さい入射角（当然、臨界角を超えるとT = 0）にのみ適用されます。

非偏光の場合: ここで。 $${\displaystyle T={1 \over 2}(T_{s}+T_{p})}$$ $${\displaystyle R={1 \over 2}(R_{s}+R_{p})}$$${\displaystyle R+T=1}$

式( 4 )と式( 5 )から、2つの異なる媒体の透過率の比が誘電率の比の逆数である場合、それらの媒体の屈折率は同じですが、アドミッタンスは異なることがわかります。この異常な状況では、θ _t = θ _i（つまり、透過光線は偏向していない）となり、式( 13 )、( 14 )、( 21 )、( 22 )、( 25 )～( 28 )の余弦が打ち消され、すべての反射率と透過率は入射角とは無関係になります。言い換えると、法線入射の比率はすべての入射角に適用できるようになります。^{[35]これを球面反射や散乱に拡張すると、}ミー散乱のケルカー効果になります。

フレネル方程式は光学用に開発されたため、通常は非磁性体に対して与えられます。式 ( 4 ) を式 ( 5 ) で割ると次の式が得られます。 非磁性体の場合、真空透磁率μ _{0 を}μに代入することができます。つまり 、アドミタンスは対応する屈折率に比例することになります。式 ( 13 ) から式 ( 16 ) および式 ( 21 ) から式 ( 26 ) にこれらの代入を行うと、係数cμ ₀が打ち消されます。振幅係数については次の式が得られます。^{[5] [6]}$${\displaystyle Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}\,.}$$ $${\displaystyle Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{\,c\mu _{0}}}\,;}$$

通常の入射の場合、これらは次のように減少します。

電力反射係数は次のようになります。

電力伝送はT  = 1 −  Rから求められます。

等しい透磁率（例えば非磁性媒体）の場合、θ _iとθ _tが相補的であれば、 cos θ _iをsin θ _t に、cos θ _{t を}sin θ _iに置き換えることができるので、式（ 31 ）の分子はn ₂ ‍ sin θ _t − n ₁ ‍ sin θ _iとなり、これはゼロとなる（スネルの法則による）。したがってr _p = 0となり、s偏光成分のみが反射される。これがブリュースター角で起こることである。スネルの法則で sin θ t を cos θ i に置き換えると、次_の式が_簡単に得られる。         

ブリュースターの角度について。

実際には遭遇しないが、これらの式は、誘電率は共通だが透磁率が異なるため屈折率が異なる 2 つの媒体の場合にも適用できる。式 ( 4 ) および ( 5 ) から、ϵ がμではなく固定されている場合、Y はnに反比例し、その結果、式 ( 29 ) ～ ( 38 ) の添え字 1 と 2 が入れ替わる（分子と分母にn ₁ n ₂を乗じる追加手順のため）。したがって、式 ( 29 ) および ( 31 ) では、屈折率に関するr _sおよびr _pの式が入れ替わり、ブリュースター角 ( 39 ) はr _p = 0ではなくr _s = 0となり、その角度で反射されたビームは s 偏光ではなく p 偏光になる。^[36]同様に、フレネルの正弦法則はs偏光ではなくp偏光に適用され、接線法則はp偏光ではなくs偏光に適用されます。

この偏光の切り替えは、古い光波の力学理論に類似点がある（上記§ 歴史を参照）。異なる屈折率は異なる密度によるものであり、振動は当時偏光面と呼ばれていたものに対して垂直であると仮定する（フレネルのように）、または異なる屈折率は異なる弾性によるものであり、振動はその平面に対して平行であると仮定する（マッカラーとノイマンのように）ことによって、観測と一致する反射係数を予測することができた。^[37]したがって、誘電率が等しく透磁率が等しくないという条件は、現実的ではないものの、歴史的に興味深いものである。

• ジョーンズ計算
• 偏光混合
• インデックスマッチング材料
• 場と力の量
• フレネルロム、フレネルの円偏光を生成する装置
• 反射損失
• 鏡面反射
• シュリックの近似
• スネルの窓
• X線反射率
• 入射面
• 導線上の信号の反射

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• 単一インターフェースの反射および屈折の角度と強度を計算するためのシンプルな Web インターフェース。
• 2 つの誘電体の反射と透過率^{[ permanent dead link ‍ ]} – 屈折率と反射の関係を示す Mathematica インタラクティブ Web ページ。
• 複素屈折率を持つ多層膜からの透過確率と反射確率の自己完結型第一原理導出。