時間の遅れ

時間の遅れとは、2 つの時計で測定される経過時間の差のことで、2 つの時計間の相対速度(特殊相対性理論) または2 つの位置間の重力ポテンシャルの差(一般相対性理論) によって生じます。特に明記されていない場合、「時間の遅れ」は通常、速度による影響を指します。

観測者と動く時計の間の距離の変化によって生じるさまざまな信号遅延（ドップラー効果）を補正した後、観測者は動く時計が、観測者自身の基準フレーム内で静止している時計よりもゆっくりと時を刻んでいると計測する。観測された相対論的時間の遅れと測定された相対論的時間の遅れには違いがある。観測者は、時間の遅れを測定するのと同じようには視覚的に知覚しない。^[1]さらに、質量の大きい物体に近い時計（したがって重力ポテンシャルが低い）は、同じ質量の物体から遠い位置にある時計（したがって重力ポテンシャルが高い）よりも経過時間が短くなる。

相対性理論のこれらの予測は実験によって繰り返し確認されており、例えばGPSやガリレオなどの衛星ナビゲーションシステムの運用において実用的な関心事となっている。^[2]

ローレンツ因子による時間の遅れは、20世紀初頭に数人の著者によって予測されていました。^{[3] [4]} ジョセフ・ラーモア(1897) は、少なくとも原子核を周回する電子については、個々の電子は、その軌道の対応する部分を [静止] システムよりも短い時間で表すと書いています。^[5]エミール・コーン(1904) は、この式を時計の速度に特に関連付けました。^[6]特殊相対性理論の文脈では、アルバート・アインシュタイン(1905)によって、この効果が時間の性質自体に関係していることが示され、その相互性または対称性を指摘した最初の人物でもありました。^[7]その後、ヘルマン・ミンコフスキー(1907) は、時間の遅れの意味をさらに明確にする固有時間の概念を導入しました。 ^[8]${\textstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

特殊相対性理論によれば、慣性座標系内の観測者にとって、観測者に対して動いている時計は、観測者の座標系内で静止している時計よりもゆっくりと進むと測定されます。これは特殊相対論的時間の遅れと呼ばれることもあります。相対速度が速いほど、それらの間の時間の遅れは大きくなり、1 つの時計が光速(299,792,458 m/s)に近づくと、時間は遅くなって停止します。

理論上、時間の遅れにより、高速で移動する乗り物に乗っている乗客は、自分の時間の短い期間で未来に進むことができます。速度が十分に高ければ、その効果は劇的なものになります。たとえば、1年間の移動は地球での10年に相当する可能性があります。実際、一定の1G 加速度により、人間は一生の間に既知の宇宙全体を移動することができます。 ^[10]

現在の技術では宇宙旅行の速度が厳しく制限されているため、実際に経験される違いはごくわずかです。国際宇宙ステーション（ISS）で6か月間過ごし、約7,700 m/sの速度で地球を周回すると、宇宙飛行士は地球にいる場合よりも約0.005秒若くなります。^[11]宇宙飛行士のセルゲイ・クリカレフとセルゲイ・アヴデーエフは、地球上で経過した時間と比較して、約20ミリ秒の時間の遅れを経験しました。^{[12] [13]}

時間の遅れは、特殊相対性理論の第二公理によって規定されるすべての基準系における光速度の観測された不変性から推測できる。この光速度の不変性は、直感に反して、物質の速度と光の速度は加算されないことを意味する。光源に近づいたり遠ざかったりすることで光速度を速く見せることはできない。^{[14] [15] [16] [17]}

次に、光パルスが反射する 2 つのミラーAとBで構成される単純な垂直時計を考えます。ミラー間の距離はLで、光パルスがミラーAに当たるたびに時計は 1 回進みます。

時計が静止しているフレーム（図の左側を参照）では、光パルスは長さ2 Lの経路を描き、時計の刻みの間の時間は2 L を光速cで割った値に等しくなります。 ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{c}}}$

時計の静止フレーム（図の右側）に対して速度vで移動する移動観測者の参照フレームから見ると、光パルスはより長い、角度の付いた経路2 Dを描いているように見えます。すべての慣性観測者に対して光速を一定に保つには、移動する観測者の観点からこの時計のティック間の時間間隔を長くする（つまり膨張させる）必要があります。つまり、ローカル時計に対して移動するフレームで測定すると、ティック速度はティック間の時間間隔 1/ で 1 に等しいため、この時計はより遅く動きます（つまり、刻みます）。 ${\displaystyle \Delta t'}$${\displaystyle \Delta t'}$

ピタゴラスの定理をそのまま適用すると、よく知られている特殊相対性理論の予測が導き出されます。

光パルスがその経路をたどるのにかかる合計時間は次のように求められます。

${\displaystyle \Delta t'={\frac {2D}{c}}}$

半経路の長さは、次のように既知の量の関数として計算できます。

${\displaystyle D={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}v\Delta t'\right)^{2}+L^{2}}}}$

これら 3 つの方程式から変数DとL を除去すると、次のようになります。

これは、移動する観測者から見た時計の周期が時計自体のフレーム内の周期よりも長いという事実を表しています。ローレンツ因子ガンマ（γ）は次のように定義されます^[18]${\displaystyle \Delta t'}$${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

静止フレームで共通の周期を持つすべての時計は、移動フレームから観察した場合にも共通の周期を持つはずなので、他のすべての時計（機械式、電子式、光学式（例の時計の同一の水平バージョンなど））は、同じ速度依存の時間の遅れを示すはずです。^[19]

特定の参照フレームと、前述の「静止した」観測者が与えられた場合、2 番目の観測者が「動いている」時計に同行すると、それぞれの観測者は、互いの時計が自分のローカル時計よりも遅い速度で動いていると計測します。これは、両者とも、互いの時計を自分の静止した参照フレームに対して動いているものとして計測するためです。

常識的に考えれば、動いている物体の時間の経過が遅くなると、その物体は外界の時間がそれに応じて速くなるのを観測するはずです。しかし、直観に反して、特殊相対性理論ではその逆を予測しています。2 人の観測者が互いに相対的に動いているとき、それぞれの観測者は、観測者の基準フレームに対して相対的に動いているのと一致するように、相手の時計が遅くなるのを観測します。

これは自己矛盾のように思えますが、日常生活でも同じような奇妙なことが起こります。AとBの2人が遠くからお互いを観察すると、BはAにとって小さく見えますが、同時にAはBにとって小さく見えます。遠近法の効果をよく知っていると、この状況に矛盾やパラドックスはありません。^[20]

この現象の相互性は、いわゆる双子のパラドックスにもつながります。双子のうち、一方が地球に残り、もう一方が宇宙旅行に出発する場合の老化を比較すると、相互性から、再会したときには両者の年齢は同じになるはずです。しかし、往復旅行の最後には、宇宙旅行中の双子は地球にいる兄弟よりも若くなります。このパラドックスによって生じるジレンマは、状況が対称ではないという事実によって説明できます。地球に残る双子は単一の慣性系にあり、宇宙旅行中の双子は 2 つの異なる慣性系にあります。1 つは行きの慣性系、もう 1 つは帰りの慣性系です。双子のパラドックス § 加速の役割も参照してください。

• 異なる速度でのミューオンの寿命を比較することは可能である。実験室では低速ミューオンが生成され、大気中では非常に高速に移動するミューオンは宇宙線によって生成される。静止時のミューオンの寿命を実験室値 2.197 μs とすると、光速の 98% で移動する宇宙線生成ミューオンの寿命は約 5 倍長くなり、観測結果と一致する。一例として、ロッシとホール (1941) は、山頂での宇宙線生成ミューオンの個体数を海面で観測されたものと比較した。^[21]
• 粒子加速器で生成される粒子の寿命は、時間の遅れにより長くなります。このような実験では、「時計」はミューオンの崩壊に至るプロセスにかかる時間であり、これらのプロセスは、実験室の時計よりもはるかに遅い独自の「時計速度」で移動するミューオン内で発生します。これは、粒子物理学で日常的に考慮されており、多くの専用の測定が行われています。たとえば、CERN のミューオン ストレージ リングでは、γ = 29.327 で循環するミューオンの寿命が 64.378 μs に遅れていることがわかり、時間の遅れが 0.9 ± 0.4 分の 1 の精度で確認されました。^[22]

• アイヴスとスティルウェル (1938, 1941) がこれらの実験で述べた目的は、エーテル中の運動によるラーモア・ローレンツのエーテル理論で予測される時間の遅れ効果を、陰極線のドップラー効果が適切な実験になるというアインシュタインの示唆を用いて検証することであった。これらの実験では、陰極線から放射される放射線のドップラーシフトを、正面と真後ろから見たときに測定した。検出された高周波数と低周波数は、古典的に予測された値ではなかった。移動する放射源からの放射線の高周波数と低周波数は、次のように測定された。^{[23]これは、アインシュタイン (1905) が}ローレンツ変換から推定した値であり、放射源がローレンツ因子だけ遅く移動しているときの値である。$${\displaystyle {\frac {f_{0}}{1-v/c}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {f_{0}}{1+v/c}}}$$$${\displaystyle {\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1+v/c\right)f_{0}\qquad {\text{and}}\qquad {\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1-v/c\right)f_{0}\,}$$
• Hasselkamp、Mondry、Scharmann ^[24] (1979) は、視線に対して直角に移動する音源からのドップラーシフトを測定した。移動する音源からの放射の周波数間の最も一般的な関係は、アインシュタイン (1905) によって推定されたように、次のように与えられる。^[25] ϕ = 90° ( cos ϕ = 0 )の場合、これはfdetected = frestγとなる。移動する音源からのこの低い周波数は、時間の遅れ効果に起因すると考えられ、しばしば横方向ドップラー効果と呼ばれ_、相対性理論_によって予測されていた。$${\displaystyle f_{\mathrm {detected} }=f_{\mathrm {rest} }{\left(1-{\frac {v}{c}}\cos \phi \right)/{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}}}$$
• 2010年には75メートルの光ファイバーで接続された光原子時計を使用して、毎秒10メートル未満の速度で時間の遅れが観測されました。^[26]

右の最初の画像のミンコフスキー図では、慣性系 S′ にある時計 C が、 dで時計 A と、 fで時計 B (どちらも S にある) と出会います。3 つの時計はすべて同時に S で動き始めます。A の世界線は ct 軸、fと交差する B の世界線は ct 軸と平行、C の世界線は ct′ 軸です。Sでdと同時に発生するすべてのイベントはx 軸上にあり、S′ では x′ 軸上にあります。

2つの出来事の間の固有時間は、両方の出来事のところに存在する時計によって示される。^[27]それは不変である、すなわち、すべての慣性系において、この時間はその時計によって示されることが合意されている。したがって、間隔dfは時計Cの固有時間であり、Sの時計BとAの座標時間ef = dgに対して短くなる。逆に、Bの固有時間efもS′の時間ifに対して短くなる。なぜなら、同時性の相対性により、Cが動き始めるずっと前に、イベントeは既に時間iでS′で測定されていたからである。

そこから、2つのイベントの双方に存在する加速されていない時計によって示される2つのイベント間の固有時間は、他のすべての慣性系で測定された同期座標時間と比較して、常にそれらのイベント間の最小の時間間隔であることがわかります。ただし、2つのイベント間の間隔は、両方のイベントに存在する加速された時計の固有時間に対応することもあります。2つのイベント間のすべての可能な固有時間の下で、加速されていない時計の固有時間は最大であり、これが双子のパラドックスの解決策です。^[27]

上で使用した光時計に加えて、時間の遅れの式は、ローレンツ変換の時間部分からより一般的に導くことができます。^[28]動く時計がとを示す2つのイベントがあるとします。 ${\displaystyle t_{a}}$${\displaystyle t_{b}}$

${\displaystyle t_{a}^{\prime }={\frac {t_{a}-{\frac {vx_{a}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\ t_{b}^{\prime }={\frac {t_{b}-{\frac {vx_{b}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

時計は慣性系内で静止しているので、 となり、間隔は次のように表されます。 ${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$${\displaystyle \Delta t^{\prime }=t_{b}^{\prime }-t_{a}^{\prime }}$

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

ここで、Δ tは、ある慣性系（たとえば、時計の刻み）にいる観測者にとっての2 つの共局在イベント（つまり、同じ場所で起こるイベント）間の時間間隔（固有時間と呼ばれる） 、Δ t′ は、前の観測者に対して速度vで慣性移動している別の観測者によって測定された同じイベント間の時間間隔、 vは観測者と移動する時計の相対速度、cは光速、ローレンツ因子（慣例的にギリシャ文字のガンマまたは γ で表される）は次のとおりです。

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

したがって、動いている時計のクロックサイクルの持続時間は長くなることがわかり、「遅く動いている」と測定されます。v ≪ c の日常生活におけるこのような変動の範囲は、宇宙旅行を考慮しても、簡単に検出できる時間の遅れ効果を生み出すほど大きくはなく、このような無視できるほど小さな効果は、ほとんどの目的で安全に無視できます。おおよその閾値として、物体が 30,000 km/s (光速の 1/10) のオーダーの速度に近づくと、時間の遅れが重要になる場合があります。^[29]

特殊相対性理論では、相対速度が変化しない状況で時間の遅れが最も簡単に説明されます。それでも、ローレンツ方程式を使用すると、測定期間全体にわたって g に等しい、均一な (つまり一定速度で) 運動する基準物体に対して単位質量あたりの力が加えられる宇宙船という単純なケースについて、宇宙での固有時間と動きを計算できます。

t を、後に静止フレームと呼ばれる慣性フレームにおける時間とします。xを空間座標とし、一定加速度の方向と宇宙船の速度 (静止フレームに対する相対速度) がx軸に平行であるとします。t = 0 の時点での宇宙船の位置が x = 0、速度が v 0 であると仮定し、次の略語を_定義します。

${\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}}$

以下の式が成り立つ：^[30]

位置：

${\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{g}}\left({\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right)}$

速度：

${\displaystyle v(t)={\frac {gt+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}}}$

座標時間の関数としての固有時間:

${\displaystyle \tau (t)=\tau _{0}+\int _{0}^{t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t')}{c}}\right)^{2}}}dt'}$

v (0) = v ₀ = 0 かつτ (0) = τ ₀ = 0の場合、積分は対数関数として表すことができます。または、逆双曲関数として表すことができます。

${\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{g}}\ln \left({\frac {gt}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {gt}{c}}\right)^{2}}}\right)={\frac {c}{g}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {gt}{c}}\right)}$

船の固有時間の関数として、次の式が成り立つ： ^[31]${\displaystyle \tau }$

位置：

${\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {g\tau }{c}}-1\right)}$

速度：

${\displaystyle v(\tau )=c\tanh {\frac {g\tau }{c}}}$

固有時間の関数としての座標時間:

${\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {g\tau }{c}}}$

時計仮説とは、時計が時間の遅れの影響を受ける速度は加速度ではなく瞬間速度のみに依存するという仮定です。これは、経路に沿って移動する時計が次のように定義される 固有時間を測定すると述べることと同じです。${\displaystyle P}$

${\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-dx^{2}/c^{2}-dy^{2}/c^{2}-dz^{2}/c^{2}}}}$

時計仮説は、1905年にアインシュタインが最初に特殊相対性理論を定式化した際に暗黙的に（明示的には含まれていなかったが）含まれていた。それ以来、時計仮説は標準的な仮定となり、特に粒子加速器での非常に高い加速度までの実験的検証を踏まえて、特殊相対性理論の公理に通常含まれるようになった。^{[32] [33]}

重力による時間の遅れは、重力ポテンシャル井戸内の特定の高度にいる観測者が、自分のローカル時計が、より高い高度にある（したがって、より高い重力ポテンシャルにある）同一の時計よりも経過時間が短いことを発見することによって経験されます。

重力による時間の遅れは、例えば国際宇宙ステーションの宇宙飛行士に作用している。宇宙飛行士の相対速度によって彼らの時間は遅くなるが、彼らのいる場所での重力の影響が減少することで、程度は小さいものの、時間が速くなる。また、理論的には、登山者の時間は海面にいる人々と比較して山頂ではわずかに早く進む。時間の遅れにより、地球の核は地殻よりも2.5年若いことも計算されている。^[34]「地球の完全な自転を計るために使用される時計は、基準ジオイドから高度が1km上がるごとに、1日が約10ナノ秒/日長くなると計測する。」^[35]ブラックホールの近く（ただし事象の地平線を超えない）など、極端な重力による時間の遅れが発生している宇宙領域への旅行は、光速に近い宇宙旅行に類似した時間シフトの結果をもたらす可能性がある。

速度時間の遅れでは、両方の観測者が互いの老化が遅いと測定しますが (相互効果)、重力時間の遅れは相互的ではありません。つまり、重力時間の遅れでは、両方の観測者が重力場の中心に近い時計の速度が遅いことに同意し、その差の比率についても同意します。

• 1959年、ロバート・パウンドとグレン・レブカは、地球の重力場が比較的強い低高度で放射される光の周波数の非常にわずかな重力赤方偏移を測定した。結果は一般相対性理論の予測値の10%以内であった。1964年、パウンドとJLスナイダーは、重力による時間の遅れによって予測される値の1%以内の結果を測定した。^[36]（パウンド・レブカ実験を参照）
• 2010年には、光原子時計を用いて、地球の表面でわずか1メートルの高さの差で重力による時間の遅れが測定されました。^[26]

高精度の計時、低軌道衛星の追跡、パルサーのタイミングは、時間の遅れを生み出す質量と運動の複合効果を考慮する必要があるアプリケーションです。実際の例としては、国際原子時標準と、惑星間物体に使用される重心座標時標準との関係が挙げられます。

太陽系と地球の相対論的時間の遅れ効果は、アインシュタイン場の方程式のシュワルツシルト解によって非常に正確にモデル化することができる。シュワルツシルト計量では、間隔は次のように与えられる: ^{[38] [39]}${\displaystyle dt_{\text{E}}}$

${\displaystyle dt_{\text{E}}^{2}=\left(1-{\frac {2GM_{\text{i}}}{r_{\text{i}}c^{2}}}\right)dt_{\text{c}}^{2}-\left(1-{\frac {2GM_{\text{i}}}{r_{\text{i}}c^{2}}}\right)^{-1}{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle dt_{\text{E}}}$固有時間の小さな増分（原子時計で記録できる間隔）である。${\displaystyle t_{\text{E}}}$
• ${\displaystyle dt_{\text{c}}}$座標（座標時間）の小さな増分であり、${\displaystyle t_{\text{c}}}$
• ${\displaystyle dx,dy,dz}$時計の位置の3つの座標の小さな増分である。${\displaystyle x,y,z}$
• ${\displaystyle {\frac {-GM_{i}}{r_{i}}}}$時計からの距離に基づいて、近傍の質量によるニュートンの重力ポテンシャルの合計を表します。この合計には潮汐ポテンシャルも含まれます。${\displaystyle r_{i}}$

時計の座標速度は次のように表されます。

${\displaystyle v^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt_{\text{c}}^{2}}}}$

座標時間とは、すべての重力質量から無限に遠く離れた場所 ( ) にあり、座標系内で静止している仮想の「座標時計」で読み取られる時間です( )。速度の半径方向成分を持つ時計の固有時間の速度と座標時間の速度の正確な関係は次のとおりです。 ${\displaystyle t_{c}}$${\displaystyle U=0}$${\displaystyle v=0}$

${\displaystyle {\frac {dt_{\text{E}}}{dt_{\text{c}}}}={\sqrt {1+{\frac {2U}{c^{2}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+\left({\frac {c^{2}}{2U}}+1\right)^{-1}{\frac {{v_{\shortparallel }}^{2}}{c^{2}}}}}={\sqrt {1-\left(\beta ^{2}+\beta _{e}^{2}+{\frac {\beta _{\shortparallel }^{2}\beta _{e}^{2}}{1-\beta _{e}^{2}}}\right)}}}$

どこ：

• ${\displaystyle v_{\shortparallel }}$は視線速度であり、
• ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM_{i}}{r_{i}}}}}$脱出速度は
• ${\displaystyle \beta =v/c}$、およびは光速cのパーセンテージとしての速度です。${\displaystyle \beta _{e}=v_{e}/c}$${\displaystyle \beta _{\shortparallel }=v_{\shortparallel }/c}$
• ${\displaystyle U={\frac {-GM_{i}}{r_{i}}}}$はニュートン力学ポテンシャルであり、したがって脱出速度の二乗の半分に等しくなります。${\displaystyle -U}$

上記の式は、シュワルツシルト解の仮定の下では正確です。運動があり重力がない場合、これは速度時間の遅れの式に簡約されます。つまり。運動がなく重力がある場合、これは重力時間の遅れの式に簡約されます。つまり。 ${\displaystyle \beta _{e}=0}$${\displaystyle \beta =0=\beta _{\shortparallel }}$

• 1971年、ハーフェレとキーティングは、セシウム原子時計を民間航空機に乗せて地球を東西に飛ばし、アメリカ海軍天文台に残された時計の経過時間と比較した。2つの相反する効果が働いた。時計は、ほとんどの旅程で高い（弱い）重力ポテンシャルにあったため、基準時計よりも早く老化する（経過時間が長くなる）と予想された（パウンド・レプカの実験を参照）。しかし、対照的に、移動する時計は、その移動速度のため、老化が遅くなると予想された。各旅程の実際の飛行経路から、理論では、アメリカ海軍天文台の基準時計と比較して、飛行中の時計は東向きの旅程で40±23ナノ秒遅れ、西向きの旅程で275±21ナノ秒進むはずであると予測された。アメリカ海軍天文台の原子時間スケールと比較すると、飛行時計は東回りの旅で59±10ナノ秒遅れ、西回りの旅で273±7ナノ秒進んだ（エラーバーは標準偏差を表す）。^[40] 2005年に、英国国立物理学研究所はこの実験の限定的な複製を報告した。 ^[41] NPLの実験は、セシウム時計の旅程が短かった（ロンドンからワシントンDCへの往復）という点でオリジナルと異なっていたが、時計の精度はより高かった。報告された結果は、測定の不確実性の範囲内で、相対性理論の予測の4％以内である。
• 全地球測位システムは、特殊相対論と一般相対論の両方において継続的に動作する実験であると考えることができる。軌道上の時計は、上記のように特殊相対論と一般相対論の両方の時間の遅れの影響に対して補正されているため、（地球表面から観測すると）地球表面の時計と同じ速度で動いている。^[42]

速度と重力による時間の遅れは、様々なメディアのSF作品の主題となっている。映画では、『インターステラー』や『猿の惑星』などがその例である。^{[43] 『}インターステラー』では、重要なプロットポイントとして、回転するブラックホールの近くにあり、時間の遅れにより表面での1時間は地球の7年に相当する惑星が登場する。^[44]物理学者のキップ・ソーンはこの映画の製作に協力し、 『インターステラーの科学』という本でその科学的概念を説明した。^{[45] [46]}

時間の遅れは、ドクター・フーのエピソード「World Enough and Time」と「The Doctor Falls 」で使用されており、これらのエピソードはブラックホール付近の宇宙船で展開される。ブラックホールの巨大な重力と船の長さ (400 マイル) により、時間の進み方は一方の端の方がもう一方の端よりも速い。ドクターの仲間のビルが船の反対側に連れ去られたとき、彼女はドクターが助けに来るまで何年も待つが、彼の時間では数分しか経過しない。^[47]さらに、時間の遅れにより、サイバーマンは番組で以前に見られたよりも「速い」速度で進化することができる。

ポール・アンダーソンの小説『タウ・ゼロ』は、 SF文学におけるこの概念の初期の例である。この小説では、宇宙船がバサード・ラムジェットを使用して十分な速度まで加速し、乗組員は船上で5年間過ごすが、目的地に到着するまでに地球上では33年が経過する。アンダーソンは、宇宙船が光速に近づくにつれてゼロに近づくタウ係数の観点から速度時間の遅れを説明した。これが小説のタイトルの由来である。 ^[48]事故により、乗組員は宇宙船の加速を止めることができず、極端な時間の遅れを引き起こし、乗組員は宇宙の終わりにビッグクランチを経験する。 ^[49]文学の他の例、例えばロカノンの世界、ハイペリオン、永遠の戦争でも同様に、相対論的な時間の遅れを科学的に妥当な文学的装置として利用し、特定のキャラクターが宇宙の他の部分よりも遅く老化するようにしている。 ^{[50] [51]}

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