曲がった時空

物理学において、曲がった時空は、アインシュタインの一般相対性理論によって重力が自然に生じる数学モデルであり、ニュートンの静的ユークリッド基準系における基本的な力として記述されるのとは対照的である。物体は、遠く離れた物体から直接影響を受けるのではなく、測地線（時空の局所的な幾何学によって決定される曲がった経路）に沿って移動する。この枠組みから、2 つの基本原理が生まれた。1 つは座標独立性原理で、物理法則は使用する座標系に関係なく同じであると主張し、もう 1 つは等価原理で、十分に小さな空間領域では重力の影響は加速の影響と区別できないと述べている。これらの原理は、アインシュタインの場の方程式で形式化された時空の幾何学を通じて重力をより深く理解するための基礎を築いた。

ニュートンの理論は、運動はあらゆる空間とあらゆる時間に広がる、固定されたユークリッド基準系を背景にして起こると仮定した。重力は、距離を越えて瞬間的に作用する神秘的な力によって媒介され、その作用は介在する空間とは無関係である。 ^{[注 1]}対照的に、アインシュタインは、空間全体に広がる背景のユークリッド基準系は存在しないと否定した。重力のような力も存在せず、あるのは時空自体の構造だけである。^{[1] : 175–190}

時空の観点から見ると、地球を周回する衛星の軌道は、地球、月、太陽といった遠方の影響によって決まるわけではない。衛星は、局所的な条件に応じてのみ宇宙空間を移動する。時空は十分に小さなスケールで考えると、どこでも局所的に平坦であるため、衛星は常にその局所的な慣性系内で直線を描いている。衛星は常に測地線に沿って進んでいると言える。単一の粒子の運動に沿って重力の証拠は発見できない。^{[1] : 175–190}

時空のいかなる分析においても、重力の証拠を得るには、2 つの物体または 2 つの離れた粒子の相対的な加速度を観察する必要がある。図 5-1 では、地球の重力場を自由落下する 2 つの離れた粒子が、重力場の局所的な不均一性により潮汐加速度を示し、各粒子が時空内で異なる経路をたどる。これらの粒子が互いに対して示す潮汐加速度は、その説明に力を必要としない。むしろ、アインシュタインは、時空の幾何学、すなわち時空の曲率の観点からそれらを説明した。これらの潮汐加速度は厳密に局所的である。地球から遠く離れた場所で作用する重力の出現は、多くの局所的な曲率の発現の累積的な合計効果によるものである。 ^{[1] : 175–190}

この図に示されているシナリオを見たさまざまな観察者は、状況に関する知識に応じてシナリオを異なって解釈します。(i) 粒子 2 と 3 の質量の中心にいるが大きな質量 1 を知らない最初の観察者は、シナリオ A の粒子間には反発力があり、シナリオ B の粒子間には引力があると結論付けます。(ii) 大きな質量 1 を知っている 2 番目の観察者は、最初の報告者の無知に微笑みます。この 2 番目の観察者は、実際には粒子 2 と 3 の間に見られる力は、質量 1 による異なる引力から生じる潮汐効果を表していることを知っています。(iii) 一般相対性理論の訓練を受けた 3 番目の観察者は、実際には 3 つのオブジェクト間にはまったく力が働いていないことを知っています。むしろ、3 つのオブジェクトはすべて時空の測地線に沿って移動します。

一般相対性理論の根底には 2 つの中心的な命題があります。

• 最初の重要な概念は座標独立性です。物理法則は、使用する座標系に左右されることはありません。これは、特殊相対性理論で使用されているバージョンからの相対性原理の大きな拡張です。特殊相対性理論では、物理法則は、加速されていない（慣性）参照フレームで移動するすべての観測者に対して同じでなければならないと述べられています。一般相対性理論では、アインシュタイン自身の（翻訳された）言葉を使用すると、「物理法則は、あらゆる種類の運動の参照システムに適用できる性質のものでなければなりません。」^{[2] : 113}これは、すぐに問題につながります。加速フレームでは、加速状態を絶対的な意味で評価できるように思われる力を感じます。アインシュタインは、等価性の原理を通じてこの問題を解決しました。^{[3] : 137–149}

• 等価原理は、十分に小さい空間領域であれば、重力の影響は加速度の影響と同じであると述べています。
  図 5-2 では、人 A は質量のある物体から遠く離れた宇宙船内におり、gの均一な加速度を受けています。人 B は地球上に置かれた箱の中にいます。宇宙船が十分に小さいため潮汐の影響は測定できないと仮定すると (現在の重力測定機器の感度を考えると、A と B はおそらくリリパット人であるはずです)、A と B がどちらの設定にいるかを判断できるような実験は存在しません。^{[3] : 141–149}
  等価原理の別の表現は、ニュートンの万有引力の法則F = GMm _g /r ² = m _g gとニュートンの第 2 法則F = m _i aにおいて、重力質量m _{g が}慣性質量m _iと等しくなるという先験的な理由はないことに留意することです。等価原理によれば、これら2つの質量は同一である。^{[3] : 141–149}

上記の曲がった時空の基本的記述から重力の完全な記述に進むには、テンソル計算と微分幾何学が必要であり、どちらもかなりの研究を要するトピックです。これらの数学的ツールがなければ、一般相対性理論について書くことは可能ですが、重要な導出を証明することはできません。

特殊相対論の議論では、力は背景的な役割しか果たさなかった。特殊相対論は、時空全体を満たす慣性系を定義でき、そのすべての時計が原点の時計と同じ速度で動くことを前提としている。これは本当に可能なのだろうか？ 不均一な重力場では、実験により答えはノーである。重力場は、グローバルな慣性系を構築することを不可能にする。時空の十分に小さな領域では、局所的な慣性系は依然として可能である。一般相対論は、これらの局所的な系を体系的につなぎ合わせて、より一般的な時空の図を描くことを伴う。^{[4] : 118–126}

1916 年に一般理論が発表される何年も前に、アインシュタインは等価原理を使用して次の思考実験で重力赤方偏移の存在を予測しました。 (i) 高さhの塔(図 5-3) が建設されたと仮定します。 (ii)塔の頂上から静止質量mの粒子を落とします。粒子は加速度gで自由落下し、速度v = (2 gh ) ^1/2で地面に到達します。そのため、地上の観測者によって測定されたその全エネルギーEは、 ⁠ ⁠${\displaystyle m+{{\tfrac {1}{2}}mv^{2}}/{c^{2}}=m+{mgh}/{c^{2}}}$です。 (iii) 質量エネルギー変換器は、粒子の全エネルギーを単一の高エネルギー光子に変換し、上方に向けます。 (iv) 塔の頂上で、エネルギー質量変換器は光子E 'のエネルギーを静止質量m 'の粒子に戻します。^{[4] : 118–126}

m = m 'でなければならない。そうでなければ永久機関を作れるようになる。したがって、 E ' = mと予測されるので、

${\displaystyle {\frac {E'}{E}}={\frac {h\nu \,'}{h\nu }}={\frac {m}{m+{\frac {mgh}{c^ {2}}}}}=1-{\frac {gh}{c^{2}}}}$

地球の重力場を登る光子はエネルギーを失い、赤方偏移する。この赤方偏移を天文観測で測定する初期の試みは、あまり決定的なものではなかったが、Pound & Rebka (1959)と後に Pound & Snider (1964) によって決定的な実験室観測が行われた。^[5]

光には周波数があり、この周波数を使って時計を動かすことができます。重力による赤方偏移から、時間そのものについて重要な結論が導き出されます。重力によって時間が遅くなるのです。ある安定した原子遷移によって速度が制御される 2 つの同一の時計を作るとします。1 つの時計を塔の上に置き、もう 1 つの時計は地上に置きます。塔の頂上にいる実験者は、地上の時計からの信号の周波数が、隣の塔の時計の信号よりも低いことに気づきます。塔を上る光は単なる波であり、波の頂上が上昇中に消えることはあり得ません。塔の底で放射されたのとまったく同じ数の光の振動が塔の頂上に到達します。実験者は地上の時計が遅れていると結論付け、塔の時計を下ろして地上の時計と並べて比較することでこれを確認できます。^{[6] : 16–18} 1kmの塔の場合、その差は1日あたり約9.4ナノ秒となり、現代の計測機器で簡単に測定可能です。

重力場にある時計はすべて同じ速度で動くわけではない。パウンド・レプカ実験などの実験は、時空の時間成分の曲率をしっかりと確立している。パウンド・レプカ実験は時空の空間成分の曲率については何も語っていない。しかし、重力による時間の遅れを予測する理論的議論は、一般相対性理論の詳細にはまったく依存していない。等価性の原理を尊重する重力理論であれば、重力による時間の遅れを予測するだろう。[ ^{6] : 16}これにはニュートンの重力が含まれる。一般相対性理論における標準的な実証は、「ニュートンの限界」（つまり、粒子がゆっくりと移動し、重力場が弱く、場が静的である）では、時間の曲率だけでニュートンの重力の法則を導き出すのに十分であることを示すことである。^{[7] : 101–106}

ニュートンの重力は曲がった時間の理論である。一般相対性理論は曲がった時間と曲がった空間の理論である。重力定数をG 、ニュートンの恒星の質量をM、恒星からrの距離にある質量の小さい物体を周回すると、ニュートンの重力の時空区間は時間係数のみが変化する。^{[6] : 229–232}

${\displaystyle \Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}-\,(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

の前の係数は、ニュートンの重力における時間の曲率を表し、この曲率はすべてのニュートンの重力効果を完全に説明します。予想どおり、この補正係数は および に正比例し、分母にがあるため、重力体に近づくにつれて補正係数が増加し、時間が曲がることを意味します。 ${\displaystyle (1-2GM/(c^{2}r))}$${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$

しかし、一般相対性理論は曲がった空間と曲がった時間の理論であるため、上記で示した時空間隔の空間成分を修正する項がある場合、その効果は、空間項に適用された曲率補正係数により、たとえば惑星や衛星の軌道に現れるはずではないでしょうか。

答えは、それらは見られるが、その影響は小さいということです。その理由は、惑星の速度は光速に比べて非常に小さいため、太陽系の惑星や衛星の場合、その項は空間項をはるかに上回ってしまうからです。^{[6] : 234–238}${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$

空間的な項が非常に微細であるにもかかわらず、ニュートンの重力に何か問題があるという最初の兆候が発見されたのは150年以上も前のことだった。1859年、ユルバン・ル・ヴェリエは、1697年から1848年にかけて太陽面上を水星が通過した際の利用可能な時間指定観測を分析し、水星の軌道内に惑星または小惑星帯が存在しない限り、既知の物理学では水星の軌道を説明できないと報告した。水星の軌道の近日点は、他の惑星の引力で説明できる速度よりも過剰な歳差運動を示した。 ^{[8]この異常な歳差運動の微小な値（} 1熱帯世紀あたりわずか43秒角）を検出し正確に測定する能力は、 19世紀の天体測定法の洗練さを証明している。

天王星の軌道の不規則性を分析することで、海王星の存在を「ペン先で」発見した天文学者として、ルヴェリエの発表は、20年にわたる「バルカン狂」の時代を引き起こし、プロの天文学者もアマチュアの天文学者も、仮説上の新しい惑星を探し求めた。この探索には、バルカンの偽の目撃もいくつか含まれていた。最終的に、そのような惑星や小惑星帯は存在しないことが判明した。^[9]

1916 年、アインシュタインは、水星のこの異常な歳差運動が時空の曲率の空間項によって説明できることを示しました。時間項の曲率は単にニュートンの重力の表現に過ぎず、この異常な歳差運動を説明するものではありません。彼の計算の成功は、アインシュタインの同僚たちに、一般相対性理論が正しい可能性があることを強力に示唆しました。

アインシュタインの予測の中で最も驚くべきものは、時空区間の空間成分の曲率項が質量体の周りの光の曲がりで測定できるという計算である。光は時空図上では±1の傾きを持つ。空間における光の動きは時間における光の動きと等しい。不変区間の弱場表現について、アインシュタインはその空間成分の曲率が正確に等しいが符号が反対であると計算した。^{[6] : 234–238}

${\displaystyle \Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}}$${\displaystyle -\,\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]}$

ニュートンの重力理論では、の前の係数は星の周りの光の曲がりを予測します。一般相対性理論では、の前の係数は総曲がりが2倍になることを予測します。 ^{[6] : 234–238}${\displaystyle (1-2GM/(c^{2}r))}$${\displaystyle (c\Delta t)^{2}}$${\displaystyle (1+2GM/(c^{2}r))}$${\displaystyle \left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]}$

1919年のエディントン日食探検とアインシュタインの名声の高まりの物語は、他の場所でよく語られています。^[10]

ニュートンの万有引力の理論では、重力の唯一の源は質量です。

対照的に、一般相対性理論では、質量に加えて時空の曲率のいくつかの源を特定しています。アインシュタインの場の方程式では、重力の源は応力エネルギーテンソルの右側に表されます。^[11]${\displaystyle T_{\mu \nu },}$

図5-5は、応力エネルギーテンソルにおけるさまざまな重力源を分類しています。

• ${\displaystyle T^{00}}$(赤): 粒子間の力による位置エネルギーへの寄与と、ランダムな熱運動による運動エネルギーを含む、総質量エネルギー密度。
• ${\displaystyle T^{0i}}$および(オレンジ): これらは運動量密度の項です。体積運動がない場合でも、エネルギーは熱伝導によって伝達され、伝導されたエネルギーは運動量を運びます。${\displaystyle T^{i0}}$
• ${\displaystyle T^{ij}}$は、単位面積あたりの運動量のi成分のj方向への流れの速度です。たとえバルク運動がない場合でも、粒子のランダムな熱運動によって運動量の流れが生じるため、i = j項（緑）は等方性圧力を表し、i ≠ j項（青）はせん断応力を表します。^[11]

これらの方程式から導かれる重要な結論の 1 つは、口語的に言えば、重力自体が重力を生み出すということです。^{[注 2]エネルギーには質量があります。ニュートンの重力においてさえ、重力場は、}重力位置エネルギーと${\displaystyle E=mgh,}$呼ばれるエネルギーと関連しています。一般相対性理論では、重力場のエネルギーは、重力場の生成にフィードバックされます。これにより、方程式は非線形になり、弱場の場合以外では解くのが困難になります。^{[6] : 240}数値相対性理論は、数値的手法を使用して問題を解決および分析する一般相対性理論の一分野であり、多くの場合、スーパーコンピューターを使用して、ブラックホール、重力波、中性子星、および強い場の領域におけるその他の現象を 研究します。

特殊相対性理論では、質量エネルギーは運動量と密接に関係している。空間と時間が時空と呼ばれるより包括的な実体の異なる側面であるのと同様に、質量エネルギーと運動量は、四運動量と呼ばれる統一された四次元量の異なる側面にすぎない。結果として、質量エネルギーが重力の源であるならば、運動量もまた源でなければならない。運動量を重力の源として含めると、移動または回転する質量が、移動する電荷によって生成される磁場に類似した場を生成する可能性があるという予測が導かれ、この現象は重力磁気と呼ばれる。^[12]

磁気の力は、特殊相対性理論の法則を移動する電荷に適用することで導き出せることはよく知られています。（このことを雄弁に証明したのが、ファインマンの『物理学講義』第2巻第13章から第6章で、オンラインで閲覧可能です。）^[13]同様の論理で重力磁気の起源を証明することができます。^{[6] : 245–253}

図 5-7a では、質量の大きい粒子の無限に長い 2 つの平行な流れが、静止しているテスト粒子に対して等しく反対の速度 − vと + v を持ち、2 つの流れの中心にあります。セットアップの対称性により、中央の粒子にかかる正味の力はゼロです。速度は単純に加算されるように⁠ ⁠ と${\displaystyle v\ll c}$仮定します。図 5-7b は、上流の流れのフレームでまったく同じセットアップを示しています。テスト粒子の速度は + vで、下部の流れの速度は +2 vです。物理的な状況は変化しておらず、物事が観察されるフレームのみが変化しているため、テスト粒子はどちらの流れにも引き寄せられないはずです。^{[6] : 245–253}

試験粒子に及ぼされる力が等しいかどうかは、まったく明らかではない。(1) 下の流れは上の流れよりも速く動いているので、下の流れにある各粒子は上の流れにある粒子よりも大きな質量エネルギーを持っている。(2) ローレンツ収縮のため、単位長さあたりの粒子数は下の流れの方が上の流れより多い。(3) 下の流れの有効重力質量へのもう 1 つの寄与は、この時点では議論するのに十分な背景情報がない追加の圧力項から来る。これらの効果をすべて合わせると、試験粒子は下の流れに引き寄せられるように見える。^{[6] : 245–253}

試験粒子は、速度に依存する力によって、底部の流れと同じ方向に移動する粒子を反発するため、底部の流れに引き寄せられません。この速度に依存する重力効果は重力磁気です。^{[6] : 245–253}

重力磁場中を運動する物質は、電磁誘導に類似したいわゆるフレームドラッグ効果の影響を受ける。このような重力磁気力が、回転する超大質量ブラックホールから放出される相対論的ジェット（図5-8）の生成の根底にあると提案されている。^{[14] [15]}

エネルギーと運動量に直接関係する量、つまり内部圧力と応力も重力の源となるはずです。総合すると、質量エネルギー、運動量、圧力、応力はすべて重力の源として機能します。つまり、これらが総合して時空がどのように曲がるかを指示するのです。

一般相対性理論では、圧力は質量エネルギー密度とまったく同じ強さの重力源として作用すると予測されている。圧力を重力源として考慮すると、一般相対性理論とニュートン重力理論の予測の間には劇的な違いが生じる。たとえば、圧力項は中性子星の質量に上限を設定する。中性子星の質量が大きいほど、重力に逆らってその重量を支えるために必要な圧力も大きくなる。しかし、圧力が増加すると、星の質量に作用する重力も増加する。トルマン・オッペンハイマー・フォルコフ限界によって決まる一定の質量を超えると、このプロセスは暴走し、中性子星はブラックホールに崩壊する。^{[6] : 243, 280}

応力項は、コア崩壊型超新星の流体力学シミュレーションなどの計算を実行する際に非常に重要になります。^[16]

時空の曲率の源としての圧力、運動量、応力の役割に関するこれらの予測は簡潔であり、理論において重要な役割を果たします。圧力に関しては、初期宇宙は放射線が優勢であり、^[17]圧力が重力に寄与しない場合、または圧力が質量エネルギーと同じ重力源としての強さを持っていない場合、関連する宇宙論データ（たとえば、元素合成の存在量など）のいずれも再現できる可能性はほとんどありません。同様に、応力項が重力源として寄与しない場合、アインシュタイン場の方程式の数学的一貫性は破られるでしょう。

ボンディは、質量の異なるタイプを区別しています。(1)能動質量（）${\displaystyle m_{a}}$は重力場の発生源として機能する質量です。(2)受動質量（）は重力場${\displaystyle m_{p}}$に反応する質量です。(3)慣性質量（）${\displaystyle m_{i}}$は加速度に反応する質量です。^[18]

• ${\displaystyle m_{p}}$等価原理の議論における重力質量（）${\displaystyle m_{g}}$と同じです。

ニュートン理論では、

• 作用と反作用の第三法則によれば、と は同じでなければなりません。${\displaystyle m_{a}}$${\displaystyle m_{p}}$
• 一方、とが等しいかどうかは経験的な結果です。${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle m_{i}}$

一般相対論では、

• と の等価性は、同値原理によって決定されます。${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle m_{i}}$
• との間には、何らかの必然的な関係を規定する「作用と反作用」の原理は存在しない。^[18]${\displaystyle m_{a}}$${\displaystyle m_{p}}$

重力源の強さ（つまり、その活動質量）を測定する古典的な実験は、1797 年にヘンリー キャベンディッシュによって初めて実施されました（図 5-9a）。2 つの小さいが密度の高いボールが細いワイヤに吊り下げられ、ねじり天秤が作られます。2 つの大きなテスト質量をボールに近づけると、検出可能なトルクが発生します。装置の寸法とねじりワイヤの測定可能なバネ定数がわかれば、重力定数G を決定できます。

試験質量を圧縮して圧力の影響を研究することは絶望的です。なぜなら、達成可能な実験室圧力は金属球の 質量エネルギーと比較すると取るに足らないものだからです。

しかし、陽子が原子核内に強く圧縮されていることから生じる反発電磁圧は、通常、10 ²⁸  atm ≈ 10 ³³  Pa ≈ 10 ³³  kg·s ⁻² m ^{−1のオーダーである。これは、約10 18} kg/m ³の原子核質量密度の約1%に相当する（c ² ≈ 9×10 ¹⁶ m ² s ⁻²を考慮した後）。^[19]

圧力が重力源として作用しないのであれば、原子番号Zが大きい原子核では静電圧力が高くなるため、この比率は低くなるはずである。LB Kreuzer (1968) は、テフロンと同じ浮力密度を持つトリクロロエチレンとジブロモエタンの液体混合物にテフロン製の塊を浮かべたキャベンディッシュ実験を行った (図 5-9b)。フッ素の原子番号はZ = 9で、臭素の原子番号はZ = 35である。Kreuzer は、テフロン製の塊の位置を変えてもねじり棒のたわみに差がないことを発見し、これにより能動質量と受動質量が 5×10 ⁻⁵の精度に相当することを明らかにした。^[20]${\displaystyle m_{a}/m_{p}}$

クロイツァーは当初この実験を単に能動質量と受動質量の比をテストするものとみなしていたが、クリフォード・ウィル（1976）は、この実験を源と重力場の結合に関する基本的なテストとして再解釈した。^[21]

1986年、バートレットとヴァン・ビューレンは、月のレーザー測距で、月の図の中心と質量の中心の間に2kmのずれが検出されたと指摘した。これは、Fe（月の核に豊富）とAl（地殻とマントルに豊富）の分布の非対称性を示している。圧力が質量エネルギーと同様に時空の曲率に等しく寄与しなければ、月は古典力学で予測される軌道上には存在しないだろう。彼らは測定結果を使用して、能動質量と受動質量の差の限界を約10 ⁻¹²に引き締めた。^[22]数十年にわたる追加の月レーザー測距データにより、Singh et al.（2023）は、これらの限界が約100倍改善されたと報告した^。[23]

重力磁気の存在は、2004年4月20日に打ち上げられた衛星ベースのミッションである重力プローブB （GP-B）によって証明されました^。[24]宇宙飛行段階は2005このミッションの目的は、特に重力磁気に重点を置いて、地球付近の時空の曲率を測定することでした。

初期の結果では、比較的大きな測地効果（単純な時空曲率によるもので、ド・ジッター歳差運動としても知られる）が約1％の精度で確認された。はるかに小さなフレームドラッグ効果（重力磁気によるもので、レンズ・サーリング歳差運動としても知られる）は、予期せぬ電荷効果によってジャイロスコープにさまざまなドリフトが生じるため、測定が困難であった。しかし、2008年8月フレームドラッグ効果は予想結果の15％以内であることが確認されたが^[25] 、測地効果は0.5％以上であることが確認された^{[26] [27] 。}

その後、 LARES、LAGEOS -1、LAGEOS-2衛星のレーザー測距観測によるフレームドラッグの測定ではGP-B測定が改善され、結果（2016年時点）では理論値の5%以内で効果が実証されましたが^[28] 、この結果の正確性については意見の相違があります。^[29]

もう一つの試みである一般相対性理論におけるジャイロスコープ（GINGER）実験では、地球表面から1400メートル下に互いに直角に設置された3つの6メートルリングレーザーを使用してこの効果を測定しようとしています。 ^{[30] [31]}プロトタイプのリングレーザージャイロスコープアレイであるGINGERINOの最初の10年間の経験により、フルスケールの実験では、地球の自転による重力磁気を0.1％以内、またはそれ以上の精度で測定できるはずであることが確立されました。^[32]

• 時空トポロジー