ハイパーサイクル（ジオメトリ）

双曲幾何学において、超円環、超円、または等距離曲線は、与えられた直線 (その軸) から 同じ直交距離を持つ点を持つ曲線です。

直線LとL上にない点P が与えられたとき、 L に対して P と同じ側にあるすべての点 Q を取り、 L への垂線距離が P の距離に等しいハイパーサイクルを構築できます。直線Lは、ハイパーサイクルの軸、中心、またはベースラインと呼ばれます。 L に垂直で、ハイパーサイクルにも垂直な線は、ハイパーサイクルの法線と呼ばれます。 Lとハイパーサイクルの間の法線の線分は半径と呼ばれます。それらの共通の長さは、ハイパーサイクルの距離または半径と呼ばれます。 ^[1]

特定の点を通る接線を共有するハイパーサイクルは、距離が無限大に向かうにつれて ホロサイクルに収束します。

双曲幾何学における超周期は、ユークリッド幾何学における直線と似た特性をいくつか持っています。

• 平面では、軸 (直線) とその軸上にない点が与えられた場合、その点を通る、与えられた軸を持つハイパーサイクルは 1 つだけ存在します (ユークリッド幾何学のPlayfair の公理と比較してください)。
• ハイパーサイクルの 3 つの点はいずれも円上にありません。
• ハイパーサイクルは、それに垂直な各線に対して対称です。(ハイパーサイクルをハイパーサイクルに垂直な線に反映すると、同じハイパーサイクルになります。)

双曲幾何学における超円環は、ユークリッド幾何学における円と似た特性をいくつか持っています。

• ハイパーサイクルの弦の中点に垂直な線は半径であり、弦によって囲まれる円弧を二等分します。

  AB を弦とし、M を弦の中点とします。

  対称性により、 ABに垂直なM を通る線分R は軸Lに直交する必要があります。

  したがって、R は半径です。

  また対称性により、R は弧AB を二等分します。

• ハイパーサイクルの軸と距離は一意に決定されます。

  ハイパーサイクルC に2 つの異なる軸L ₁、L ₂があると仮定します。

  前の性質を異なる弦で 2 回使用すると、 2 つの異なる半径R ₁、R ₂を決定できます。R ₁、R _{2 は}L ₁、L _{2 の}両方に垂直になる必要があり、長方形が得られます。長方形は双曲幾何学では不可能な図形であるため、これは矛盾です。

• 2 つのハイパーサイクルは、それらが合同である場合にのみ、距離が等しくなります。

  それらの距離が等しい場合は、剛体運動によって軸を一致させるだけで、すべての半径も一致します。距離が同じなので、2 つのハイパーサイクルのポイントも一致します。

  逆に、それらが合同である場合、前の性質により距離は同じでなければなりません。

• 直線は、ハイパーサイクルを最大 2 つのポイントで切断します。

  線分K がハイパーサイクルC を2 つの点A、Bで切断するとします。前と同様に、 ABの中点M を通るCの半径Rを作成できます。K は共通の垂線R を持つため、軸Lに超平行であることに注意してください。また、 2 つの超平行線は共通の垂線で距離が最小になり、垂線から離れるにつれて距離が単調に増加します。

  これは、 AB内部のKの点からLまでの距離がAとBからLまでの共通距離よりも小さくなる一方で、 AB外部のKの点からL までの距離は大きくなることを意味します。結論として、Kの他の点はC上に存在できません。

• 2 つのハイパーサイクルは最大 2 つの点で交差します。

  C ₁、C _{2 を}3点A、 B、 Cで交差するハイパーサイクルとします。

  R _{1 が}ABの中点を通る直交線である場合、それはC ₁とC ₂の両方の半径であることがわかります。

  同様に、 BCの中点を通る半径R ₂を構築します。

  R ₁、R _{2 はそれぞれ}C ₁、C ₂の軸L ₁、L ₂に同時に直交します。

  L ₁とL _{2 は}必ず一致する必要があることはすでに証明しました(一致しない場合は長方形になります)。

  そうすると、C ₁とC _{2 は}同じ軸を持ち、少なくとも 1 つの共通点を持つため、それらの距離は同じになり、一致します。

• ハイパーサイクルの 3 つのポイントは共線ではありません。

  ハイパーサイクルの点A、B、Cが同一線上にある場合、弦AB、BC は同じ線K上にあります。R ₁、R _{2 を}AB、BCの中点を通る半径とします。ハイパーサイクルの軸LはR ₁、R ₂の共通垂線であることがわかっています。

  しかし、K はその共通の垂線です。その場合、距離は 0 となり、ハイパーサイクルは直線に退化します。

• 2点間のハイパーサイクルの弧の長さは
  • 2点間の線分の長さよりも長い、
  • その2点間の2つのホロサイクルのうちの1つの弧の長さよりも短く、
  • これら 2 つの点間のどの円弧よりも短くなります。
• ハイパーサイクルとホロサイクルは最大 2 つの点で交差します。
• 半径rでsinh 2 r = 1の超サイクルは、反転によって双曲面の準対称性を誘発します。(このような超サイクルは、軸と π/4 の角度で交わります。) 具体的には、軸の開いた半平面上の点P は、平行角がPの平行角の補角であるP'に反転します。この準対称性は、より高次元の双曲空間に一般化され、双曲多様体の研究に役立ちます。これは、双曲面の円錐の分類で広く使用されており、分割反転と呼ばれています。分割反転は共形ですが、軸と平面の境界を入れ替えるため、真の対称性ではなく、もちろん等長変換でもありません。

定曲率−1の双曲面において、超円弧の弧の長さは、半径rと法線が軸dと交差する点間の距離から、式l = d cosh rを使用して計算できます。^[2]

双曲面のポアンカレ円板モデルでは、ハイパーサイクルは境界円と直角でない角度で交差する線と円弧で表されます。軸の表現は境界円と同じ点で交差しますが、直角です。

双曲面のポアンカレ半平面モデルでは、ハイパーサイクルは境界線と直角でない角度で交差する直線と円弧で表されます。軸の表現は境界線と同じ点で交差しますが、直角です。

双曲平面におけるシュタイナー放物線の合同類は、与えられた軸の与えられた半平面Hにおける超サイクルと一対一に対応します。入射幾何学において、共線化T によって生成される点Pにおけるシュタイナー円錐は、すべての直線LからPまでの交点L ∩ T ( L )の軌跡です。これは、体上の射影平面における円錐のシュタイナーの定義に類似しています。双曲平面におけるシュタイナー円錐の合同類は、 PとT ( P )の間の距離 sと、 TによってT ( P )について誘発される回転角φによって決定されます。各シュタイナー放物線は、焦点 Fからの距離が直線ではない超サイクル準線までの距離に等しい点の軌跡です。超サイクルに共通の軸があると仮定すると、 Fの位置は φによって次のように決定されます。 sinh s = 1を固定すると、放物線の類はφ ∈ (0, π/2)と1 対 1 で対応します。共形ディスクモデルでは、各点P は複素数で、| P | < 1です。共通軸を実数直線とし、ハイパーサイクルがIm P > 0の半平面H内にあると仮定します。すると、各放物線の頂点はH内にあり、放物線は軸に垂直な頂点を通る直線について対称になります。ハイパーサイクルが軸から距離dにある場合、次のよう になります。 特に、φ = π/4のとき、 F = 0です。この場合、焦点は軸にあります。同様に、対応するハイパーサイクルで反転してもH は不変です。これは調和的なケースです。つまり、双曲面の任意の反転モデルにおける放物線の表現は、調和的な種数 1 の曲線です。 ${\displaystyle \tanh d=\tan {\tfrac {\phi }{2}},}$$${\displaystyle F=\left({\frac {1-\tan \phi }{1+\tan \phi }}\right)i.}$$

• マーティン・ガードナー、『非ユークリッド幾何学』 、『 The Colossal Book of Mathematics』第 4 章、WW Norton & Company、2001 年、ISBN 978-0-393-02023-6 
• MJ グリーンバーグ、「ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学: 発展と歴史」、第 3 版、WH フリーマン、1994 年。
• ジョージ・E・マーティン『幾何学と非ユークリッド平面の基礎』Springer-Verlag、1975年。
• JG Ratcliffe, Foundation of Hyperbolic Manifolds、Springer、ニューヨーク、1994年。
• David C. Royster、「中立幾何学と非ユークリッド幾何学」
• J. Sarli, 共線群に固有の双曲面上の円錐曲線, J. Geom. 103: 131-138 (2012)