逆極限

まず、群と準同型の逆系（または射影系）の定義から始めます。${\displaystyle (I,\leq )}$を有向半順序集合とする（すべての著者がI を有向集合と要求しているわけではない）。${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$群の族とし、準同型の族があると仮定する${\displaystyle f_{ij}:A_{j}\to A_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i\leq j}$（順序に注意してください）以下の特性を持ちます。

1. ${\displaystyle f_{ii}}$アイデンティティは${\displaystyle A_{i}}$、
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$すべての人々のために${\displaystyle i\leq j\leq k.}$

そして二人は${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$は、上の群と射の逆系と呼ばれます。${\displaystyle I}$、そして射${\displaystyle f_{ij}}$これらはシステムの遷移射と呼ばれる。

逆システムの逆極限${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$は、の直積の部分群です。${\displaystyle A_{i}}$は次のように定義される。

${\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\;\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\;\right\}.}$

上記の逆システムの定義は、${\displaystyle A}$は点ごとの乗算に関して閉じており、したがって群である。

${\displaystyle f_{ij}(a_{j}\cdot b_{j})=f_{ij}(a_{j})\cdot f_{ij}(b_{j})=a_{i}\cdot b_{i}}$

すべての人にとって${\displaystyle i<j}$そしてすべての${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in A}$⁠

逆極限${\displaystyle A}$各直積のi番目の成分を選択する自然射影π _i : A → A _iを備えています${\displaystyle i}$で${\displaystyle I}$逆極限と自然射影は、次節で説明する普遍的な性質を満たす。

この同じ構造は、${\displaystyle A_{i}}$は集合、半群、位相空間、環、加群（固定環上）、代数（固定環上）などであり、準同型は対応する圏の射である。逆極限もその圏に属する。^{[ 1 ]}より一般的には、この構成は の場合に適用される。${\displaystyle A_{i}}$普遍代数の意味での多様体、つまり公理が無条件である代数構造の一種に属します（ゼロは乗法逆元を持たないため、体は代数を形成しません）。

逆極限は、普遍的な性質を用いて任意のカテゴリーで抽象的に定義することができる。${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$ は、カテゴリーCにおける対象と射の逆システムである(上記と同じ定義)。このシステムの逆極限は、 C内の対象Xと、 π _i =を満たす射π _i : X → X _i (射影と呼ばれる) である。${\displaystyle f_{ij}}$∘ π _{j は}すべてのi ≤ jに対して成り立つ。ペア ( X , π _i ) は、他の任意のペア ( Y , ψ _i ) に対して、図式が成り立つような一意の射u : Y → Xが存在するという意味で普遍的でなければならない。

すべてのi ≤ jに対して可換である。逆極限はしばしば次のように表される。

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

逆システムを用いて${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$そして正準投影$\displaystyle \pi _{i}}$理解されること。

カテゴリーによっては、特定の逆システムの逆極限が存在しない場合がある。しかし、存在する場合は、強い意味で一意である。すなわち、逆システムの任意の2つの逆極限XとX'が与えられたとき、射影写像と可換な一意の同型写像X ' → Xが存在する。

圏Cにおける逆システムと逆極限は、関手による別の記述が可能である。任意の半順序集合Iは、射がi → jであるのはi ≤ jの場合に限るという小さな圏とみなすことができる。逆システムは、I → Cの反変関手に他ならない。${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}}$これらの関手の圏を（射として自然変換を持つ）とする。Cの対象Xは自明な逆系とみなすことができ、すべての対象はXと等しく、すべての矢印はXの恒等写像である。これにより、 Cからへの「自明な関手」が定義される。${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}.}$逆極限が存在する場合、それはこの自明な関手の右随伴として定義される。

アーベル群の逆系 ( A _i , f _ij )の射の像が定常である場合、すなわち、すべてのkに対して、すべてのi ≥ jに対して次の式が成り立つj ≥ kが存在する場合: ${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}$システムはミッタッグ＝レフラー条件を満たすと言う。

この条件に「ミッターク＝レフラー」という名前をつけたのは、ブルバキが完全ハウスドルフ一様空間の逆極限に関する同様の結果について、一様構造に関する章で述べたものである。ミッターク＝レフラーは、ミッターク＝レフラーの定理の証明において、同様の議論を用いた。

ミッタッグ＝レフラー条件が満たされる状況の例を以下に示します。

• 射f _ijが全射であるシステム
• 有限次元ベクトル空間、有限アーベル群、有限長の加群、またはアルティン加群のシステム。

例えば${\displaystyle \varprojlim {}^{1}}$は、 I を非負整数とし、A _i = p ⁱ Z、B _i = Z、C _i = B _i / A _i = Z / p ⁱ Zとすることで非ゼロとなる。

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }$

ここで、Z _{p は}p 進整数を表す。

より一般的に、C が十分な数の単射を持つ任意のアーベル圏である場合、C ^Iも同様であり、逆極限関手の右導来関手を定義することができる。n番目の右導来関手は次のように表される。

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.}$

C がグロタンディークの公理(AB4*)を満たす場合、ヤン＝エリック・ルースはAb ^I上の関数 lim ^{1 を}、次のような関数 lim ^{n の}列に一般化した。

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

約 40 年間、Roos は ( Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications. )で、全射遷移射と非負整数の集合Iを持つ逆システム( A _i , f _ij ^{) に対して lim 1} A _i = 0 であることを証明したと考えられていた(このような逆システムはしばしば「ミッタッグ＝レフラー数列」と呼ばれる)。しかし、2002 年に、Amnon NeemanとPierre Deligne は、 lim ¹ A _i ≠ 0となるような、(AB4) (さらに (AB4*)) を満たす圏でそのようなシステムの例を構成した。Roos はその後 (「逆極限の導関数の再検討」で)、 C が生成元集合 (さらに (AB3) と (AB4*)) を持つ場合、彼の結果が正しいことを示した。

バリー・ミッチェルは（「有向集合のコホモロジー次元」の中で）I の濃度が${\displaystyle \aleph _{d}}$( d番目の無限基数) の場合、すべてのn ≥ d + 2に対してR ⁿ lim はゼロになります。これは、可換環RのR加群の圏のI でインデックス付けされた図式に適用されます。任意のアーベル圏では必ずしも真ではありません (可算集合でインデックス付けされた図式でn > 1 に対して lim ⁿがゼロでないアーベル圏の例については、Roos の「逆極限の導関数の再検討」を参照してください)。