反対のカテゴリー

数学の一分野である圏論では、与えられた圏Cの反対圏または双対圏C ^{op は、}射を反転、つまり各射のソースとターゲットを交換することによって形成されます。反転を 2 回行うと元の圏が生成されるため、反対圏の反対は元の圏そのものです。記号では、 となります。 ${\displaystyle (C^{\text{op}})^{\text{op}}=C}$

• 例として、半順序における不等式の方向を逆にする。Xが集合で半順序関係≤の場合、新しい半順序関係^≤opを次のように定義できる。

x ≤ ^op y である場合、かつy ≤ xの場合に限ります。

新しい順序は一般に ≤ の双対順序と呼ばれ、ほとんどの場合 ≥ で示されます。したがって、双対性は順序理論で重要な役割を果たし、すべての純粋に順序理論的な概念には双対があります。たとえば、子/親、子孫/祖先、最小値/最大値、ダウンセット/アップセット、理想/フィルターなどの反対のペアがあります。この順序理論の双対性は、すべての順序付きセットがカテゴリとして理解できるため、反対のカテゴリの構築の特殊なケースです。

• 半群( S , ·)が与えられた場合、通常、反対の半群を ( S , ·) ^op = ( S , *) と定義します。ここで、Sのすべてのx、yに対してx * y ≔ y · xです。したがって、半群についても強い双対性原理が存在します。明らかに、同じ構成は群についても機能し、環論でも知られており、環の乗法半群に適用して反対の環を与えます。また、このプロセスは、半群をモノイドに完成させ、対応する反対のカテゴリを取り、次にそのモノイドから単位を削除することで記述できます。
• ブール代数とブール準同型のカテゴリは、ストーン空間と連続関数のカテゴリの逆と同等です。
• アフィンスキームのカテゴリは、可換環のカテゴリの反対に相当します。
• ポントリャーギン双対性は、コンパクト ハウスドルフ アーベル 位相群のカテゴリと (離散) アーベル群のカテゴリの反対との間の同値に制限されます。
• ゲルファント・ナイマルクの定理によれば、局所的可測空間（可測写像を持つ）のカテゴリは、可換フォン・ノイマン代数のカテゴリ（*-代数の正規 単位準同型を持つ）と同値である。^[1]

Opposite の保存製品:

${\displaystyle (C\times D)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}}$（製品カテゴリーを参照）

反対は関数を保存します:

${\displaystyle (\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}} )}$^{[2] [3]}（関手カテゴリ、反対関手を参照）

反対にスライスは保持されます:

${\displaystyle (F\downarrow G)^{\text{op}}\cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})}$（カンマのカテゴリを参照）

• 二重オブジェクト
• 双対（圏論）
• 双対性（数学）
• 随伴関数
• 反変関数
• 反対関数

• nラボの反対カテゴリ
• ダニロフ、VI (2001) [1994]、「二重カテゴリー」、数学百科事典、EMSプレス
• マック・レーン、サンダース (1978)。『Categories for the Working Mathematician (Second ed.)』。ニューヨーク、NY: Springer New York。p. 33。ISBN 1441931236. OCLC  851741862.
• アウォディ、スティーブ（2010）。カテゴリー理論（第2版）。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。pp.53-55。ISBN 978-0199237180. OCLC  740446073.
• ヘルリッヒ、ホルスト。ジョージ E. ストレッカー (1979)。圏論。 SSPM (純粋数学のシグマ シリーズ) 01. ヘルダーマン。ISBN 978-3-88538-001-6。