半直交行列

線型代数において、半直交行列は、実数要素を持つ非正方 行列であり、列数が行数を超える場合、行は正規直交ベクトルになります。ただし、行数が列数を超える場合、列は正規直交ベクトルになります。

同様に、非正方行列Aは、次のいずれかの場合に半直交行列である。

${\displaystyle A^{\operatorname {T} }A=I{\text{ or }}AA^{\operatorname {T} }=I.\,}$^{[1] [2] [3]}

以下では、Aがm  ×  n行列（ m  >  n）である場合を考える。

${\displaystyle A^{\operatorname {T} }A=I_{n},{\text{ and}}}$

${\displaystyle AA^{\operatorname {T} }={\text{the matrix of the orthogonal projection onto the column space of }}A.}$

等長性の性質 を示す事実${\textstyle A^{\operatorname {T} }A=I_{n}}$

${\displaystyle \|Ax\|_{2}=\|x\|_{2}\,}$R ⁿ内のすべてのxに対して。

たとえば、半直交行列です。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

半直交行列Aは半ユニタリ行列（A ^† A  =  IまたはAA ^†  =  I）であり、左逆行列または右逆行列（行が列より多い場合は左逆行列、そうでない場合は右逆行列）のいずれかです。左から適用される線形変換として、行が列より多い半直交行列はベクトルのドット積を保存するため、回転や鏡映などのユークリッド空間の等長変換として機能します。