リー群分解

数学において、リー群分解は、リー群とそれに関連するオブジェクトの構造を、それらがどのように部分群から構築されるかを示すことによって分析するために使用されます。リー群分解は、リー群とリー代数の表現論において不可欠な技術的ツールであり、そのような群とそれに関連する同次空間の代数的位相を研究するためにも使用できます。リー群法の使用は20世紀の数学の標準的な手法の1つになったため、現在では多くの現象が分解に起因しています。

同じ考え方がリー群、リー代数、代数群、p 進数の類似物に適用されることが多く、事実を統一理論にまとめることが難しくなります。

• 代数群の元を半単純元と単元元の積としてジョルダン・シュヴァレー分解する
• 半単純代数群のボレル部分群の二重剰余類へのブルハ分解は、 ガウス・ジョルダン消去法の原理の一般化とみなすことができる。ガウス・ジョルダン消去法は一般に、行列を上三角行列と下三角行列の積として表すが、例外的なケースもある。これはグラスマン多様体のシューベルト細胞分解と関連している。詳細についてはワイル群を参照。${\displaystyle G=BWB}$
• カルタン分解は、半単純実リー代数をカルタン反転の固有空間の和として表す。^[1]
• 半単純群をコンパクト、アーベル、および冪零部分群の積として岩澤分解すると、実正方行列を 直交行列と上三角行列の積として表す方法が一般化されます(グラム・シュミット直交化の結果)。${\displaystyle G=KAN}$${\displaystyle G}$
• ラングランズ分解は、 リー群の放物型部分群を半単純部分群、可換部分群、および冪零部分群の積として表します。${\displaystyle P=MAN}$${\displaystyle P}$
• レヴィ分解は、有限次元リー代数を、可解なイデアルと半単純部分代数の半直積として表します。
• 一般線型群の稠密部分集合のLU分解。これはBruhat分解の特殊なケースと考えることができる。
• バーコフ分解は、アフィン群のブルハット分解の特殊なケースです。