ポアソン超代数

数学において、ポアソン超代数とは${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-段階的結合単位代数${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$2番目の双線形マップを備えた、

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\times A\to A}$。

させて${\displaystyle |x|}$同次要素のパリティを表す${\displaystyle x}$、 それから ${\displaystyle \forall x,y,z\in A}$括弧は以下を満たす：

• 段階的反対称性:${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x]}$。
• 段階的ヤコビ同一性：${\displaystyle [x,[y,z]]=[[x,y],z]+(-1)^{|x||y|}[y,[x,z]]}$。
• 段階的ライプニッツの法則：${\displaystyle [x,yz]=[x,y]z+(-1)^{|x||y|}y[x,z]}$。

これは、ポアソン代数を「超代数化」する2つの可能な方法のうちの1つです。これにより、フェルミオン場と古典的なスピン1/2粒子の古典的な力学が得られます。もう1つの方法は、BRSTおよびBatalin-Vilkovisky形式で使用される反ブラケット代数またはGerstenhaber代数を定義することです。この2つの違いは、リーブラケットの次数にあります。ポアソン超代数では、ブラケットの次数はゼロです。

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|}$

一方、ゲルステンハーバー代数では、括弧は次数を1つ減らす。

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$

• もし${\displaystyle A}$結合法則は${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$次数付き代数では、新しい積を定義します。${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$スーパー整流子と呼ばれるもの${\displaystyle [x,y]:=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$任意の純粋な段階的 x、y、回転に対して${\displaystyle A}$ポアソン超代数へ。
• 代数${\displaystyle C^{\infty }(P)}$シンプレクティック多様体の滑らかな関数${\displaystyle (P,\Omega )}$と設定すると、ポアソン超代数となる。${\displaystyle A_{1}=0}$。

• ポアソン超多様体

• Y. Kosmann-Schwarzbach (2001) [1994]、「ポアソン代数」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Press
• ヘノー、マルク；タイテルボイム、クラウディオ（1992）。ゲージシステムの量子化。プリンストン大学出版局。ISBN 9780691037691。