実射影線

幾何学において、実射影直線とは、実数上の射影直線のことです。これは、視覚的遠近法によって生じる問題、すなわち2本の平行線が交わらずに「無限遠で」交わるように見えるという問題を解決するために歴史的に導入された、通常の直線の概念の拡張です。この問題を解決するために、実射影平面において2つの異なる射影直線がちょうど1点で交わるように、無限遠点が導入されました。これらの無限遠点の集合、すなわち平面における視覚的遠近法の「地平線」が実射影直線です。これは、任意の点に位置する観測者から発せられる方向の集合であり、反対方向は同一視されます。

実射影直線の一例として、射影的に拡張された実直線があり、これはしばしば射影直線と呼ばれます。

形式的には、実射影直線P ( R ) は、実数上の 2 次元ベクトル空間のすべての 1 次元線形部分空間の集合として定義されます。実射影直線の自己同型写像は、射影変換、ホモグラフィー、または線形分数変換と呼ばれます。これらは射影線形群PGL(2, R ) を形成します。PGL(2, R )の各要素は、非特異な2×2 実数行列で定義でき、2 つの行列が PGL(2, R )の同じ要素を定義するのは、一方の行列が他方の行列とゼロでない実数の積である場合です。

位相的に、実射影直線は円と同相である。実射影直線の複素数版は複素射影直線であり、リーマン球面とも呼ばれる。

意味

実射影直線の点は通常、同値関係の同値類として定義されます。出発点は、次元 2 の実ベクトル空間 $V$ です。 $V$ $∖ 0上で、$ $v$ $=$ $t$ $w$ となるようなゼロでない実数 $t$ が存在する場合に成立する二項関係 $v$ $~$ $w$ を定義します。ベクトル空間の定義から、これが同値関係であることがほぼ直ちにわかります。同値類は、ゼロベクトルが除去されたベクトル直線です。実射影直線 $P$ $($ $V$ $)$ は、すべての同値類の集合です。各同値類は単一の点として考えられ、言い換えれば、点が同値類として定義されます。

$V$ の基底を選択すると、これは (ベクトルをその座標ベクトルと同一視することによって) $V を$ 直積 $R \times R = R 2$ $と同一視することに相当し、 (x, y ) = ($ $tw$ $,$ $tz$ $)$ となるようなゼロでない実数 $t$ が存在する場合、同値関係は $(x, y$ $) ~ ($ $w$ $,$ $z$ $)$ $となります$ 。この場合、射影直線 $P (R 2)$ は、好ましくは $P 1 (R)$ または $\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}}$ 対 $(x, y)の同値類は、慣習的に$ $[x : y]$ と表記され、表記中のコロンは、 $y \neq 0$ の場合、同値類のすべての要素に対して比 $x : y$ が同じであることを示している。点 $P$ が同値類 $[x : y]である場合、$ $(x, y)は$ $P$ の射影座標のペアであると言う。^[¹^]

$P (V)$ は同値関係によって定義されるため、 $V$ から $P$ $($ $V$ $)$ への正準射影は、射影直線上に位相 (商位相) と微分構造を定義します。しかし、同値類が有限でないという事実は、微分構造を定義する際にいくつかの困難を引き起こします。これらは、 $V を$ ユークリッドベクトル空間とみなすことで解決されます。単位ベクトルの円は、 $R$ $2$ の場合、座標が $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $= 1$ を満たすベクトルの集合です。この円は、各同値類とちょうど 2 つの反対の点で交わります。したがって、射影直線は、 $v$ $~$ $wとなるのは$ $v$ $=$ $w$ または $v$ $= -$ $w$ のいずれかの場合のみであるような同値関係による円の商空間とみなすことができます。

グラフ

射影直線は多様体である。これは上記の構成から同値関係を通して確認できるが、 2つの図表からなる図表を示すことでより理解しやすくなる。

図表1： $y\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {x}{y}}$
図表2： $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$

同値関係は、同値類に属するすべての代表元が、チャートによって同じ実数に送られることを規定する。

$x$ または $y$ のどちらか一方がゼロになることはあっても、両方がゼロになることはない。そのため、射影線をカバーするには両方のチャートが必要となる。これら 2 つのチャート間の遷移マップは乗法逆関数である。これは微分可能な関数であり、さらに(ゼロ以外の)解析関数でもあるため、実射影線は微分可能な多様体であると同時に解析的な多様体でもある。

図表1の逆関数はマップです

x\mapsto [x:1].

これは、実数直線を射影直線に埋め込むことを定義するもので、その像の補集合は点 $[1: 0]$ である。この埋め込みと射影直線からなるペアを射影的に拡張された実数直線と呼ぶ。この埋め込みによって実数直線をその像と同一視すると、射影直線は実数直線と単一の点 $[1: 0]$ の和集合とみなすことができ、この点は射影的に拡張された実数直線の無限遠点と呼ばれ、 $\infty$ と表記される。この埋め込みにより、点 $[$ $x$ $:$ $y$ $]を、$ $y$ $\neq 0$ の場合は実数 $⁠$ $x$ $/$ $y$ $⁠$ と、それ以外の場合は $\infty$ と同一視することができる。

同様の構成はもう一方のチャートでも行うことができます。この場合、無限遠点は $[0: 1]$ となります。これは、無限遠点の概念が実射影直線に固有のものではなく、実数直線を射影直線に埋め込む方法の選択に依存することを示しています。

構造

実射影直線上の点は、円上の対蹠点のペアと関連付けることができる。一般に、射影n空間は、(n+1)空間内の球面上の対蹠点のペアから形成される。この場合、球面は平面上の円である。

実射影直線は、実射影平面と複素射影直線に存在する完全な射影範囲である。したがって、その構造はこれらの上位構造から受け継がれている。これらの構造の中で最も重要なのは、射影範囲の点間の射影調和共役の関係である。

実射影直線は、実数の通常の順序を拡張した巡回順序を持つ。

自己同型写像

射影線形群とその作用

行列ベクトル乗算は、行ベクトルの空間 $R$ $2$ $に対するGL 2 (R)$ の右作用を定義します。具体的には、

(x,y){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=(ax+by:cx+dy).

$GL 2 (R)$ の各行列はゼロベクトルを固定し、比例ベクトルを比例ベクトルにマッピングするため、 $GL 2 (R)は$ $P 1 (R)$ に対して誘導作用を及ぼします。具体的には、^{[ 2 ]}

[x:y]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[ax+by:cx+dy].

（以下、表記法） $[x:y]$ 同次座標の場合、行ベクトルの同値類を表します。

$P$ $1$ $($ $R$ $)$ に自明に作用する $GL 2 (R)$ の要素は、単位行列の非ゼロのスカラー倍であり、これらは $R$ $\times$ で表される部分群を形成します。射影線形群は、商群 $PGL$ $2$ $($ $R$ $) = GL$ $2$ $($ $R$ $)/$ $R$ $\times$ として定義されます。上記により、 $PGL$ $2$ $($ $R$ $)$ から $P$ $1$ $($ $R$ $)$ への誘導忠実作用が存在します。このため、群 $PGL$ $2$ $($ $R$ $)は$ $P$ $1$ $($ $R$ $)$ の線形自己同型群とも呼ばれます。

線形分数変換

$R \cup \infty \to P 1 (R)$ という識別を用いて $x を$ $[x :1]$ に、 $\inftyを$ $[1:0]$ に写像すると、 $R$ $\cup \infty$ に対する $PGL 2 (R)$ の対応する作用が得られます。これは線形分数変換によって得られます。具体的には、

[x:1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[ax+b:cx+d]\quad \mathrm {and} \quad [1:0]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=[a:c],

のクラス ${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$ $PGL 2 (R)$ では、 $x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ $分母が0である各分数は\infty$ と解釈されるべきであるという理解のもとに。^{[ 3 ]} $\infty \mapsto {\frac {a}{c}}$ [ ⁴^]

一部の著者は、行列演算子でbとcを入れ替える必要がある列ベクトルに対する左作用を使用しています。 ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

物件

$P 1 (R)$ 内の異なる点の順序付き 3 つ組が 2 つ与えられたとき、最初の 3 つ組を 2 番目の 3 つ組に写像する $PGL 2 (R)$ の一意の要素が存在します。つまり、この作用は厳密に 3-推移的です。例えば、 $(0, 1, \infty)を$ $(-1, 0, 1)$ に写像する線形分数変換は、ケイリー変換です。 $x\mapsto {\frac {x-1}{x+1}}$ 。
点 $\inftyの$ $PGL$ $2$ $($ $R$ $)$ における安定化群は、変換からなる実数直線のアフィン群である。 $x\mapsto ax+b$ $すべてのa \in R *$ および $b \in R$ に対して。

注記

↑ $P$ $1$ $($ $R$ $)$ を構成するために使用した引数は、任意の体K と任意の次元を使用して射影空間 $P$ $n$ $($ $K$ $)$ を構成するためにも使用できます。
↑ Miyake, Modular forms , Springer, 2006, §1.1. この文献および以下の他の文献の一部は、 $P$ $1$ $($ $R$ $)$ の代わりに $P 1 (C)$ を使用していますが、原理は同じです。
↑ Koblitz、「楕円曲線とモジュラー形式入門」、Springer、1993年、III.§1。
↑ Lang,複素解析, Springer, 1999, VII, §5.
↑ Lang, Elliptic functions , Springer, 1987, 3.§1.
↑ Serre、『算術入門』、Springer、1973年、VII.1.1。
↑スティルウェル著『数学とその歴史』、シュプリンガー、2010年、§8.6

参考文献

フアン・カルロス・アルバレス・パイバ（2000）「リアル・プロジェクティブ・ライン」、ニューヨーク大学のコースコンテンツ。
サンティアゴ・カニェス（2014）ノースウェスタン大学からの射影幾何学に関するノート。

[1] $P$ $1$ $($ $R$ $)$ を構成するために使用した引数は、任意の体K と任意の次元を使用して射影空間 $P$ $n$ $($ $K$ $)$ を構成するためにも使用できます。

[2] Miyake, Modular forms , Springer, 2006, §1.1. この文献および以下の他の文献の一部は、 $P$ $1$ $($ $R$ $)$ の代わりに $P 1 (C)$ を使用していますが、原理は同じです。

[3] Koblitz、「楕円曲線とモジュラー形式入門」、Springer、1993年、III.§1。

[4] Lang,複素解析, Springer, 1999, VII, §5.

[5] Lang, Elliptic functions , Springer, 1987, 3.§1.

[6] Serre、『算術入門』、Springer、1973年、VII.1.1。

[7] スティルウェル著『数学とその歴史』、シュプリンガー、2010年、§8.6

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自己同型写像

射影線形群とその作用

線形分数変換

物件

関連項目

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