射影調和共役

射影幾何学では、実射影直線上の点と他の 2 つの点との調和共役点は、次の構成によって定義されます。

3つの共線上の点A、B、Cが与えられ、Lはそれらの接合点上にない点とし、Cを通る任意の直線がLA 、LBとそれぞれM、Nで交わるとする。ANとBMがKで交わり、LKがABとDで交わる場合、DはAとBに関してCの調和共役と呼ばれる。^[1]

点D は、最初にどの点L を取るかには依存せず、また、 MとN を見つけるためにC を通るどの直線が使用されるかにも依存しません。この事実は、デザルグの定理から導かれます。

実射影幾何学では、調和共役は（A、B、C、D）= −1として 複比で定義することもできます。

4 つの点は、 D が線分AB を内部的に分割する割合とC が線分AB を外部的に分割する割合が常に同じであることから、(実射影直線上の)調和範囲と呼ばれることがあります。つまり、

$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}$$

これらのセグメントに実数の通常の測定法の解釈が与えられると、符号が付き、複比（時には二重比） として知られる二重比例を形成する。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,}$

調和範囲は-1の値で特徴付けられます。したがって、次のように書きます。

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.}$

一般に複比の値は一意ではなく、セグメントの選択順序に依存します (選択可能な順序は 6 つあります)。ただし、特に調和範囲の場合、複比の値は{−1、1/2、2} の 3 つだけです。これは、 −1 が自己逆であるためです。そのため、最後の 2 つのポイントを交換すると、これらの値がそれぞれ交換されるだけで、新しい値は生成されません。これは、古典的には調和複比として知られています。

二重比に関して、アフィン直線上の点a、bが与えられた場合、点xの分割比^[2]は、次のようになります 。 a < x < bの 場合、t ( x ) は負になり、区間外では正になることに注意してください。 複比は分割比の比、つまり二重比です。 二重比をマイナス 1 に設定すると、t ( c ) + t ( d ) = 0 のときに、cとd がaとbに関して調和共役になります。 したがって、分割比の基準は、それらが加法逆数であることです。 $${\displaystyle t(x)={\frac {xa}{xb}}.}$$${\displaystyle (c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}}$

線分の調和分割は、アポロニウスの円の定義の特殊なケースです。

いくつかの学校では、倍音範囲の構成は倍音分割と呼ばれます。

x がaからbまでの線分の中点である場合、 クロス比基準により、t ( y ) = 1のとき、xの調和共役はyになります。 しかし、 aとb を通る直線上にはyの有限解はありません。 それにもかかわらず、 これが射影直線に無限遠点 を含める動機となります。 この無限遠点は、中点xの調和共役として機能します。 $${\displaystyle t(x)={\frac {xa}{xb}}=-1.}$$$${\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,}$$

調和共役への別のアプローチは、上図のKLMN のような完全四角形の概念を使うことです。4 つの点に基づいて、完全四角形には反対側の辺と対角線のペアがあります。HSM Coxeterによる調和共役の表現では、対角線は反対側の辺のペアとみなされます。

D はAとBに関するCの調和共役であり、これは、一対の対辺がAで交差し、2番目の対辺がBで交差し、3番目の対辺がCとDでAB と交わるような四角形IJKL が存在することを意味します。^[3]

調和共役を計量的考慮から独立した射影幾何学の基礎として初めて使用したのは カール・フォン・シュタウトでした。

...シュタウトは射影幾何学を初等幾何学から解放することに成功した。彼の著書『幾何学』では、シュタウトは完全な四角形または四辺形を用いて、複比の概念とは独立に調和四元を導入した。^[4]

中点を求めるために適用される完全な四角形を確認するには、JW Young の次の一節を検討してください。

任意の2本の直線AQ、ASがAを通り、直線BS、BQがそれぞれAQ、ASと平行にBを通り、直線AQ、SB は定義により無限遠点Rで交わり、直線AS、QB は定義により無限遠点Pで交わる。すると、完全な四辺形PQRS はAとBに2つの対角点を持ち、残りの対辺はMとAB上の無限遠点を通る。すると、点Mは構築によりAB上の無限遠点のAとBに関する調和共役となる。一方、Mが線分ABの中点であることは、平行四辺形 ( PQRS ) の対角線は互いに二等分するというよく知られた命題から導かれる。^[5]

射影範囲上の4つの順序付けられた点は、平面内にテトラスティグムが あり、最初の点と3番目の点がコドットであり、他の2つの点が3番目のコドットのコネクタ上にある場合、調和点と呼ばれます。^[6]

pが調和点を含む直線上にない点である場合、 pと点との結合は調和直線である。同様に、平面束の軸が調和点を含む直線に対して傾斜している場合、点上の平面は調和平面である。^[6]

このような関係にある4つのセットは調和四重奏と呼ばれています。^[7]

射影平面上の円錐曲線は、次の特性を持つ曲線Cです。PがC上にない点であり、P を通る可変直線が点AおよびBでC と交わる場合、 AおよびBに関するPの可変調和共役は直線を描きます。点Pはその調和共役直線の極と呼ばれ、この直線は円錐曲線に関するPの極直線と呼ばれます。詳細については、 極と極の記事を参照してください。

円錐曲線が円の場合、円の延長された直径上で、円に関する調和共役は円の逆数である。この事実はスモゴルジェフスキーの定理の1つから導かれる: ^[8]

円kとqが互いに直交する場合、 kの中心を通りqと交差する直線は、 kに関して対称な点で交差します 。

つまり、線がkの拡張直径である場合、 qとの交点は調和共役になります。

曲線として次の式で与えられる楕円 を考える。${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

を楕円の外側の点とし、そこからの直線が点およびで楕円と交わるとします。座標 が であるとします。次に、楕円上および楕円内の点を取り、その点がと の比で線分を分割するような点、すなわち ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\xi,\eta)}$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle A}$${\displaystyle PQ}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle PA={\sqrt {(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}}}=1,\;\;\;AQ={ \sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda }$。

これらの方程式を解く代わりに、 次の式が解であることを代入して検証する方が簡単です。 ${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle (\xi,\eta)={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg)}.}$

点は楕円上にあるので、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,}$

または

${\displaystyle \lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.}$

この方程式は の二次方程式であり、ヨアヒムタール方程式と呼ばれます。その 2 つの根、 は、およびに対する および の位置を決定します。およびをと関連付けてみましょう。すると、さまざまな線分は次のように与えられます。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \lambda_{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda_{2}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)}$

そして

${\displaystyle QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).}$

すると、

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.}$

この式が のとき、 ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle {\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.}$

したがって、は を を を を を を を を 内部的に 分割するのと同じ割合で分割します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle PQ}$${\displaystyle B}$${\displaystyle PQ}$

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}}$

の値（これは自己逆数となる）は調和複比として知られている。上記のように、 となり、したがってヨアヒムタールの方程式 の の係数はゼロになる。すなわち、${\displaystyle -1}$${\displaystyle \lambda _{2}/\lambda _{1}=-1}$${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=0}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.}$

これは、点 (極) の極 (線) と呼ばれる直線の方程式です。 のこの極は、から楕円への接線の接触弦であることが示されます。 を楕円 ( ) に置くと、方程式は における接線の方程式になります。楕円の準線が焦点の極であることも示せます。 ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=0}$${\displaystyle P}$

ガロア体GF( q )上のガロア 幾何学では、直線にはq + 1個の点があり、∞ = (1,0)である。この直線では、2つの点が他の点を調和的に分離するとき、4つの点は調和四元体を形成する。条件

${\displaystyle (c,d;a,b)=-1,\ {\text{ equivalently }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}$

は調和四面体を特徴付ける。これらの四面体に注目したジャン・ディウドネは、 q = 5, 7, 9に対して射影線型群PGL(2, q )のいくつかの偶然の同型を描写した。^[9]

q = 2 ⁿで、AとBが与えられている場合、 Cの調和共役はそれ自身である。^[10]

P ₀、P ₁、P _{2 を}実射影直線上の3つの異なる点とする。点の無限列P _{n を}考える。ここでP _{n は}n > 2のときのP _{n -1}、P _{n -2}に関するP _{n -3}の調和共役である。この列は収束する。^[11]

有限 の極限Pについては、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}$

ここでは黄金比、つまりnが大きい場合である。無限大の場合には、 ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$${\displaystyle P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}$

証明のために射影同型性を考える。

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

と

${\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.}$

• Juan Carlos Alverez (2000) 射影幾何学、第 2 章「実射影平面」、セクション 3「調和四重項とフォン・シュタウトの定理」を参照。
• Robert Lachlan (1893) 『An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry』、コーネル大学Historical Math Monographs からのリンク。
• バートランド・ラッセル（1903）『数学原理』 384ページ。
• ラッセル、ジョン・ウェルズリー（1905年）。純粋幾何学。クラレンドン・プレス。