回路トポロジー（電気）

グラフ理論は、キルヒホッフの法則が定式化された直後から、線形受動ネットワークのネットワーク解析に用いられてきた。グスタフ・キルヒホッフ自身も、1847年に抵抗回路のループ解析において、ネットワークの抽象的な表現としてグラフを用いた。^{[ 14 ]} このアプローチは後にRLC回路に一般化され、抵抗がインピーダンスに置き換えられた。1873年、ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、この解析の双対であるノード解析を提供した。^{[ 15 ] [ 16 ]} マクスウェルはまた、ノードアドミタンス行列の行列式がすべての木アドミタンス積の合計に等しいという位相定理の提唱者でもある。1900年、アンリ・ポアンカレは、グラフをその接続行列で表現するというアイデアを導入し、^{[ 17 ]}代数トポロジーの分野を創設した。 1916年、オズワルド・ヴェブレンはポアンカレの代数トポロジーをキルヒホフの解析に適用した。^{[ 18 ]}ヴェブレンはまた、互換性のあるネットワーク変数セットを選択するのに役立つスパニングツリー の導入にも貢献した。 ^{[ 19 ]}

電気回路に適用されるネットワークグラフの包括的なカタログ化は、 1891 年にパーシー・マクマホンによって開始されました (1892 年にThe Electricianに技術者向けの記事が掲載されました)。マクマホンは、調査を直列および並列の組み合わせに限定しました。マクマホンはこれらのグラフをヨークチェーンと呼びました。^{[注 1 ]} 1932 年にロナルド M. フォスターは、グラフをヌル性またはランクによって分類し、ノード数が少ないすべてのグラフのチャートを提供しました。この作業は、フォスターが 1920 年にジョージ キャンベルと 4 ポート電話中継器について共同研究していたときの以前の調査から発展したもので、83,539 種類のグラフを作成しました。^{[ 20 ]}

長い間、電気回路理論におけるトポロジーは線形受動ネットワークのみを対象としていました。半導体デバイスと回路の最近の発展により、それらを扱うための新しいトポロジーのツールが必要になりました。回路の複雑さが大幅に増加したことにより、コンピュータ計算の効率を向上させるためにグラフ理論における組み合わせ論が使用されるようになりました。 ^{[ 19 ]}

ネットワークは、それを構成する電気素子の種類によって分類されるのが一般的です。回路図では、これらの素子の種類がそれぞれ固有の記号で具体的に描かれます。抵抗ネットワークは、R素子のみで構成される1種類の素子ネットワークです。同様に、容量性ネットワークや誘導性ネットワークも1種類の素子です。RC 、RL、LC回路は、単純な2種類の素子ネットワークです。RLC回路は、最も単純な3種類の素子ネットワークです。ローパスフィルタによく使用されるLCラダーネットワークは、多くの素子を持つことができますが、これも2種類の素子ネットワークの例です。^{[ 21 ]}

逆に、トポロジーはネットワークの要素間の幾何学的関係のみに関心があり、要素の種類自体には関心がありません。ネットワークのトポロジー表現の中心は、ネットワークのグラフです。要素はグラフのエッジとして表されます。エッジは線として描かれ、ドットまたは小さな円で終わり、そこから他のエッジ（要素）が伸びることがあります。回路解析では、グラフのエッジはブランチと呼ばれます。ドットはグラフの頂点と呼ばれ、ネットワークの ノードを表します。ノードと頂点は、ネットワークのグラフについて議論する際に互換的に使用できる用語です。図 2.2 は、図 2.1 の回路のグラフ表現を示しています。^{[ 22 ]}

ネットワーク解析で使用されるグラフは通常、電流の流れと電圧の方向を捉えるための有向グラフと、枝とノードの一意性を捉えるためのラベル付きグラフの両方です。たとえば、枝の正方形で構成されるグラフは、枝に一意のラベルが付けられていない限り、2つの枝を入れ替えても同じトポロジーグラフになります。有向グラフでは、枝が接続する2つのノードは、ソースノードとターゲットノードとして指定されます。通常、これらは枝に描かれた矢印で示されます。^{[ 23 ]}

連結はグラフの基本的な特性の 1 つです。頂点に接続されている辺は、その頂点に連結していると言われます。グラフの連結は、連結行列と呼ばれる行列で行列形式で表現できます。実際、連結行列は、グラフの別の数学的表現であり、あらゆる種類の描画を必要としません。行列の行はノードに対応し、行列の列はブランチに対応します。行列の要素は、連結がない場合はゼロ、ノードとブランチ間の連結がある場合は 1 になります。有向グラフの方向は、要素の符号によって示されます。^{[ 19 ] [ 24 ]}

グラフは、変形によって一方を他方に変換できる場合に同等である。変形には、平行移動、回転、反射の操作、枝の曲げと伸長、枝の交差または結び付けが含まれる。変形によって同等になる2つのグラフは合同であると言われる。^{[ 25 ]}

電気ネットワークの分野では、合同なグラフを生成しない等価なグラフを生成する2つの追加の変換が考慮されています。その1つ目は、直列接続された枝の交換です。これは、特別な規則を必要とせずに変形によって実現できる並列接続された枝の交換の双対です。2つ目は、2つ以上の別々の部分に分割されたグラフ、つまり、各セットのノードに接続する枝を持たない2つのノードセットを持つグラフに関するものです。このような2つの別々の部分は、各部分から1つのノードを結合して1つのノードにしたグラフと等価なグラフとみなされます。同様に、ノードを2つに分割することによって2つの別々の部分に分割できるグラフも等価であるとみなされます。^{[ 26 ]}

木とは、すべてのノードが直接的または間接的に枝で接続されているが、閉じたループを形成しないグラフです。閉じたループがないため、木には電流が存在しません。ネットワーク分析では、スパニングツリー、つまりネットワークのグラフ内のすべてのノードを接続する木に関心があります。この記事では、特に断りのない限り、スパニングツリーは修飾語のない木を意味します。与えられたネットワークグラフには、複数の異なる木が含まれる可能性があります。木を形成するためにグラフから削除される枝はリンクと呼ばれ、木に残る枝は小枝と呼ばれます。n個のノードを持つグラフの場合、各木tの枝の数は次のようになります。

${\displaystyle t=n-1\ }$

回路解析において重要な関係式は次のとおりです。

${\displaystyle b=\ell +t\ }$

ここで、bはグラフの枝の数であり、ℓは木を形成するために削除されたリンクの数である。^{[ 27 ]}

回路解析の目的は、ネットワーク内のすべての分岐電流と分岐電圧を決定することです。これらのネットワーク変数はすべて独立しているわけではありません。分岐電圧は、それらを構成する要素の伝達関数によって分岐電流と関連付けられています。したがって、ネットワークの完全な解は、分岐電流のみ、または分岐電圧のみで表すことができます。また、すべての分岐電流が互いに独立しているわけでもありません。完全な解に必要な分岐電流の最小数はlです。これは、ツリーからl個のリンクが削除され、ツリー内に電流が存在しないという事実の結果です。ツリーの残りの分岐には電流がゼロであるため、リンク電流から独立することはできません。独立変数のセットとして選択される分岐電流は、ツリーのリンクに関連付けられたセットでなければなりません。任意のl個の分岐を任意に選択することはできません。^{[ 28 ]}

分岐電圧に関して言えば、ネットワークの完全な解はt個の分岐電圧で得られます。これは、ツリーのすべての分岐を短絡すると、電圧がどこでもゼロになるという事実の結果です。したがって、リンク電圧はツリーの分岐電圧から独立することはできません。^{[ 29 ]}

一般的な解析手法は、分岐電流ではなくループ電流を求めることです。分岐電流は、ループ電流を用いて求められます。ここでも、ループ電流のセットは任意に選択することはできません。独立変数のセットを保証するために、ループ電流は特定のループのセットに関連付けられている必要があります。このループのセットは、解析対象の回路のグラフの特定の木の単一のリンクを置き換えることによって形成されるループで構成されます。木の単一のリンクを置き換えると正確に 1 つの一意のループが形成されるため、このように定義されたループ電流の数はlに等しくなります。この文脈での「ループ」という用語は、グラフ理論における通常のループの意味とは異なります。特定のループを形成する分岐のセットは、タイ セットと呼ばれます。^{[注 2 ]} ネットワーク方程式のセットは、ループ電流をタイ セットの分岐電流の代数和に等しくすることによって形成されます。^{[ 30 ]}

ツリーやタイセットを参照せずに、独立したループ電流のセットを選択することが可能です。独立したループのセットを選択するための十分条件ですが、必要条件ではありません。選択された各ループには、既に選択されたループに含まれていなかったブランチが少なくとも 1 つ含まれていることを保証することです。特に簡単な選択は、メッシュ解析で使用されるもので、ループはすべてメッシュとして選択されます。^{[注 3 ]} メッシュ解析は、ブランチが交差することなくグラフを平面または球にマッピングできる場合にのみ適用できます。このようなグラフは平面グラフと呼ばれます。平面または球にマッピングできることは、同等の条件です。平面にマッピングされた任意の有限グラフは、球の小さな領域にマッピングされるまで縮小できます。逆に、球にマッピングされた任意のグラフのメッシュは、内部の空間が球のほぼ全体を占めるまで引き伸ばすことができます。すると、グラフ全体が球の小さな領域のみを占めることになります。これは最初のケースと同じなので、グラフは平面にもマッピングされます。^{[ 31 ]}

電圧を用いてネットワーク変数を選択するアプローチは、ループ電流法と類似かつ双対的です。ここでは、ノードのペアに関連付けられた電圧が主変数であり、分岐電圧はそれらを用いて求められます。この方法でも、すべての変数が独立であることを保証するために、グラフの特定の木を選択する必要があります。タイセットの双対はカットセットです。タイセットは、グラフリンクのうち1つを除くすべてを開放回路にすることで形成されます。カットセットは、木の枝のうち1つを除くすべてを短絡回路にすることで形成されます。カットセットは、短絡されていない木の枝と、他の木の枝によって短絡されていないリンクで構成されます。グラフのカットセットは、互いに素な2つの部分グラフを生成します。つまり、グラフを2つの部分に分割し、そのためには最小限の枝のセットが必要です。ネットワーク方程式のセットは、ノードペア電圧をカットセットの枝電圧の代数和に等しくすることで形成されます。^{[ 32 ]} メッシュ解析の特殊なケースの双対は節点解析である。^{[ 33 ]}

s個の独立した部分とb個の枝を持つグラフのヌル性Nは、次のように定義されます。

${\displaystyle N=b-n+s\ }$

グラフのヌルティは、そのネットワーク方程式の集合の自由度を表します。平面グラフの場合、ヌルティはグラフ内のメッシュの数に等しくなります。^{[ 34 ]}

グラフのランクRは次のように定義されます。

${\displaystyle R=ns\ }$

ランクは、節点解析において、メッシュ解析におけるヌルティと同じ役割を果たします。つまり、必要な節点電圧方程式の数を示します。ランクとヌルティは双対概念であり、次の関係があります。^{[ 35 ]}

${\displaystyle R+N=b\ }$

幾何学的に独立した変数のセットが選択されると、ネットワークの状態はこれらの変数で表現されます。結果として、ネットワーク変数の値を求めるために同時に解く必要がある一連の独立した線形方程式が得られます。この方程式のセットは、ネットワークの特性パラメータ行列につながる行列形式で表現できます。パラメータ行列は、方程式がループ解析に基づいて作成されている場合はインピーダンス行列の形をとり、方程式がノード解析に基づいて作成されている場合はアドミタンス行列の形をとります。 ^{[ 36 ]}

これらの方程式は、いくつかのよく知られた方法で解くことができます。1つの方法は、変数の系統的消去法です。^{[ 37 ]}もう1つの方法は、行列式 を使用することです。これはクラメルの公式として知られており、未知の変数を行列式で直接表現します。これは、解の簡潔な表現が得られるため便利です。ただし、最も単純なネットワーク以外では、この方法で手作業で作業する場合、より多くの計算が必要になります。^{[ 38 ]}

2つのグラフは、一方のグラフの枝とノードペアの関係が他方のグラフの枝とループの関係と同じである場合に双対である。グラフの双対は、完全に図式的な方法で見つけることができる。^{[ 39 ]}

グラフの双対は別のグラフです。グラフ内の特定の木に対して、その木に含まれない枝の補集合が双対グラフ内の木を形成します。元のグラフと木のタイ集合に関連付けられた電流ループ方程式のセットは、双対グラフのカット集合に関連付けられた電圧ノードペア方程式のセットと同一です。^{[ 40 ]}

以下の表は、回路理論に関連するトポロジーの双対概念を示しています。^{[ 41 ]}

木の双対は迷路と呼ばれることもある。^{[注4 ]} 木が木の枝でつながれたノードで構成されているのと同様に、迷路はリンクでつながれた空間で構成されている。^{[ 42 ]}

すべてのグラフに対して双対グラフを形成できるわけではありません。双対性には、双対グラフにおいて、すべてのタイセットが双対カットセットを持つことが必要です。この条件は、グラフが枝の交差なしに球面にマッピングできる場合に限り満たされます。これを確認するには、グラフを2つの部分に「結び付ける」にはタイセットが必要であり、グラフを2つの部分に分割するにはその双対であるカットセットが必要であることに注意してください。球面にマッピングできない有限ネットワークのグラフは、n重トーラスを必要とします。トーラスの穴を通過するタイセットは、グラフを2つの部分に結び付けることができません。したがって、双対グラフは2つの部分に分割されず、必要なカットセットも含まれません。したがって、双対グラフを持つのは平面グラフのみです。^{[ 43 ]}

相互インダクタンスを含むネットワークには対応する容量性要素がないため、双対を形成することもできません。双対を持つ等価回路を開発することはできますが、双対を相互インダクタンスから直接形成することはできません。 ^{[ 44 ]}

ネットワーク方程式のセットに対する操作には、何が起こっているかを視覚化するのに役立ちます。ネットワーク方程式のセットからノード電圧を削除することは、トポロジー的にはグラフからそのノードを削除することに対応します。他の 3 つのノードに接続されているノードの場合、これはよく知られているY-Δ 変換に対応します。この変換は、接続されたノードの数を増やすことで拡張でき、その場合はスターメッシュ変換として知られています。^{[ 45 ]}

この変換の逆変換は Δ-Y 変換であり、解析的にはメッシュ電流の消去に対応し、位相的にはメッシュの消去に対応します。ただし、任意の数の他のメッシュと共通の枝を持つメッシュ電流の消去は、一般に実現可能なグラフにはなりません。これは、一般スターの変換のグラフが球面にマッピングされないグラフであるためです (スター多角形が含まれているため、複数の交差があります)。このようなグラフの双対は存在できませんが、一般化されたメッシュ消去を表すために必要なグラフです。^{[ 45 ]}

従来の回路のグラフ表現では、変圧器などで発生する相互誘導結合を明示的に表現する手段がなく、このようなコンポーネントによって、複数の独立した部分を持つ分断されたグラフが生じる可能性があります。解析の便宜上、複数の部分を持つグラフは、各部分のノードを1つずつ統合して1つのグラフにまとめることができます。これは回路の理論的な動作には影響しないため、それに対して行われた解析は依然として有効です。ただし、回路をこのように実装すると、部分間の絶縁が失われるため、実際的な違いが生じます。例として、一次側と二次側の両方が接地された変圧器が挙げられます。変圧器は依然として同じ電圧比を持つ変圧器として機能しますが、絶縁変圧器としては使用できなくなります。^{[ 46 ]}

グラフ理論のより新しい手法は、従来の理論では問題となるアクティブコンポーネントを扱うことができる。これらの新しい手法は相互結合も扱うことができる。^{[ 47 ]}

相互結合とアクティブコンポーネントを扱うための基本的なアプローチは 2 つあります。その 1 つ目は、1953 年にサミュエル・ジェファーソン・メイソンが信号フローグラフを導入したものです。^{[ 48 ]} 信号フローグラフは重み付き有向グラフです。彼はこれを使用して、相互結合とアクティブネットワークを含む回路を分析しました。これらのグラフの有向エッジの重みは、アンプが持つようなゲインを表します。一般に、信号フローグラフは、上述の通常の有向グラフとは異なり、コンポーネントの物理的な配置のトポロジーには対応しません。^{[ 47 ]}

2 つ目のアプローチは、古典的な方法を拡張して、相互結合とアクティブ コンポーネントを含めることです。これを実現するためにいくつかの方法が提案されています。これらの方法の 1 つは、回路内の電流を表すグラフと電圧を表すグラフの 2 つのグラフを構築します。受動コンポーネントは両方のツリーで同じ枝を持ちますが、能動コンポーネントはそうでない場合があります。この方法は、両方のグラフに共通する全域木を特定することに依存しています。1 つのグラフのみを必要とする古典的なアプローチを拡張する別の方法は、1965 年に Chen によって提案されました。^{[注 5 ]} Chen の方法は、ルート付きツリー に基づいています。^{[ 47 ]}

ハイパーグラフ

アクティブコンポーネントの古典的なグラフ理論を拡張するもう1つの方法は、ハイパーグラフを使用することです。一部の電子部品は、グラフを使用して自然に表現できません。トランジスタには3つの接続点がありますが、通常のグラフの枝は2つのノードにしか接続できません。現代の集積回路はこれよりもはるかに多くの接続点を持っています。この問題は、通常のグラフの代わりにハイパーグラフを使用することで克服できます。^{[ 49 ]}

従来の表現では、コンポーネントはエッジで表され、各エッジは 2 つのノードに接続します。ハイパーグラフでは、コンポーネントはハイパーエッジで表され、ハイパーエッジは任意の数のノードに接続できます。ハイパーエッジには、ハイパーエッジをノードに接続する触手があります。ハイパーエッジのグラフィカル表現はボックス（エッジは線）で表され、その触手の表現はボックスから接続されたノードへの線です。有向ハイパーグラフでは、触手にはハイパーエッジのラベルによって決定されるラベルが付きます。従来の有向グラフは、それぞれ 2 つの触手を持つハイパーエッジを持つハイパーグラフと考えることができます。これらの 2 つの触手はソースとターゲットというラベルが付けられ、通常は矢印で示されます。触手が多い一般的なハイパーグラフでは、より複雑なラベル付けが必要になります。^{[ 50 ]}

ハイパーグラフは、その接続行列によって特徴付けられます。2つの終端要素のみを含む正則グラフは、各行にちょうど2つの非ゼロ要素を持ちます。任意の行に2つ以上の非ゼロ要素を持つ接続行列は、ハイパーグラフの表現です。行の非ゼロ要素の数は、対応するブランチのランクであり、最も高いブランチランクが接続行列のランクです。^{[ 51 ]}

古典的なネットワーク解析では、ネットワーク変数が電流（ループ解析）または電圧（ノード解析）のいずれかに関して均質であるネットワーク方程式のセットが開発されます。このようにして得られたネットワーク変数のセットは、独立した方程式のセットを形成するために必ずしも必要最小限のものではありません。ループ解析とノード解析では変数の数に違いがある場合があります。均質性の要件を緩和し、電流変数と電圧変数の混合を許容すれば、可能な最小数はこれらのどちらよりも少なくなる場合があります。1967年の岸と片地による結果^{[注6 ]}は、ネットワークの挙動を記述するために必要な絶対最小の変数の数は、ネットワークグラフの任意の2つのスパニングフォレスト[注8]間の最大^{距離[注7 ]によって与え}られるということです。^{[ 47 ]}

グラフ理論はネットワーク合成に適用できます。古典的なネットワーク合成では、必要なネットワークをいくつかの標準形式のいずれかで実現します。標準形式の例としては、Cauer の標準ラダーネットワークまたは Foster の標準形式による駆動点インピーダンスの実現、または Brune による正実関数からのイミタンスの実現などがあります。一方、トポロジー的手法は、与えられた標準形式から始めるわけではありません。むしろ、形式は数学的表現の結果です。一部の標準形式では、実現のために相互インダクタンスが必要です。ネットワーク合成のトポロジー的手法の主な目的は、これらの相互インダクタンスの必要性を排除することです。トポロジーから得られた定理の 1 つは、相互結合のない駆動点インピーダンスの実現が最小となるのは、すべてインダクタまたはすべてキャパシタのループがない場合のみであるということです。^{[ 52 ]}

グラフ理論は、ネットワークの要素が実数（抵抗ネットワークなどの1要素ネットワーク）またはバイナリ状態（スイッチングネットワークなど）で表現できる場合に、ネットワーク合成において最も強力になります。^{[ 47 ]}

おそらく、研究対象となった無限グラフを持つネットワークの中で最も初期のものは、 1881年にオリバー・ヘヴィサイドによって最終的な形で開発された、送電線を表すために使用されたラダーネットワークでしょう。確かに、無限ネットワークに関する初期の研究はすべて、同じ要素が何度も繰り返されるラダーやグリッドなどの周期的な構造に限定されていました。任意のトポロジーを持つ無限ネットワークを解析するためのツールが利用可能になったのは、20世紀後半になってからのことです。^{[ 53 ]}

無限ネットワークは、主に理論的な興味の対象であり、数学者の遊び道具である。現実世界の制約を受けない無限ネットワークは、非常に非物理的な特性を持つことがある。例えば、キルヒホッフの法則が成り立たない場合があり、無限抵抗ラダーを定義すると、駆動点インピーダンスが無限遠での終端に依存する。理論上の無限ネットワークのもう1つの非物理的な特性は、オームの法則やキルヒホッフの法則などの通常のネットワーク法則に加えて制約が課されない限り、一般に無限の電力を消費するということである。しかし、現実世界での応用例もいくつかある。伝送線路の例は、微小要素（分布要素モデル）でモデル化できる実用的な問題のクラスの1つである。その他の例としては、連続媒体への波の発射、フリンジフィールドの問題、基板の点間またはボーリング孔内の抵抗の測定などがある。^{[ 54 ]}

超限ネットワークは、無限ネットワークの概念をさらに拡張したものです。無限ネットワークの端にあるノードには、別のネットワークにつながる別の枝が接続されています。この新しいネットワーク自体も無限になることがあります。したがって、ノード間に有限のパスが存在しないノードのペアを持つトポロジーを構築できます。このような無限ネットワークのネットワークは、超限ネットワークと呼ばれます。^{[ 55 ]}