電子フィルタトポロジー

電子フィルタトポロジは、使用されるコンポーネントの値ではなく、それらのコンポーネントの接続方法のみを考慮して 電子フィルタ回路を定義します。

フィルタ設計では、フィルタ回路は主にトポロジではなく伝達関数によって特徴付けられます。伝達関数は線形または非線形です。線形フィルタの伝達関数の一般的なタイプは、ハイパス、ローパス、バンドパス、バンドリジェクトまたはノッチ、およびオールパスです。フィルタの伝達関数を選択したら、そのようなプロトタイプ フィルタを実装するための特定のトポロジを選択できます。たとえば、Sallen-Key トポロジを使用してButterworth フィルタを設計することを選択できます。

フィルタ トポロジは、パッシブ タイプとアクティブタイプに分けられます。パッシブ トポロジは、抵抗器、コンデンサ、インダクタなどのパッシブ コンポーネントのみで構成されます。アクティブ トポロジには、電力を必要とするアクティブ コンポーネント(トランジスタ、オペアンプ、その他の集積回路など) も含まれます。さらに、トポロジは、アンバランス形式またはバランス回路で使用されるバランス形式のいずれかで実装できます。電子ミキサーやステレオ サウンドなどの実装では、同一回路の配列が必要になる場合があります。

パッシブ フィルタは、長年にわたり開発され、使用されてきました。そのほとんどは、「セクション」と呼ばれる単純な2 ポート ネットワークから構築されています。セクションには、少なくとも 1 つの直列コンポーネントと 1 つのシャント コンポーネントが必要であることを除いて、正式な定義はありません。セクションは、常に「カスケード」または「デイジー チェーン」トポロジで接続され、同じセクションの追加コピーまたは完全に異なるセクションで構成されます。直列および並列インピーダンスの規則により、直列コンポーネントまたはシャント コンポーネントのみで構成される 2 つのセクションが 1 つのセクションに結合されます。

1 つまたは 2 つのフィルタ セクションのみで構成されるパッシブ フィルタには、アンバランス フィルタである L セクション、T セクション、Π セクション、およびバランス フィルタである C セクション、H セクション、およびボックス セクションなど、特別な名前が付けられています。これらはすべて、非常に単純な「ラダー」トポロジに基づいて構築されています (以下を参照)。このページの下部にある表は、一般的な定数 k フィルタの観点からこれらのさまざまなトポロジを示しています。

ネットワーク合成を使用して設計されたフィルターは、通常、最も単純な形式の L セクション トポロジを繰り返しますが、各セクションでコンポーネント値が変わることがあります。 一方、イメージ設計のフィルターは、トポロジが変わることがあっても、セクション間で同じ基本的なコンポーネント値を維持し、より複雑なセクションを使用する傾向があります。

L セクションは決して対称ではありませんが、背中合わせの 2 つの L セクションは対称的なトポロジを形成し、他の多くのセクションも対称的な形状になります。

ラダー トポロジーは、ウィルヘルム カウアー(楕円フィルターの発明者)にちなんでカウアー トポロジーと呼ばれることが多く、実際にはジョージ キャンベル(定数 k フィルターの発明者) によって初めて使用されました。キャンベルは 1922 年に発表しましたが、明らかにそれより以前からこのトポロジーを使用していました。カウアーは、フォスター (1924 年) の研究に触発されて、最初にラダー (1926 年発表) を採用しました。基本的なラダー トポロジーには、アンバランス型とバランス型の 2 つの形式があります。カウアー トポロジーは通常、アンバランス型ラダー トポロジーと考えられています。

ラダー ネットワークは、カスケード接続された非対称の L セクション (不平衡) または C セクション (平衡) で構成されます。ローパス形式では、トポロジーは直列インダクターとシャント コンデンサーで構成されます。他のバンド形式では、ローパス トポロジーから変換された同様に単純なトポロジーになります。変換されたネットワークには、開始ネットワークで直列インピーダンスがデュアルであった場合 (直列インダクターとシャント コンデンサーの場合)、直列インピーダンスの デュアル ネットワークであるシャント アドミタンスがあります。

画像フィルタの設計では、一般的に基本的なラダートポロジーの修正版が使用されます。Otto Zobel ^[1]によって発明されたこれらのトポロジーは、ベースとなるラダーと同じ通過帯域を持ちますが、インピーダンス整合、阻止帯域除去、通過帯域から阻止帯域への遷移の急峻さなどのパラメータを改善するために伝達関数が変更されます。通常、設計では単純なラダートポロジーに何らかの変換が適用されます。結果として得られるトポロジーはラダー状ですが、シャントアドミタンスが直列インピーダンスのデュアルネットワークであるという規則に従わなくなり、コンポーネント数が増えるにつれて必ず複雑になります。このようなトポロジーには以下が含まれます。

• m派生フィルタ
• mm'型フィルター
• 一般的な_mn型フィルタ

m タイプ (m 導出) フィルタは、これまでのところ最も一般的に使用されている修正イメージ ラダー トポロジです。各基本ラダー トポロジには、直列導出トポロジとシャント導出トポロジの 2 つの m タイプ トポロジがあります。これらは伝達関数は互いに同一ですが、イメージ インピーダンスが異なります。フィルタが複数の通過帯域で設計されている場合、m タイプ トポロジにより、各通過帯域が類似の周波数領域応答を持つフィルタになります。互いに等しくないパラメータ m ₁、 m ₂、 m ₃などを使用して、複数の通過帯域を持つフィルタに m タイプ トポロジを一般化することができます。その結果、周波数スペクトルのさまざまな部分で異なるバンドフォームを持つ 一般的な m _nタイプ^{[2]フィルタが得られます。}

mm' タイプのトポロジは、ダブル m タイプ設計と考えることができます。m タイプと同様に、同じバンドフォームを持ちますが、伝達特性がさらに向上しています。ただし、コンポーネント数が増えて複雑になり、インピーダンス整合の理由から、通常は同じフィルターに基本的なラダーと m タイプ セクションが必要になるため、めったに使用されない設計です。通常は複合フィルターでのみ使用されます。

Zobel定抵抗フィルタ^[3]は、他のフィルタタイプとは若干異なるトポロジーを使用しており、すべての周波数で一定の入力抵抗を持ち、セクションの設計に抵抗コンポーネントを使用している点で異なります。これらの設計ではコンポーネントとセクションの数が多いため、通常はイコライゼーションアプリケーションにのみ使用されます。定抵抗フィルタに関連付けられるトポロジーは、ブリッジTとそのバリエーションであり、すべてZobelネットワークの記事で説明されています。

• ブリッジTトポロジ
• バランスブリッジTトポロジ
• オープン回路Lセクショントポロジー
• 短絡Lセクショントポロジー
• バランス型オープンサーキットCセクショントポロジー
• バランス型短絡Cセクショントポロジー

ブリッジ T トポロジは、信号遅延を生成するセクションにも使用されますが、この場合、設計に抵抗コンポーネントは使用されません。

Tセクション（ラダートポロジー）とブリッジT（ゾベルトポロジー）はどちらもラティストポロジーのフィルタセクションに変換できますが、どちらの場合も部品数が多く複雑になります。ラティスフィルタ（Xセクション）の最も一般的な用途は、位相イコライゼーションに使用されるオールパスフィルタです。^[4]

T セクションとブリッジ T セクションは常に X セクションに変換できますが、変換時に負のインダクタンス値と静電容量値が発生する可能性があるため、逆は必ずしも可能ではありません。

ラティス トポロジは、より一般的なブリッジ トポロジと同一であり、違いは単にページ上に描かれた表現であり、トポロジ、回路、または機能の実際の違いではありません。

多重フィードバックトポロジーは、伝達関数に 2 つの極を追加して電子フィルタを実装するために使用される電子フィルタトポロジーです。 2 次ローパスフィルタの回路トポロジーの図を右の図に示します。

すべての 2 次線形フィルタと同様に、多重フィードバック トポロジ回路の伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}}{V_{i}}}=-{\frac {1}{As^{2}+Bs+C}}={\frac {K{\omega _{0}}^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+{\omega _{0}}^{2}}}}$。

MFフィルターでは、

${\displaystyle A=(R_{1}R_{3}C_{2}C_{5})\,}$

${\displaystyle B=R_{3}C_{5}+R_{1}C_{5}+R_{1}R_{3}C_{5}/R_{4}\,}$

${\displaystyle C=R_{1}/R_{4}\,}$

${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {R_{3}R_{4}C_{2}C_{5}}}{(R_{4}+R_{3}+|K|R_{3})C_{5}}}}$Q係数です。

${\displaystyle K=-R_{4}/R_{1}\,}$DC電圧ゲイン

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}=1/{\sqrt {R_{3}R_{4}C_{2}C_{5}}}}$コーナー周波数は

目的のフィルタ特性を実現するために適切なコンポーネント値を見つけるには、代替の Sallen-Key トポロジの 設計上の選択セクションと同様のアプローチに従うことができます。

バイクワッド フィルターのデジタル実装については、「デジタル バイクワッド フィルター」を参照してください。

バイカッドフィルタは、2つの2次関数の比である伝達関数を実装する線形フィルタの一種です。バイカッドという名前は、バイカッドの略です。MFBやサレンキーなど、2次フィルタトポロジはすべてバイカッドと呼ばれます。 ^{[5] [6]} ただし、特定の「バイカッド」トポロジも存在します。これは、「リングオブ3」回路と呼ばれることもあります。^{[引用が必要]}

バイカッド フィルタは通常アクティブであり、シングル アンプ バイカッド (SAB)または2 つの積分ループトポロジを使用して実装されます。

• SAB トポロジーは、フィードバックを使用して複素 極と場合によっては複素ゼロを生成します。特に、フィードバックはRC 回路の実数極を移動して、適切なフィルタ特性を生成します。
• 2 つの積分ループ トポロジは、双二次伝達関数の並べ替えから派生します。並べ替えにより、1 つの信号が、別の信号、その積分、および積分の積分の合計と等しくなります。言い換えると、並べ替えにより状態可変フィルタ構造が明らかになります。異なる状態を出力として使用することで、あらゆる種類の 2 次フィルタを実装できます。

SAB トポロジはコンポーネントの選択に敏感で、調整がより困難になる可能性があります。そのため、通常、バイクワッドという用語は、2 つの積分ループ状態変数フィルタ トポロジを指します。

たとえば、図 1 の基本構成は、出力信号がどこから取得されるかに応じて、 ローパスフィルタまたはバンドパスフィルタとして使用できます。

2次のローパス伝達関数は次のように表される。

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{\mathrm {lpf} }{\omega _{0}}^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+{\omega _{0}}^{2}}}}$

ここでローパスゲインはである。2次のバンドパス伝達関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle G_{\mathrm {lpf} }=-R_{2}/R_{1}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{\mathrm {bpf} }{\frac {\omega _{0}}{Q}}s}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+{\omega _{0}}^{2}}}}$。

バンドパスゲインを持つ。どちらの場合も、 ${\displaystyle G_{\mathrm {bpf} }=-R_{3}/R_{1}}$

• 固有振動数は です 。${\displaystyle \omega _{0}=1/{\sqrt {R_{2}R_{4}C_{1}C_{2}}}}$
• 品質係数は です 。${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {{R_{3}}^{2}C_{1}}{R_{2}R_{4}C_{2}}}}}$

帯域幅は で近似され、Q は減衰定数として表されることもあります。非反転ローパス フィルタが必要な場合は、2 番目の積分器とインバータの順序を入れ替えた後、2 番目のオペアンプの出力で出力を得ることができます。非反転バンドパス フィルタが必要な場合は、2 番目の積分器とインバータの順序を入れ替え、インバータのオペアンプの出力で出力を得ることができます。 ${\displaystyle B=\omega _{0}/Q}$ ${\displaystyle \zeta =1/2Q}$

図 2 は、アクティブに補正されたミラー積分器を使用してフィルタのパフォーマンスを向上させる、Akerberg-Mossberg トポロジとして知られる Tow-Thomas トポロジのバリエーションを示しています。

Sallen-Key 設計は、高 Q および通過帯域ゲインのオプションを備えた非反転 2 次フィルタです。

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