グレブナー基礎

グレブナー基底は主に多項式環のイデアルに対して定義される。${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$体K上で。この理論は任意の体に対して有効ですが、ほとんどのグロブナー基底の計算は、 Kが有理数体または素数を法とする整数体の場合に行われます。

グレブナー基底の文脈では、${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$一般的には合計として表される${\displaystyle c_{1}M_{1}+\cdots +c_{m}M_{m},}$どこで${\displaystyle c_{i}}$はKの非ゼロ要素であり、係数と呼ばれ、${\displaystyle M_{i}}$は、次の形式の単項式（ブッフベルガーと彼の追随者の一部は冪積と呼んだ）である。${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}},}$どこで${\displaystyle a_{i}}$は非負整数です。ベクトル${\displaystyle A=[a_{1},\ldots ,a_{n}]}$これは単項式の指数ベクトルと呼ばれます。リストが${\displaystyle X=[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$変数の数が固定されている場合、単項式の表記はしばしば次のように略記されます。$\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}=X^{A}.}$

単項式は指数ベクトルによって一意に定義され、単項式の順序（下記参照）が固定されている場合、多項式は指数ベクトルと対応する係数によって形成される順序対の順序付きリストによって一意に表現されます。この多項式の表現は、コンピュータにおけるグレブナー基底の計算には特に効率的ですが、多項式の因数分解や多項式の最大公約数などの他の計算にはあまり適していません。

もし${\displaystyle F=\{f_{1},\ldots ,f_{k}\}}$は多項式環Rの有限多項式集合であり、Fによって生成されるイデアルは、 Rの係数を持つFの要素の線形結合の集合です。つまり、次のように書ける多項式の集合です。$\sum_{i=1}^{kg}g_{i}f_{i}}$と${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}\in R.}$

グレブナー基底に関連するすべての演算では、乗算との互換性に関する以下の特性を持つ単項式の全順序を選択する必要があります。すべての単項式M、N、P、

1. ${\displaystyle M\leq N\Longleftrightarrow MP\leq NP}$
2. ${\displaystyle M\leq MP}$。

これらの条件を満たす全順序は、許容順序と呼ばれることがある。

これらの条件は、順序が整列順序であることを意味する。つまり、単項式の厳密に減少する列はすべて有限である。

グレブナー基底理論は許容される単項式の順序の特定の選択に依存しないが、次の3つの単項式の順序は特に応用上重要である。

• 辞書式順序付けは、一般的にlexまたはplex（純粋な辞書式順序付けの場合）と呼ばれます。
• 総次数逆辞書式順序、一般にデグレブレックスと呼ばれる。
• 消去順序、lexdeg。

グレブナー基底理論は、当初は辞書式順序付けのために導入されました。しかし、degrevlex のグレブナー基底はほとんどの場合計算がはるかに容易であり、また、まず degrevlex 基底を計算してから「順序変更アルゴリズム」を使用することで、lex グレブナー基底を計算する方がほとんどの場合容易であることがすぐに認識されました。消去が必要な場合、degrevlex は不便です。lex と lexdeg の両方を使用できますが、やはり多くの計算は lexdeg では比較的容易ですが、lex ではほとんど不可能です。

単項式の順序付けに関して多項式を他の多項式で簡約することは、グロブナー基底理論の中心です。これは、ガウス消去法で発生する行簡約と、一変数多項式のユークリッド除法の除算ステップ の両方の一般化です。^{[ 1 ]}可能な限り完了すると、結果は一意に定義されませんが、多変数除算と呼ばれることもあります。

リード縮約は、計算が容易な縮約の特殊なケースです。これはグレブナー基底の計算において基本となるものであり、一般的な縮約は、非縮約グレブナー基底から縮約グレブナー基底を得るために、グレブナー基底の計算の最後にのみ必要となります。

この節で発生するすべての単項式比較は、許容される単項式の順序付けに従うものとする。

多項式f は、別の多項式gによってリード還元可能であるとは、f の先頭の単項式lm( f )がlm( g )の倍数である場合をいう。多項式fは、 fの何らかの単項式がlm( g )の倍数である場合に、 gによって還元可能である。（したがって、fがgによってリード還元可能であれば、f は還元可能であるが、f はリード還元可能でなくても還元可能である場合がある。）

fがgによって還元可能であると仮定し、単項式m がlm( g )の倍数となるようなfの項をcmとする。fをgによって一段階還元するとは、fをで置き換えることである。

${\displaystyle \operatorname {red} _{1}(f,g)=f-{\frac {c}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {m}{\operatorname {lm} (g)}}\,g.}$

この操作では、 fから単項式mを取り除きますが、 mより大きい単項式を持つ項は変更しません(単項式の順序のため)。特に、fの1 段階リード還元を行うと、すべての単項式がlm( f )より小さい多項式が生成されます。

多項式の有限集合Gが与えられたとき、 f がGの少なくとも 1 つの要素gによってそれぞれ還元可能またはリード還元可能である場合、fはGによって還元可能またはリード還元可能であると言う。この場合、 fのGによる1 段階還元 (または 1 段階リード還元)は、 fのGの要素による任意の 1 段階還元 (または 1 段階リード還元) である。

Gによるfの（完全）還元（またはリード還元）は、Gによって既約（またはリード既約）な多項式が得られるまで、1 段階還元（または 1 段階リード還元）を繰り返すことによって行われます。これは、Gによるfの標準形と呼ばれることもあります。一般に、f を還元するために使用できるGの要素が複数存在するため、この形式は一意に定義されません。この一意性の欠如が、グレブナー基底理論の出発点となっています。

還元の定義から、h がGによるfの正規形である場合、次のことがすぐにわかります。

${\displaystyle f=h+\sum _{g\in G}q_{g}\,g,}$

ここでhはGによって既約であり、${\displaystyle q_{g}}$は、${\displaystyle \operatorname {lm} (q_{g}\,g)\leq \operatorname {lm} (f).}$単変数多項式の場合、Gが単一の要素gから構成されるならば、hはfをgで割ったユークリッド除算の剰余であり、qg_は商である。さらに、除算アルゴリズムはまさにリード還元プロセスである。このため、一部の著者は還元の代わりに多変数除算という用語を用いる。

単項式の順序が与えられた場合、 2 つの多項式fとgのS 多項式または 臨界ペアは多項式です。

${\displaystyle S(f,g)=\operatorname {red} _{1}(\mathrm {lcm} ,g)-\operatorname {red} _{1}(\mathrm {lcm} ,f)}$;

ここで、lcm はfとgの先頭単項式の最小公倍数を表します。${\displaystyle \operatorname {red} _{1}}$これは次のように翻訳されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}S(f,g)&=\left(\mathrm {lcm} -{\frac {1}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (g)}}\,g\right)-\left(\mathrm {lcm} -{\frac {1}{\operatorname {lc} (f)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (f)}}\,f\right)\\&={\frac {1}{\operatorname {lc} (f)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (f)}}\,f-{\frac {1}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (g)}}\,g\\\end{aligned}}.}$

最小公倍数と最大公約数の関係性を用いると、S多項式は次のように表すこともできます。

${\displaystyle S(f,g)={\frac {1}{\operatorname {lc} (f)}}\,{\frac {\operatorname {lm} (g)}{\mathrm {gcd} }}\,f-{\frac {1}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {\operatorname {lm} (f)}{\mathrm {gcd} }}\,g;}$

ここで、gcd はfとgの先頭の単項式の最大公約数を表します。

fとgの両方で簡約可能な単項式は、ちょうどlcmの倍数であるため、 S多項式のみを考慮することで、簡約の一意性が存在しないすべてのケースに対処できます。これは、グロブナー基底理論およびそれらを計算するすべてのアルゴリズムにとって基本的な事実です。

整数係数を持つ多項式を扱う際に分数を避けるために、S多項式はしばしば次のように定義されます。

${\displaystyle S(f,g)=\operatorname {lc} (g)\,{\frac {\operatorname {lm} (g)}{\mathrm {gcd} }}\,f-\operatorname {lc} (f)\,{\frac {\operatorname {lm} (f)}{\mathrm {gcd} }}\,g;}$

これは、2 つの多項式が関連しているため、理論には何ら変更を加えません。

許容されるすべての単項式順序と、すべての有限多項式集合Gに対して、 Gを含み、かつ同じイデアルを生成するグレブナー基底が存在する。さらに、このようなグレブナー基底はブッフベルガーのアルゴリズムを用いて計算することができる。

このアルゴリズムは条件4を使用し、おおよそ次のように進行します。Gの任意の2つの要素について、それらのS多項式のGによる完全な還元を計算し、結果がゼロでない場合はGに追加します。最終的にすべての還元がゼロになるまで、新しいGの要素を含めてこの操作を繰り返します。

このアルゴリズムは、ディクソンの補題、または多項式環がネーター環であること（ヒルベルトの基底定理）により、必ず終了します。条件4は、結果がグロブナー基底であることを保証し、 S多項式と簡約の定義により、生成されたイデアルが変更されないことが保証されます。

上記の方法は、グレブナー基底を計算するためのアルゴリズムですが、非常に非効率的です。オリジナルのブッフベルガーのアルゴリズムの多くの改良版や、その他いくつかのアルゴリズムが提案され、実装されており、効率が劇的に向上しています。詳しくは、下記の「アルゴリズムと実装」の項 を参照してください。

グロブナー基底は最小のグレブナー基底とは、その要素のすべての主単項式が基底の他の要素によって既約でない場合を指します。イデアルI、I。ただし、基底の 2 つの多項式が同じ主単項式を持つ場合は、一方だけを取り除けばよいことになります。したがって、すべてのグレブナー基底は、部分集合として最小グレブナー基底を含みます。

与えられたイデアルのすべての最小グレブナー基底（固定された単項式の順序付けの場合）は、同じ数の要素と、同じ先頭の単項式を持ち、非最小グレブナー基底は最小グレブナー基底よりも多くの要素を持つ。

グロブナー基底は基底に含まれるすべての多項式が基底の他の要素によって既約でなく、1である場合、それは縮約されているということになる。したがって、すべての縮約されたグレブナー基底は最小基底であるが、最小グレブナー基底は必ずしも縮約されている必要はない。

イデアルIの Gröbner 基底が与えられた場合、 Iの縮約 Gröbner 基底は、まず基底の他の要素によって主項が簡約可能な多項式を取り除き (最小基底を得るため)、次に基底の各要素を基底の他の要素による完全な簡約の結果で置き換え、最後に基底の各要素をその主項係数で割ることによって得られます。

（固定された単項式順序付けにおける）イデアルのすべての縮約グレブナー基底は等しい。したがって、2つのイデアルが等しいのは、それらが同じ縮約グレブナー基底を持つ場合のみである。

場合によっては、主要係数に関する条件なしに、簡約グレブナー基底が定義されることがあります。この場合、簡約グレブナー基底の一意性は、多項式と非ゼロ定数の乗算を除いてのみ成り立ちます。

体上の多項式を扱う場合${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数の場合、整数係数の多項式のみを扱うのが便利です。この場合、縮約基底の定義における最高次係数に関する条件は、基底のすべての要素が正の最高次係数を持つ整数係数の原始多項式であるという条件に置き換えることができます。これにより、縮約基底の一意性が回復されます。

任意の単項式順序に対して、多項式の空集合は零イデアルの唯一のグロブナー基底である。

単項式の順序付けごとに、非ゼロ定数を含む多項式の集合は、単位イデアル（多項式環全体）のグレブナー基底となる。逆に、単位イデアルのすべてのグレブナー基底は非ゼロ定数を含む。単位の縮約グレブナー基底は、単一の多項式1によって形成される。

1変数多項式の場合、許容される単項式の順序は一意であり、次数による順序付けです。最小グレブナー基底は、単一の多項式からなるシングルトンです。縮約グレブナー基底は、単項式多項式です。

縮約グレブナー基底は、任意のイデアルと任意の単項式の順序に対して一意に定まります。したがって、2つのイデアルが等しいのは、それらが同じ（縮約）グレブナー基底を持つ場合のみです（通常、グレブナー基底ソフトウェアは常に縮約グレブナー基底を生成します）。

多項式fをイデアルIのGröbner 基底Gで還元すると、 f がIに含まれる場合に限り 0 になります。これにより、要素がイデアルに属しているかどうかをテストできます。別の方法としては、 G ∪{ f }の Gröbner 基底がGと等しいことを検証する方法があります。

f ₁ , ..., f _kによって生成されるイデアルI がイデアルJに含まれているかどうかをテストするには、すべてのf _IがJに含まれていることをテストすれば十分です。また、 JとJ ∪ { f ₁ , ..., f _k }の縮約グレブナー基底が等しいかどうかをテストすることもできます。

任意の多項式の集合は、多項式をゼロに等しくすることで、多項式方程式のシステムとして見なすことができます。このようなシステムの解の集合は、生成されたイデアルのみに依存するため、与えられた生成集合を、生成されたイデアルの任意の順序付けのグロブナー基底に置き換えても変化しません。このような解は、多項式の係数を含む代数的に閉じた体上の座標を持ち、イデアルの零点と呼ばれます。通常、有理係数の場合、この代数的に閉じた体は複素体として選択されます。

イデアルがゼロを持たない（方程式系が矛盾している）のは、1 がそのイデアルに属する場合（これはヒルベルトのヌルシュテルンザッツである）、または同等に、そのグレブナー基底（任意の単項式順序に対して）が 1 を含む場合、または対応する縮約グレブナー基底が [1] である場合に限る。

イデアルIのグレブナー基底Gが与えられたとき、G が有限個の零点を持つのは、各変数xに対して、G の先頭単項式がxのべき乗である多項式（先頭項に他の変数が出現しない）を含む場合に限る。この場合、重複度を考慮して数えた零点の数は、 Gのどの先頭単項式の倍数でもない単項式の数に等しい。この数をイデアルの次数と呼ぶ。

零点の数が有限の場合、辞書式単項式順序付けのグレブナー基底は、理論的には解を提供します。解の最初の座標は、基底の多項式のうち、最初の変数のみに依存する多項式の最大公約数の根です。この根を基底に代入すると、この解の2番目の座標は、結果として得られる多項式のうち、2番目の変数のみに依存する多項式の最大公約数の根となり、以下同様です。この解法は理論上のものに過ぎません。なぜなら、近似係数を持つ多項式の最大公約数の計算と根の探索が必要となり、数値的な不安定性のため実用的ではないからです。そのため、グレブナー基底を用いて多項式系を解くための他の方法が開発されています（詳細は「多項式方程式系」を参照）。

多項式環RにおけるイデアルIの次元は、環R / Iのクルル次元であり、 Iの零点の代数集合の次元に等しい。また、この次元は、代数集合と交わるために必要な一般位置にある超平面の数にも等しく、その交点は有限個の点である。イデアルおよびそれに関連する代数集合の次数は、この有限交点の数を重複度を考慮して数えたものである。特に、超曲面の次数は、その定義多項式の次数に等しい。

次元は、任意の単項式順序付けにおいて、イデアルのグレブナー基底の主単項式の集合のみに依存します。次数および次数適合単項式順序付けについても同様です。次数が小さいほど単項式順序付けも小さくなる場合、その単項式順序付けは次数適合であると言えます。

次元とは、変数のサブセットSの最大サイズであり、 Sに含まれる変数のみに依存する主単項式が存在しないようなサイズのことです。したがって、イデアルの次元が 0 であれば、各変数xに対して、グロブナー基底にはxのべき乗である主単項式が存在します。

次元と次数はどちらも、イデアルのヒルベルト級数から導き出すことができ、それは次の級数である。${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }d_{i}t^{i}}$、 どこ${\displaystyle d_{i}}$は、グレブナー基底のどの主単項式の倍数でもない次数iの単項式の数である。 ^{[ 4 ]}ヒルベルト級数は有理数にまとめることができる。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }d_{i}t^{i}={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}},}$

ここでdは理想の次元であり、${\displaystyle P(t)}$は多項式です。${\displaystyle P(1)}$は、同次イデアルまたは次数と互換性のある単項式の順序付けの場合、イデアルによって定義される代数集合の次数です。つまり、2 つの単項式を比較するには、まずそれらの合計次数を比較します。

次元は単項式の順序の選択に依存しないが、ヒルベルト級数と多項式${\displaystyle P(t)}$単項式の順序が変わると変化する可能性があります。ただし、次数と互換性のある同次イデアルまたは単項式の順序の場合、ヒルベルト級数と多項式${\displaystyle P(t)}$単項式の順序の選択に依存しない。^{[ 5 ]}

グレブナー基底を計算する関数を提供するほとんどの数式処理システムは、ヒルベルト級数を計算する関数も提供しており、それによって次元と次数も計算できる。

消去単項式順序付けに対するグレブナー基底の計算は、計算消去理論を可能にする。これは次の定理に基づいている。

多項式環を考える${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}]=K[X,Y],}$ここでは、変数がXとYの 2 つの部分集合に分割されます。また、X を「消去」する消去単項式順序、つまり、2 つの単項式を最初にX部分を比較し、等しい場合にのみY部分を考慮する単項式順序を選択します。これは、 X変数を含む単項式は、Xに依存しないすべての単項式よりも大きいことを意味します。Gがこの単項式順序のイデアルIの Gröbner 基底である場合、${\displaystyle G\cap K[Y]}$は、${\displaystyle I\cap K[Y]}$（この理想はしばしば消去理想と呼ばれる。）さらに、${\displaystyle G\cap K[Y]}$これは、 Gの多項式のうち、その先頭項がK [ Y ]に属するものだけで構成されています(これにより、計算は${\displaystyle G\cap K[Y]}$非常に簡単です。先頭の単項式だけをチェックすればよいからです。

この消去法の性質には多くの応用例があり、そのいくつかは次のセクションで説明する。

代数幾何学における別の応用例として、消去法はアフィン代数集合を周囲空間の部分空間に射影する幾何学的演算を実現する。上記の記法を用いると、イデアルIで定義される代数集合のY部分空間への射影の（ザリスキー閉包）は、イデアルによって定義される。${\displaystyle I\cap K[Y].}$

辞書式順序付けによって${\displaystyle x_{1}>\cdots >x_{n}}$は各パーティションに対する消去順序である${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{k}\},\{x_{k+1},\ldots ,x_{n}\}.}$したがって、この順序付けのためのグレブナー基底は、通常必要とされる情報よりもはるかに多くの情報を含んでいる。これが、辞書式順序付けのためのグレブナー基底の計算が通常最も難しい理由を説明しているのかもしれない。

IとJがそれぞれ { f ₁ , ..., f _m } と { g ₁ , ..., g _k } によって生成される 2 つのイデアルである場合、単一の Gröbner 基底計算によって、それらの共通部分I ∩ Jの Gröbner 基底が得られます。このために、新しい不定元tを導入し、最初のブロックにtのみを含め、他のブロックに他のすべての変数を含めるような消去順序を使用します (これは、 tを含む単項式が、t を含まないすべての単項式よりも大きいことを意味します)。この単項式の順序付けにより、 I ∩ Jの Gröbner 基底は、イデアルの Gröbner 基底においてtを含まない多項式で構成されます。

${\displaystyle K=\langle tf_{1},\ldots ,tf_{m},(1-t)g_{1},\ldots ,(1-t)g_{k}\rangle .}$

言い換えれば、I ∩ JはKからt を消去する ことによって得られる。これは、イデアルKが多項式から構成されていることを観察することで証明できる。${\displaystyle (a-b)t+b}$そのため${\displaystyle a\in I}$そして${\displaystyle b\in J}$このような多項式は、 a = bの場合に限りtに依存しない。つまり、${\displaystyle b\in I\cap J.}$

有理曲線とは、次の形式の媒介変数方程式を持つ代数曲線である。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {f_{1}(t)}{g_{1}(t)}}\\&\;\;\vdots \\x_{n}&={\frac {f_{n}(t)}{g_{n}(t)}},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle f_{i}(t)}$そして${\displaystyle g_{i}(t)}$は 1 ≤ i ≤ nの単変数多項式である。${\displaystyle f_{i}(t)}$そして${\displaystyle g_{i}(t)}$互いに素である（定数以外の共通因数を持たない）。

陰関数化とは、このような曲線の陰関数方程式を計算することです。n = 2、つまり平面曲線の場合、これは結果式を用いて計算できます。陰関数方程式は次の結果式です。

${\displaystyle {\text{Res}}_{t}(g_{1}x_{1}-f_{1},g_{2}x_{2}-f_{2}).}$

グロブナー基底による消去により、 nの任意の値に対して、イデアル中の t を消去するだけで暗黙化できます。${\displaystyle \langle g_{1}x_{1}-f_{1},\ldots ,g_{n}x_{n}-f_{n}\rangle .}$n = 2 の場合、結果は結果と同じになります。${\displaystyle t\mapsto (x_{1},x_{2})}$ほぼすべてのtに対して単射である。もう一方のケースでは、結果は消去の結果のべき乗となる。

問題を多項式方程式でモデル化する場合、退化ケースを避けるために、いくつかの量がゼロでないと仮定されることがよくあります。たとえば、三角形を扱う場合、三角形が線分に退化すると（つまり、1辺の長さが他の辺の長さの合計に等しくなると）、多くの性質が成り立たなくなります。このような状況では、退化解を無視しない限り、多項式系から関連情報を導き出すことはできません。より正確には、方程式系は複数の既約成分を持つ可能性のある代数集合を定義し、退化条件が常にゼロとなる成分を取り除く必要があります。

これは、縮退条件によって方程式を飽和させることによって行われ、これはグロブナー基底の消去特性を介して行うことができます。

ヒルベルトの零点定理には2つのバージョンがある。1つ目は、係数体の代数的閉包上で多項式の集合が共通零点を持たないのは、1が生成されたイデアルに属する場合に限る、という主張である。これは、任意の単項式の順序付けにおいて、1がイデアルに属するのは、1がそのイデアルのグレブナー基底に属する場合に限るため、グレブナー基底の計算によって容易に検証できる。

2番目のバージョンでは、イデアルの共通零点の集合（係数体の代数的閉包内）が多項式fの零点の超曲面に含まれるのは、 fのべき乗がそのイデアルに属する場合に限ると主張しています。これは、イデアルをfで飽和させることで検証できます。実際、fのべき乗がそのイデアルに属するのは、 fによる飽和によって1 を含む Gröbner 基底が得られる場合に限ります。

定義により、次元kのアフィン有理多様体は、次の形式のパラメトリック方程式で記述できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {p_{1}}{p_{0}}}\\&\;\;\vdots \\x_{n}&={\frac {p_{n}}{p_{0}}},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle p_{0},\ldots ,p_{n}}$k個の変数（パラメータ化のパラメータ）に関するn +1個の多項式である。${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}.}$したがって、パラメータは${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$そして座標${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$多様体の点のうち、イデアルの零点は

${\displaystyle I=\left\langle p_{0}x_{1}-p_{1},\ldots ,p_{0}x_{n}-p_{n}\right\rangle .}$

曲線の場合と同様に、パラメータを消去すれば多様体の陰方程式が得られると推測できるかもしれない。残念ながら、これは常に当てはまるわけではない。${\displaystyle p_{i}}$共通の零点（基点と呼ばれることもある）を持ち、空でない代数集合のすべての既約成分は、${\displaystyle p_{i}}$は、 Iによって定義される代数集合の既約成分である。したがって、この場合、 を直接消去すると、${\displaystyle t_{i}}$空の多項式集合を提供します。

したがって、k > 1 の場合、次の式を暗黙的に表現するには 2 つの Gröbner 基底計算が必要です。

1. 飽和させる${\displaystyle I}$による${\displaystyle p_{0}}$グロブナー基礎を得る${\displaystyle G}$
2. 排除する${\displaystyle t_{i}}$から${\displaystyle G}$多様体の（陰方程式の）イデアルのグレブナー基底を得るため。

グレブナー基底は、代数復号のための誤り訂正符号の理論に適用されてきた。さまざまな形式の誤り訂正方程式にグレブナー基底計算を用いることで、巡回符号^{[ 10 ]}、アフィン多様体符号^{[ 11 ] 、代数幾何符号、さらには一般的な線形ブロック符号[ 12 ]}の誤りを訂正するための復号方法が開発された。代数復号におけるグレブナー基底の適用は、依然としてチャネル符号化理論 の研究分野である。