ジャネットの基盤

数学において、ジャネ基底とは、線形同次偏微分方程式（PDE）系の正規形であり、そのような系の固有の恣意性を排除するものである。これは1920年にモーリス・ジャネによって導入された。^{[ 1 ]} 1998年にフリッツ・シュワルツによって初めてジャネ基底と呼ばれた。^{[ 2 ]}

このような方程式系の左辺は環の微分多項式とみなすことができ、ジャネの標準形はそれらが生成するイデアルの特別な基底とみなすことができます。用語の濫用により、この用語は元のシステムと左辺によって生成される微分多項式のイデアルの両方に適用されます。ジャネ基底は、ブルーノ・ブッフベルガー^{[ 3 ]}が多項式イデアルのために導入したグロブナー基底の前身です。任意の線形偏微分方程式系のジャネ基底を生成するには、その導関数の順位付けを提供する必要があります。そうすれば、対応するジャネ基底は一意になります。線形偏微分方程式系がジャネ基底で与えられている場合、その微分次元は容易に決定できます。これは、その一般解の不確定性の度合いの尺度です。線形偏微分方程式系のローウィ分解を生成するには、まずそのジャネ基底を決定する必要があります。

線形同次偏微分方程式のシステムは、非常に非一意です。たとえば、その要素の任意の線形結合をシステムに追加しても、解集合は変わりません。非自明な解が存在するかどうかは、事前にわかりません。より一般的には、その一般解の任意性の程度、つまり、いくつの未定定数または関数が含まれるかはわかりません。これらの疑問がジャネットの研究の出発点でした。彼は、任意の数の従属変数と独立変数の線形偏微分方程式のシステムを考察し、それらの標準形を生成しました。ここでは主に、座標を持つ平面上の線形偏微分方程式を取り上げています。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$考慮されるのは、未知関数の数が 1 つまたは 2 つである。ここで説明されている結果のほとんどは、任意の数の変数または関数に明白な方法で一般化できる。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} 与えられた線形偏微分方程式系の一意の表現を生成するには、まずその導関数の順位を定義する必要がある。

定義：導関数の順位とは、任意の２つの導関数に対して、${\displaystyle \delta }$、$\displaystyle \delta _{1}}$そして $\displaystyle \delta _{2}}$、および任意の導出演算子${\displaystyle \theta }$関係${\displaystyle \delta \leq \theta \delta }$そして ${\displaystyle \delta _{1}\leq \delta _{2}\rightarrow \delta \delta _{1}\leq \delta \delta _{2}}$有効です。

派生$\displaystyle \delta _{2}}$より高い​$\displaystyle \delta _{1}}$もし${\displaystyle \delta _{2}>\delta _{1}}$方程式における最高次の導関数は、その主導関数と呼ばれます。単一関数の2次までの導関数については、${\displaystyle z}$に応じて${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$と${\displaystyle x>y}$2つの可能な順序は

LEXの順序${\displaystyle z_{xx}>z_{xy}>z_{x}>z_{yy}>z_{y}>z}$そしてGRLEXの注文${\displaystyle z_{xx}>z_{xy}>z_{yy}>z_{x}>z_{y}>z}$。

ここでは通常の表記法を用いる。${\displaystyle \partial _{x}z=z_{x},\partial _{y}z=z_{y},\ldots }$が使用されます。関数の数が 1 より大きい場合、これらの順序は適切に一般化する必要があります。たとえば、順序は${\displaystyle TOP}$または${\displaystyle POT}$適用できる。^{[ 7 ]} ジャネット基底を生成する際に適用される最初の基本操作は、方程式の縮約である。${\displaystyle e_{1}}$もう一つについて${\displaystyle e_{2}}$口語的に言えば、これは次のことを意味します。${\displaystyle e_{1}}$の主要誘導体から得られる可能性がある${\displaystyle e_{2}}$適切な微分により、この微分が実行され、結果が減算されます。${\displaystyle e_{1}}$偏微分方程式系に関する簡約とは、その系のすべての要素に関する簡約を意味します。線形偏微分方程式系は、可能なすべての簡約が既に実行されている場合、自己簡約されていると呼ばれます。

ジャネット基底を生成するための 2 番目の基本操作は、積分可能性条件の導入です。これらは次のように得られます。2 つの方程式が${\displaystyle e_{1}}$そして${\displaystyle e_{2}}$適切な微分によって、同じ主導関数を持つ 2 つの新しい方程式が得られ、それらの主係数をクロス乗算して得られた方程式を減算することで新しい方程式が得られるような場合、これを積分可能性条件と呼びます。システムの残りの方程式に関して簡約しても消滅しない場合は、新しい方程式としてシステムに追加されます。

これらの操作を繰り返すと、必ず有限ステップで終了し、入力システムに対するジャネット基底と呼ばれる一意の解が得られることが示される。ジャネットは、これらの操作を以下のアルゴリズムで整理した。

ジャネットのアルゴリズム：線形微分多項式のシステムが与えられた場合 $${\displaystyle S\equiv \{e_{1},e_{2},\ldots \}}$$ジャネットの基底は、${\displaystyle S}$が返されます。

S1: (自動削減) 割り当て${\displaystyle S:=\operatorname {Autoreduce} (S)}$

S2: (完了) 割り当て${\displaystyle S:=\operatorname {CompleteSystem} (S)}$

S3: (積分可能性条件) 先頭項のすべてのペアを見つける${\displaystyle v_{i}}$の${\displaystyle e_{i}}$そして${\displaystyle v_{j}}$の${\displaystyle e_{j}}$非乗数に関する微分${\displaystyle x_{i_{k}}}$乗数 ${\displaystyle x_{j_{1}},\ldots ,x_{j_{l}}}$につながる$${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i_{k}}}}={\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}v_{j}}{\partial x_{j_{1}}^{p_{1}}\cdots \partial x_{j_{l}}^{p_{l}}}}}$$積分可能性条件を決定する$${\displaystyle c_{i,j}=\operatorname {Lcoef} (e_{j})\cdot {\frac {\partial e_{i}}{\partial x_{i_{k}}}}-\operatorname {Lcoef} (e_{i})\cdot {\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{l}}e_{j}}{\partial x_{j_{1}}^{p_{1}}\cdots \partial x_{j_{l}}^{p_{l}}}}}$$

S4: (積分可能性条件の縮小)。すべての${\displaystyle c_{i,j}}$割り当てる${\displaystyle c_{i,j}:=\operatorname {Reduce} (c_{i,j},S)}$

S5: (終了？ ) すべて${\displaystyle c_{i,j}}$ゼロリターン${\displaystyle S}$そうでなければ、課題を行ってください${\displaystyle S:=S\cup \{c_{i,j}\mid c_{i,j}\neq 0\}}$再注文${\displaystyle S}$適切にS1へ移動

ここ$\displaystyle 自動削減$これは、実行可能なすべての削減を行った引数を返すサブアルゴリズムです。${\displaystyle Completion}$積分可能性条件の判定を容易にするため、システムに特定の方程式を追加します。この目的のために、変数は乗数と非乗数に分けられます。詳細は上記の参考文献を参照してください。処理が正常に終了すると、入力システムのJanet基底が返されます。

例1：システムを$${\displaystyle \left\{e_{1}\equiv z_{xy}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}z_{x}-{\frac {x-y}{y^{2}}}z=0,e_{2}\equiv z_{x}+{\frac {1}{x}}z_{y}+xz=0\right\}}$$GRLEXを注文すると、${\displaystyle x>y}$ステップS1は自己縮約システムを返す。

${\displaystyle \left\{e_{3}\equiv z_{yy}+{\frac {1}{y^{2}}}(xy^{3}-x^{2}-y)z_{y}-{\frac {1}{y}}(x^{3}-x+y)z=0,e_{2}=z_{x}+{\frac {1}{y}}z_{y}+xz=0\right\}.}$

ステップS3とS4は積分可能性条件を生成する${\displaystyle c_{3,2}\equiv {\frac {\partial e_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}e_{2}}{\partial y^{2}}}}$そしてそれを${\displaystyle z=0}$つまり、最初に与えられたシステムのジャネットの基底は${\displaystyle \{z=0\}}$自明な解決策で${\displaystyle z=0}$。

次の例では、2つの未知の関数が登場します。${\displaystyle w}$そして${\displaystyle z}$どちらも${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$。

例２：システムを考える

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \{}&f_{1}\equiv w_{xx}-2z_{xy}-{\frac {1}{2x}}w_{x}+{\frac {1}{2x^{2}}}w=0,f_{2}\equiv w_{xy}-{\frac {1}{2}}z_{yy}-{\frac {1}{2x}}w_{y}-6x^{2}z_{x},\\[5pt]&f_{3}\equiv w_{yy}+4x^{2}w_{x}-8x^{2}z_{y}-8xw=0,f_{4}\equiv z_{xx}+{\frac {1}{2x}}z_{x}=0{\Big \}}\end{aligned}}}$

GRLEXでは、${\displaystyle w>z,x>y}$順序付け。システムは既に自動縮約されているため、ステップS1では変更されずに返されます。ステップS3では2つの積分可能性条件が生成されます。

${\displaystyle c_{1,2}\equiv {\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}{\text{ and }}c_{2,3}\equiv {\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}.}$

ステップS4での還元により、

${\displaystyle c_{1,2}=z_{xyy}-6xz_{x}=0,c_{2,3}=z_{yyy}+3x^{2}z_{xy}-24xz_{y}-12w=0.}$

ステップS5では、それらがシステムに組み込まれ、拡張されたシステムでステップS1からアルゴリズムが再び開始されます。さらに数回の反復の後、最終的にJanet基底が $${\displaystyle \left\{z_{y}+{\frac {1}{2x}}w=0,z_{x}=0,w_{y}=0,w_{x}-{\frac {1}{x}}w=0\right\}}$$

得られる。一般解が得られる。${\displaystyle z=C_{1}-C_{2}y,w=2C_{2}x}$2つの未定定数を含む${\displaystyle C_{1}}$そして${\displaystyle C_{2}}$。

ジャネット基底の最も重要な応用は、線形同次偏微分方程式系の不確定性の度合いを決定するために使用することである。上記の例 1 では、検討対象の系は自明な解しか許容しないという答えが得られる。2 番目の例 2 では、2 次元の解空間が得られる。一般に、答えはより複雑になる可能性があり、一般解には無限個の自由定数が存在する可能性がある。それらは、それぞれのジャネット基底のローウィ分解から得られる可能性がある。^{[ 8 ]}さらに、モジュールのジャネット基底から、シジジーモジュールのジャネット基底を読み取ることができる。^{[ 5 ]}

ジャネットのアルゴリズムはMapleに実装されている。^{[ 9 ]}

• www.alltypes.de – ジャネットの基礎の実装