トンプソンの次数公式

数学の有限群論において、ジョン・グリッグス・トンプソンによって導入されたトンプソンの位数公式（Held 1969 、p.279）は、ブラウアーとファウラー（1955）の結果を拡張し、対合の中心化群を用いて有限群の位数を表す公式を与えている。

有限群G が代表元tとzを持つ対合の共役類をちょうど 2 つ持つ場合、トンプソンの順序公式( Aschbacher 2000、45.6 ) ( Suzuki 1986、5.1.7 )は次のように述べている。

${\displaystyle |G|=|C_{g}(z)|a(t)+|C_{g}(t)|a(z)}$

ここで、a ( x )は、 uがtと共役で、vがzと共役で、xがuvによって生成される部分群に含まれるようなペア( u , v )の数です。

ハリス（1972、3.10 ）は、 Gが2つ以上の対合共役類を持つ場合の、より複雑なバージョンのトンプソン順序公式を以下のように示している。

${\displaystyle |G|=C_{G}(t)C_{G}(z)\sum _{x}{\frac {a(x)}{C_{G}(x)}}}$

ここで、tとzは非共役対合であり、和は対合の共役類の代表の集合xについて取られ、 a ( x ) はu がtと共役であり、v がzと共役であり、xがtzによって生成される部分群の対合であるような対合u、vの順序対の数である。

トンプソンの次数式は次のように書き換えることができる。

${\displaystyle {\frac {|G|}{C_{G}(z)}}{\frac {|G|}{C_{G}(t)}}=\sum _{x}a(x){\frac {|G|}{C_{G}(x)}}}$

これまでと同様に、和は対合のクラスの代表元xの集合について取られます。左辺は、 u がtと共役で、v がzと共役である対合 ( u、v )のペアの数です。右辺は、 uvによって生成される巡回群の対合のクラスに応じて、これらのペアをクラスごとに数えます。重要な点は、uv は偶数位数である（奇数位数であればuとv は共役になる）ため、生成する群には一意の対合xが含まれるということです。

• Aschbacher, Michael (2000),有限群論, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  10 (第 2 版), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78675-1MR 1777008​ 
• Brauer, R. ; Fowler, KA (1955)、「偶数位数の群について」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、62 : 565–583、doi : 10.2307/1970080、ISSN 0003-486X、JSTOR 1970080、MR 0074414   
• Harris, Morton E. (1972)、「有限射影シンプレクティック群 PSp(4,q) の奇数次拡張の特徴付け」、アメリカ数学会紀要、163 : 311–327、doi : 10.2307/1995724、ISSN 0002-9947、JSTOR 1995724、MR 0286897   
• Held, Dieter ( 1969)、「M ₂₄に関連する単純群」、Journal of Algebra、13 : 253–296、doi : 10.1016/0021-8693(69)90074-X、ISSN 0021-8693、0249500 
• 鈴木道夫(1986)、群理論。 II、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理]、vol.  248、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-10916-9MR 0815926​