バイモンスターグループ

数学において、バイモンスターとはモンスター群MとZ ₂の輪積である群である。

Bi=M\wr \mathbb {Z} _{2}.\,

ビモンスターは、16 個のノードを持つ Y 字型グラフであるディンキン図Y ₅₅₅に対応するコクセター群の商でもあります。

実際、最も外側の 3 つのノードは冗長です。これは、サブグループY _124がE ₈ Coxeter グループであるためです。これは、残りのノードY _{125を生成します。このパターンは}Y ₄₄₄まで拡張され、 Y ₅₅₅の 3 つの追加ノードを自動的に生成します。

ジョン・H・コンウェイは、 Y ₄₄₄図によって定義された表現に特定の関係を追加することで、バイモンスターの表現を与えることができると推測しました。より具体的には、アフィン E6 コクセター群はであり、スパイダー関係と呼ばれる単一の関係を追加することで有限群に簡約できます。この関係が追加され、図がY _{444に拡張されると、生成される群はバイモンスターです。これは 1990 年に}サイモン・P・ノートンによって証明され、証明は 1999 年に AA イワノフによって簡略化されました。 $\mathbb {Z} ^{6}:O_{5}(3):2$ $3^{5}:O_{5}(3):2$

その他のYグループ

スパイダー関係をより小さなコクセター図に付加することで、(双)モンスターの多くのサブグループを定義できます。最も有名なのはフィッシャー群とベビーモンスター群です。グループY _ij0、Y _ij1、Y ₁₂₂、Y ₁₂₃、およびY _{124 は}、追加の関係を付加しなくても有限です。これらは、それぞれコクセター群A _i+j+1、D _i+j、E ₆、E ₇、およびE ₈です。スパイダー関係がなければ無限になるその他のグループを以下にまとめます。

^これは、 Y _{224 を}より大きな Y 群のサブグループとして実現したときに得られる群です。ただし、スパイダー関係を Coxeter 群に単純に付加すると、二重被覆が得られます。 $2.O_{8}^{+}(3):2$
^ abc スパイダー関係は、ダイアグラムの 3 方向すべてに少なくとも 2 つのノードがある場合にのみ直接定義できます。ただし、より大きなグループに対してスパイダー関係を定義し、より少ないノードによって生成されるサブグループを考慮することは可能です。
^ 前述のように、Y ₅₅₅の最も外側の 3 つのノードは冗長であるため、バイモンスターを生成するにはY ₄₄₄で十分です。

参照

三元性-単純リー群D ₄ , Y ₁₁₁
アフィン E_6 Y ₂₂₂

参考文献

Basak, Tathagata (2007)、「The complex Lorentzian Leech lattice and the Bimonster」、Journal of Algebra、309 (1): 32–56、arXiv : math/0508228、doi :10.1016/j.jalgebra.2006.05.033、MR 2301231、S2CID 125231322。
イワノフ、AA（1999）、「推移的拡張によるY群」、代数ジャーナル、218（1）：142–435、doi：10.1006 / jabr.1999.7882。
Conway, John H. ; Norton, Simon P. ; Soicher, Leonard H. (1988)、「Bimonster、群Y ₅₅₅、および位数 3 の射影平面」、Computers in Algebra (シカゴ、イリノイ州、1985 年)、Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics、第 111 巻、ニューヨーク: Dekker、pp. 27–50、MR 1060755。
Conway, JH ; Pritchard, AD (1992)、「Bimonster と 3Fi ₂₄の双曲反射」、Groups, Combinatorics & Geometry (Durham, 1990)、London Math. Soc. Lecture Note Ser.、vol. 165、ケンブリッジ: Cambridge University Press、pp. 24–45、doi :10.1017/CBO9780511629259.006、MR 1200248。
コンウェイ、ジョン H. ; シモンズ、クリストファー S. (2001)、「26 は Bimonster を意味する」、代数ジャーナル、235 (2): 805–814、doi : 10.1006/jabr.2000.8494、MR 1805481。
シモンズ、クリストファー・スミス (1997)、「双曲反射群、完全に複製可能な関数、モンスターとバイモンスター」、博士論文、プリンストン大学、数学部、ISBN 978-0591-50546-7、MR 2696217。
ソイチャー、レナード H. (1989)、「モンスターからビモンスターへ」、代数ジャーナル、121 (2): 275–280、doi : 10.1016/0021-8693(89)90064-1、MR 0992763。

外部リンク

Weisstein、Eric W.「Bimonster」。MathWorld。（注：ここでは誤って[3 ^6,6,6 ]と命名されています）

[1] ^これは、 Y _{224 を}より大きな Y 群のサブグループとして実現したときに得られる群です。ただし、スパイダー関係を Coxeter 群に単純に付加すると、二重被覆が得られます。 $2.O_{8}^{+}(3):2$

[ghost-spider-2] スパイダー関係は、ダイアグラムの 3 方向すべてに少なくとも 2 つのノードがある場合にのみ直接定義できます。ただし、より大きなグループに対してスパイダー関係を定義し、より少ないノードによって生成されるサブグループを考慮することは可能です。

[3] 前述のように、Y ₅₅₅の最も外側の 3 つのノードは冗長であるため、バイモンスターを生成するにはY ₄₄₄で十分です。