区間交換変換

数学において、区間交換変換^[1]は、円の回転を一般化する一種の力学システムです。位相空間は単位区間で構成され、変換は区間をいくつかの部分区間に分割し、これらの部分区間を並べ替えることによって機能します。これらは、多角形ビリヤードの研究や面積保存フローで自然に発生します。

を上の順列とします。次を満たす正の実数のベクトル（部分区間の幅）を考えます。 ${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1.}$

次 のように、区間交換変換と呼ばれるマップをペアに関連付けて定義します。${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }:[0,1]\rightarrow [0,1],}$${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{1\leq j<i}\lambda _{j}\quad {\text{and}}\quad a'_{i}=\sum _{1\leq j<\pi (i)}\lambda _{\pi ^{-1}(j)}.}$

次に、 について定義する。 ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }(x)=x-a_{i}+a'_{i}}$

が部分区間 内にある場合、 は変換によって形式の各部分区間に作用し、位置 の部分区間が位置 に移動するようにこれらの部分区間を再配置します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \pi (i)}$

任意の区間交換変換は、ルベーグ測度を保存する のそれ自身への全単射です。これは有限個の点を除いて連続です。 ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle [0,1]}$

区間交換変換の逆は、再び区間交換変換です。実際、これはすべての に対してとなる変換です。 ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle T_{\pi ^{-1},\lambda '}}$${\displaystyle \lambda '_{i}=\lambda _{\pi ^{-1}(i)}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

および(サイクル表記)の場合、区間の端を結合して円を作ると、 は単なる円回転になります。ワイルの等分布定理は、長さが無理数の場合、 は一意にエルゴード であると主張します。大まかに言えば、これは の点の軌道が一様に均等に分布していることを意味します。一方、 が有理数 の場合、区間の各点は周期的であり、周期は の分母です(最小の項で記述)。 ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \pi =(12)}$${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

であり、が特定の非退化条件（つまり、となる整数は存在しない）を満たす場合、M.Keane の予想であり、 William A. Veech ^[2]とHoward Masur ^[3]がそれぞれ独立にもたらした深い定理により、単位単体におけるのほとんどすべての選択に対して、区間交換変換は再び一意にエルゴード となることが主張されます。しかし、 については の選択肢も存在するため、 はエルゴードだが一意にエルゴードではないことになります。これらの場合でも、のエルゴード不変測度の数は有限であり、最大 です。 ${\displaystyle n>2}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 0<k<n}$${\displaystyle \pi (\{1,\dots ,k\})=\{1,\dots ,k\}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \{(t_{1},\dots ,t_{n}):\sum t_{i}=1\}}$${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$${\displaystyle n}$

区間写像の位相エントロピーはゼロである。^[4]

二項オドメーターは、可算数の区間の区間交換変換として理解することができます。二項オドメーターは、変換として最も簡単に記述できます。

${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)}$

カントール空間 上で定義される。カントール空間から単位区間への標準的な写像は次のように与えられる。 ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }.}$

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}}$

このマッピングは、カントール集合から単位区間への測度保存準同型写像であり、カントール集合上の標準ベルヌーイ測度を単位区間上のルベーグ測度にマッピングします。走行距離計とその最初の 3 つの反復の視覚化が右側に表示されます。

2次元以上の一般化には、多角形交換、多面体交換、区分的等長変換などが含まれる。^[5]

• オドメーター

• Artur Avila と Giovanni Forni、「区間交換変換と変換フローの弱混合」、arXiv:math/0406326v1、https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326