ベースフロー（ランダム動的システム）

数学において、ランダム動的システムの基本フローは、 「ノイズ」確率空間上で定義される動的システムであり、ランダム動的システムを「開始」する時間を変更したい場合にノイズを「早送り」または「巻き戻し」する方法を記述します。

ランダム力学系の定義では、確率空間上の写像の族が与えられます。測度保存力学系は、ランダム力学系の基底フローとして知られています。写像は時間を「シフト」するため、シフト写像と呼ばれることがよくあります。基底フローは、多くの場合、エルゴード的です。 ${\displaystyle \vartheta _{s}:\Omega \to \Omega }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ,\vartheta )}$${\displaystyle \vartheta _{s}}$

パラメータは実行するように選択できます ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$（2辺連続時間動的システム）
• ${\displaystyle [0,+\infty )\subsetneq \mathbb {R} }$（片側連続時間力学システム）
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$（2面離散時間動的システム）
• ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$(片側離散時間動的システム)。

各マップは必須 ${\displaystyle \vartheta _{s}}$

• 測定可能な関数であること：すべての場合、${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {F}})}$${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \vartheta _{s}^{-1}(E)\in {\mathcal {F}}}$
• 尺度を維持する: すべてに対して、。${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (\vartheta _{s}^{-1}(E))=\mathbb {P} (E)}$

さらに、家族として、地図は関係を満たします ${\displaystyle \vartheta _{s}}$

• ${\displaystyle \vartheta _{0}=\mathrm {id} _{\Omega }:\Omega \to \Omega }$、上の恒等関数。${\displaystyle \オメガ}$
• ${\displaystyle \vartheta _{s}\circ \vartheta _{t}=\vartheta _{s+t}}$すべておよびに対して、この式の 3 つのマップが定義されます。特に、が存在する場合。${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \vartheta _{s}^{-1}=\vartheta _{-s}}$${\displaystyle -s}$

言い換えると、写像は可換モノイド（ およびの場合）または可換群（およびの場合）を形成します。 ${\displaystyle \vartheta _{s}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$${\displaystyle s\in [0,+\infty )}$${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$

ウィーナー過程 によって駆動されるランダム力学系の場合、ここでは2辺古典的ウィーナー空間であり、基本フローは次のように与えられる。 ${\displaystyle W:\mathbb {R} \times \Omega \to X}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle \vartheta _{s}:\Omega \to \Omega }$

${\displaystyle W(t,\vartheta _{s}(\omega ))=W(t+s,\omega )-W(s,\omega )}$。

これは、「時間 0 ではなく 時間でノイズを開始する」という意味として解釈できます。${\displaystyle \vartheta _{s}}$${\displaystyle s}$