ランダム力学系

数学において、ランダム力学系とは、運動方程式にランダム性を持つ力学系のことである。ランダム力学系は、状態空間S、すなわち写像の集合によって特徴づけられる。${\displaystyle \Gamma }$Sからそれ自身への集合は、考えられるすべての運動方程式の集合と考えることができ、集合上の確率分布Q は、${\displaystyle \Gamma }$これはマップのランダムな選択を表します。ランダムな力学系における運動は、非公式には状態と考えることができます。${\displaystyle X\in S}$分布Qに従ってランダムに選択された一連のマップに従って進化する。^{[ 1 ]}

ランダム力学系の例としては、確率微分方程式があります。この場合、分布 Q は通常ノイズ項によって決定されます。これは、基本フロー、「ノイズ」、および「物理的」位相空間上のコサイクル力学系から構成されます。別の例としては、離散状態ランダム力学系があります。確率力学のマルコフ連鎖とランダム力学系の記述の間のいくつかの基本的な矛盾について議論します。^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$になる${\displaystyle d}$次元ベクトル場とし、${\displaystyle \varepsilon >0}$解が${\displaystyle X(t,\omega ;x_{0})}$確率微分方程式へ

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\mathrm {d} X=f(X)\,\mathrm {d} t+\varepsilon \,\mathrm {d} W(t);\\X(0)=x_{0};\end{matrix}}\right.}$

すべての正の時間および、負の時間のある（小さな）区間に対して存在し、${\displaystyle \omega \in \Omega }$、 どこ${\displaystyle W:\mathbb {R} \times \Omega \to \mathbb {R} ^{d}}$は${\displaystyle d}$次元ウィーナー過程（ブラウン運動）。暗黙のうちに、この記述は古典的なウィーナー確率空間を使用している。

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ):=\left(C_{0}(\mathbb {R}$ ;\mathbb {R} ^{d}),{\mathcal {B}}(C_{0}(\mathbb {R}  ;\mathbb {R} ^{d})),\gamma \right).}

この文脈において、ウィーナー過程は座標過程である。

次に、フローマップまたは（解演算子）を定義します。${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \times \Omega \times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}} による

${\displaystyle \varphi (t,\omega ,x_{0}):=X(t,\omega ;x_{0})}$

（右辺が明確に定義されている場合）。すると${\displaystyle \varphi }$（あるいは、より正確には、ペア${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},\varphi )}$) は、（局所的、左側）ランダム力学系です。確率微分方程式の解から「流れ」を生成するプロセスは、適切に定義された「流れ」をそれ自体で研究することにつながります。これらの「流れ」はランダム力学系です。

離散空間における独立同分布のランダム力学系は、三つ組によって記述される。${\displaystyle (S,\Gamma ,Q)}$。

• ${\displaystyle S}$は状態空間であり、${\displaystyle \{s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n}\}}$。
• ${\displaystyle \Gamma }$は、${\displaystyle S\rightarrow S}$それぞれの地図には${\displaystyle n\times n}$行列表現は、決定論的遷移行列と呼ばれます。これはバイナリ行列ですが、各行に正確に1つの要素（1）があり、それ以外はすべて0です。
• ${\displaystyle Q}$は、${\displaystyle \sigma }$-分野の${\displaystyle \Gamma }$。

離散ランダム力学系は次のようになる。

1. システムは何らかの状態にある${\displaystyle x_{0}}$で${\displaystyle S}$地図$\displaystyle \alpha _{1}}$で${\displaystyle \Gamma }$確率測度に従って選択される${\displaystyle Q}$そしてシステムは次の状態に移行します${\displaystyle x_{1}=\alpha _{1}(x_{0})}$ステップ1で。
2. 以前の地図とは関係なく、別の地図$\displaystyle \alpha _{2}}$確率測度に従って選択される${\displaystyle Q}$ そしてシステムは次の状態に移行します${\displaystyle x_{2}=\alpha _{2}(x_{1})}$。
3. この手順が繰り返されます。

確率変数${\displaystyle X_{n}}$独立したランダムマップの合成によって構築され、${\displaystyle X_{n}=\alpha _{n}\circ \alpha _{n-1}\circ \dots \circ \alpha _{1}(X_{0})}$。 明らかに、${\displaystyle X_{n}}$はマルコフ連鎖です。

逆に、与えられたMCは、iidランダム変換の合成によって表現できるのか、またどのように表現できるのか？ はい、できますが、一意ではありません。存在証明は、二重確率行列に対するBirkhoff–von Neumannの定理と同様です。

以下に、存在と非一意性を示す例を示します。

例:状態空間${\displaystyle S=\{1,2\}}$そして変換の集合${\displaystyle \Gamma }$決定論的遷移行列で表現される。次にマルコフ遷移行列${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}0.4&0.6\\0.7&0.3\end{array}}\right)}$最小最大アルゴリズムによる以下の分解で表すことができる。${\displaystyle M=0.6\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)+0.3\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)+0.1\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}}\right).}$

その一方で、別の分解方法も考えられます。${\displaystyle M=0.18\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}}\right)+0.28\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}}\right)+0.42\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)+0.12\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right).}$

形式的には、^{[ 3 ]}ランダム力学系は、基本フロー、「ノイズ」、および「物理的」位相空間上のコサイクル力学系から構成される。詳細には、

させて${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$確率空間、ノイズ空間とする。基本フローを定義する。${\displaystyle \vartheta$ :\mathbb {R} \times \Omega \to \Omega } を 次のように定義します: 各 "time" について${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$、 させて${\displaystyle \vartheta _{s}:\Omega \to \Omega }$尺度保存型の可測関数であること：

${\displaystyle \mathbb {P} (E)=\mathbb {P} (\vartheta _{s}^{-1}(E))}$すべての人々のために${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$そして${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$;

また、

1. ${\displaystyle \vartheta _{0}=\mathrm {id} _{\Omega }:\Omega \to \Omega }$、恒等関数${\displaystyle \Omega }$;
2. すべての人々のために${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$、${\displaystyle \vartheta _{s}\circ \vartheta _{t}=\vartheta _{s+t}}$。

つまり、${\displaystyle \vartheta _{s}}$、${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ノイズの尺度保存変換のグループを形成する${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$片側ランダム力学系の場合、正の指数のみを考慮する。${\displaystyle s}$; 離散時間ランダム力学系の場合、整数値のみを考慮する。${\displaystyle s}$; これらの場合、地図は${\displaystyle \vartheta _{s}}$群ではなく可換モノイドを形成するだけである。

ほとんどの応用例では真実であるが、測度保存力学系がランダム力学系の正式な定義に含まれることは通常ない。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ,\vartheta )}$エルゴード的である。

さあ${\displaystyle (X,d)}$を完全可分距離空間、位相空間とする。${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \times \Omega \times X\to X} は${\displaystyle ({\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}}(X),{\mathcal {B}}(X))}$-測定可能な関数であって、

1. すべての人々のために${\displaystyle \omega \in \Omega }$、${\displaystyle \varphi (0,\omega )=\mathrm {id} _{X}:X\to X}$、恒等関数${\displaystyle X}$;
2. （ほぼ）すべての${\displaystyle \omega \in \Omega }$、${\displaystyle (t,x)\mapsto \varphi (t,\omega ,x)}$連続的である。
3. ${\displaystyle \varphi }$（粗雑な）コサイクル特性を満たす：ほとんどすべての${\displaystyle \omega \in \Omega }$、

${\displaystyle \varphi (t,\vartheta _{s}(\omega ))\circ \varphi (s,\omega )=\varphi (t+s,\omega ).}$

ウィーナー過程によって駆動されるランダム力学系の場合${\displaystyle W:\mathbb {R} \times \Omega \to X}$基底流量${\displaystyle \vartheta _{s}:\Omega \to \Omega }$によって与えられる

${\displaystyle W(t,\vartheta _{s}(\omega ))=W(t+s,\omega )-W(s,\omega )}$。

これは次のように解釈できます。${\displaystyle \vartheta _{s}}$「時間通りにノイズを開始します${\displaystyle s}$時刻 0 の代わりに」。したがって、コサイクル特性は、初期条件を進化させることによって${\displaystyle x_{0}}$多少のノイズあり${\displaystyle \omega }$のために${\displaystyle s}$数秒後、${\displaystyle t}$同じノイズが数秒間続く（${\displaystyle s}$秒の目盛り）は進化と同じ結果をもたらします${\displaystyle x_{0}}$を通して${\displaystyle (t+s)}$数秒間、同じ音が鳴り響いた。

ランダム力学系のアトラクターの概念は、決定論的な場合ほど簡単に定義できるものではない。プルバックアトラクターの定義のように「時間を巻き戻す」必要がある。そうすることで、最終時刻に近いノイズが一貫性を保つ。^{[ 4 ]}さらに、アトラクターは実現に依存する。${\displaystyle \omega }$騒音の。

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