電磁流体力学

物理学と工学において、磁気流体力学( MHD 、磁気流体力学または流体磁気学とも呼ばれる)は、相互浸透するすべての粒子種を単一の連続媒体として扱う導電性流体の モデルです。主にプラズマと液体金属の低周波、大規模、磁気的挙動に関係し、宇宙物理学、地球物理学、天体物理学、工学など、複数の分野に応用されています。

磁気流体力学という言葉は、磁場を意味するmagnet、水を意味するhydro 、動きを意味するdynamicsから派生したものです。MHDの分野はハンネス・アルヴェンによって始められ、彼は1970年にノーベル物理学賞を受賞しました。

電気伝導性流体のMHD記述は、ハンネス・アルヴェンが1942年にネイチャー誌に発表した「電磁流体波の存在」と題する論文で初めて開発され、現在アルヴェン波と呼ばれているものの発見について概説した。^{[2] [3]}アルヴェンは当初これらの波を「電磁流体波」と呼んでいたが、後の論文で「「電磁流体波」という用語はやや複雑なので、この現象を「磁気流体波」と呼ぶ方が便利かもしれない」と述べている。^[4]

MHDでは、流体の運動は、個々の種の平均運動、すなわち電流密度 と質量中心の速度の線形結合を使用して記述されます。与えられた流体では、それぞれの種は数密度、質量、電荷、および平均速度を持ちます。流体の全質量密度は であり、流体の運動は次のように表される電流密度によって記述できます。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n_{\sigma }}$${\displaystyle m_{\sigma }}$${\displaystyle q_{\sigma }}$${\displaystyle \mathbf {u} _{\sigma }}$${\textstyle \rho =\sum _{\sigma }m_{\sigma }n_{\sigma }}$

${\displaystyle \mathbf {J} =\sum _{\sigma }n_{\sigma }q_{\sigma }\mathbf {u} _{\sigma }}$

質量中心の速度は次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\rho }}\sum _{\sigma }m_{\sigma }n_{\sigma }\mathbf {u} _{\sigma }.}$

MHD は、連続方程式、運動方程式、状態方程式、アンペールの法則、ファラデーの法則、オームの法則からなる一連の方程式で記述できます。運動システムのあらゆる流体記述と同様に、粒子分布方程式の最高モーメントに閉包近似を適用する必要があります。これは、断熱条件または等温条件による熱流束の近似によって達成されることがよくあります。

断熱極限、すなわち等方圧力と等方温度の仮定では、断熱指数、電気抵抗率、磁場、電場を持つ流体は連続方程式で記述できる。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)=0,}$

状態方程式

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}\right)=0,}$

運動方程式

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} =\mathbf {J} \times \mathbf {B} -\nabla p,}$

低周波アンペールの法則

${\displaystyle \mu _{0}\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {B} ,}$

ファラデーの法則

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} ,}$

オームの法則

${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\eta \mathbf {J} .}$

この方程式の回転を取り、アンペールの法則とファラデーの法則を用いると、誘導方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )+{\frac {\eta }{\mu _{0}}}\nabla ^{2}\mathbf {B} ,}$

ここで磁気拡散率です。 ${\displaystyle \eta /\mu _{0}}$

運動方程式において、ローレンツ力の項はアンペールの法則とベクトル解析の等式を用いて展開され、 ${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} ={\frac {\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }{\mu _{0}}}-\nabla \left({\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right),}$

ここで右辺第１項は磁気張力、第２項は磁気圧力である。^[5]

最も単純な形態のMHDである理想MHDは、オームの法則における抵抗項が他の項に比べて小さく、ゼロとみなせると仮定している。これは、検討中の速度および長さスケールにおいて磁気誘導が磁気拡散よりも優勢となる大きな磁気レイノルズ数の極限で起こる。 ^[5]その結果、磁気エネルギーを運動エネルギーに変換する理想MHDのプロセス（理想プロセスと呼ばれる）は、熱を生成せず、エントロピーを上昇させることができない。^{[7] : 6}${\displaystyle \eta \mathbf {J} }$

理想的な MHD の根底にある基本概念は、バルク流体と埋め込まれた磁場が一緒に動くように制約されており、一方が他方に「結び付けられている」または「凍結されている」と言えるという、凍結磁束定理です。したがって、バルク流体の速度で動き、同じ磁力線上にある任意の 2 つの点は、システム内の流体の流れによって点が移流されても、同じ磁力線上にとどまります。 ^{[8] [7] : 25}流体と磁場の接続により、流体内の磁場のトポロジーが固定されます。たとえば、1 組の磁力線が結び目になっている場合、流体の抵抗が無視できる限り、結び目はそのままになります。磁力線を再接続することが難しいため、流体または磁場の発生源を移動させることでエネルギーを蓄えることができます。理想的な MHD の条件が崩れると、磁気再接続が可能になり、磁場から蓄えられたエネルギーが解放され、エネルギーが利用可能になります。

理想的なMHDでは、抵抗項はオームの法則から消え、理想的なオームの法則が得られる。^[5]${\displaystyle \eta \mathbf {J} }$

${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =0.}$

同様に、誘導方程式の磁気拡散項は消えて理想的な誘導方程式となる。 ^{[7] : 23}${\displaystyle \eta \nabla ^{2}\mathbf {B} /\mu _{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$

理想的な MHD は、次の場合にのみ厳密に適用できます。

1. プラズマは衝突性が強いため、衝突の時間スケールはシ​​ステムの他の特性時間よりも短く、粒子分布はマクスウェル分布に近くなります。
2. これらの衝突による抵抗は小さいです。特に、システム内に存在するあらゆるスケール長にわたる典型的な磁気拡散時間は、関心のあるあらゆる時間スケールよりも長くなければなりません。
3. 長さのスケールは、イオンの表皮深さや磁場に垂直なラーモア半径よりもはるかに長く、ランドウ減衰を無視できるほど磁場に沿って長く、時間のスケールはイオンの回転時間よりもはるかに長い（システムは滑らかでゆっくりと進化している）ことに注目してください。

不完全伝導性の流体では、磁場は一般に拡散法則に従って流体内を移動し、プラズマの抵抗率は拡散定数として機能します。これは、理想的な MHD 方程式の解が、拡散が無視できないほど重要になる前の特定のサイズの領域に対して限られた時間のみ適用可能であることを意味します。太陽活動領域全体の拡散時間は(衝突抵抗率から) 数百年から数千年と推定できますが、これは太陽黒点の実際の寿命よりもはるかに長いため、抵抗率を無視するのが妥当と思われます。対照的に、1 メートル サイズの体積の海水では、磁気拡散時間はミリ秒単位で測定されます。

^{物理システム[9]}は十分に大きく導電性があるため、ルンドキスト数の単純な推定では抵抗率は無視できると考えられますが、それでも抵抗率は重要です。プラズマの有効抵抗率を 10 ^{9倍以上に増加させる}不安定性が多数存在します。抵抗率の増加は通常、電流シートや微細磁気乱流などの小規模構造の形成の結果であり、システム内に小さな空間スケールが導入され、理想的な MHD が破れて磁気拡散が急速に発生する可能性があります。これが発生すると、プラズマ内で磁気再結合が発生し、蓄積された磁気エネルギーが波、物質の全体的な機械的加速、粒子の加速、熱 として放出される可能性があります。

導電性の高いシステムにおける磁気再結合は、時間と空間にエネルギーを集中させるため重要であり、プラズマに長時間にわたって穏やかな力を加えると、激しい爆発や放射線のバーストを引き起こす可能性があります。

流体が完全に導電性であるとは考えられないが、理想的な MHD の他の条件が満たされている場合、抵抗 MHD と呼ばれる拡張モデルを使用できます。これには、衝突抵抗をモデル化するオームの法則の追加項が含まれます。一般に、MHD コンピューター シミュレーションは、計算グリッドによって数値抵抗が導入されるため、少なくともいくらか抵抗があります。

多くのMHDシステムでは、電流の大部分は電流シートと呼ばれる薄いほぼ2次元のリボンに圧縮されています。^[10]これにより流体が磁気領域に分割され、その内部では電流が比較的弱くなります。太陽コロナの電流シートの厚さは数メートルから数キロメートルであると考えられており、これは磁気領域（幅が数千から数十万キロメートル）と比較すると非常に薄いです。^[11]もう1つの例は地球の磁気圏であり、そこでは電流シートが位相的に異なる領域を分離し、地球の電離層の大部分を太陽風から隔離しています。

MHD 方程式を使用して導出される波モードは、磁気流体波またはMHD 波と呼ばれます。均一で一定の磁場を持つ流体の線形化された理想 MHD 方程式から導出できる MHD 波モードは 3 つあります。

• アルヴェーン波
• 低速磁気音波
• 高速磁気音波

これらのモードは、波数ベクトルの大きさに依存しない位相速度を持ち、分散は生じない。位相速度は、波数ベクトルkと磁場Bの間の角度に依存する。時間に依存しないまたはバルク磁場B ₀に対して任意の角度θで伝播するMHD波は、分散関係を満たす。

${\displaystyle {\frac {\omega }{k}}=v_{A}\cos \theta }$

どこ

${\displaystyle v_{A}={\frac {B_{0}}{\sqrt {\mu _{0}\rho }}}}$

はアルヴェン速度である。この分岐はせん断アルヴェンモードに対応する。さらに分散方程式は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {\omega }{k}}=\left({\tfrac {1}{2}}\left(v_{A}^{2}+v_{s}^{2}\right)\pm {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\left(v_{A}^{2}+v_{s}^{2}\right)^{2}-4v_{s}^{2}v_{A}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)^{\frac {1}{2}}}$

どこ

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}}$

は理想気体の音速です。プラスの枝は高速 MHD 波モードに対応し、マイナスの枝は低速 MHD 波モードに対応します。これらの波の特性の概要は次のとおりです。

流体が完全に導電性ではなく有限の導電率を持つ場合、または粘性効果が存在する場合、MHD 振動は減衰します。

MHD 波と振動は、太陽のコロナ(コロナ地震学) などの実験室および天体物理学的プラズマの遠隔診断によく使用されるツールです。

抵抗性

抵抗性 MHD は、有限の電子拡散率 ( η ≠ 0 )を持つ磁化流体を表します。この拡散率は磁気トポロジーの破壊につながり、磁力線は衝突すると「再接続」することがあります。通常、この項は小さく、再接続は衝撃波と似たものとして扱うことができます。このプロセスは、地球と太陽の磁気相互作用において重要であることが示されています。

拡張

拡張 MHD は、抵抗性 MHD よりも高次のプラズマ現象の一種ですが、単一の流体記述で適切に処理できます。これには、ホール物理、電子圧力勾配、粒子の回転運動における有限のラーモア半径、および電子慣性の影響が含まれます。

2流体

2 流体 MHD は、無視できないホール電場を含むプラズマを表します。その結果、電子とイオンの運動量は別々に扱われる必要があります。この説明は、電場の発展方程式が存在するため、マクスウェル方程式とより密接に結びついています。

ホール

1960年、MJライトヒルはプラズマに対する理想または抵抗性MHD理論の適用性を批判した。^[12]それは、磁気核融合理論で頻繁に行われる単純化であるオームの法則における「ホール電流項」の無視に関するものであった。ホール磁気流体力学（HMHD）は、この電磁流体力学の電界記述を考慮に入れており、オームの法則は次の形をとる。

${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \underbrace {-{\frac {1}{n_{e}e}}(\mathbf {J} \times \mathbf {B} )} _{\text{Hall current term}}=\eta \mathbf {J} ,}$

ここで、は電子数密度、は素電荷です。最も重要な違いは、磁力線の破壊がない場合、磁場はバルク流体ではなく電子に結びついているということです。^[13]${\displaystyle n_{e}}$${\displaystyle e}$

電子MHD

電子磁気流体力学 (EMHD) は、電子の動きがイオンの動きよりはるかに速い場合の小規模プラズマを表します。主な影響は、保存則の変化、追加の抵抗、電子慣性の重要性です。電子 MHD の影響の多くは、2 流体 MHD およびホール MHD の影響に似ています。EMHD は、Z ピンチ、磁気再結合、イオン スラスタ、中性子星、プラズマ スイッチにとって特に重要です。

衝突なし

MHDは衝突のないプラズマにもよく使われる。その場合、MHD方程式はVlasov方程式から導かれる。^[14]

削減

マルチスケール解析を使用することで、（抵抗性）MHD方程式を4つの閉じたスカラー方程式のセットに簡約することができます。これにより、特に効率的な数値計算が可能になります。^[15]

MHD（および一般的な流体理論）のもう 1 つの制限は、プラズマが強く衝突するという仮定（これが上記の最初の基準）に依存しているため、衝突の時間スケールはシ​​ステムの他の特性時間よりも短く、粒子分布はマクスウェル分布になるという点です。これは通常、核融合、宇宙、天体物理学のプラズマには当てはまりません。そうでない場合、またはより小さな空間スケールに関心がある場合は、分布関数の非マクスウェル分布形状を適切に考慮した運動モデルを使用する必要がある場合があります。ただし、MHD は比較的単純でプラズマ ダイナミクスの重要な特性の多くを捉えているため、定性的に正確であることが多く、そのため最初に試されるモデルになることがよくあります。

本質的に運動学的で流体モデルでは捉えられない効果には、二重層、ランダウ減衰、さまざまな不安定性、宇宙プラズマにおける化学分離、電子の暴走などがあります。超高強度レーザー相互作用の場合、エネルギー付与のタイムスケールが信じられないほど短いため、流体力学コードでは基本的な物理を捉えることができません。

地球のマントルの下には核があり、固体の内核と液体の外核の2つの部分で構成されています。^{[16] [17]}どちらも大量の鉄を含んでいます。液体の外核は磁場の存在下で動き、コリオリの力によって渦が発生します。^[18]これらの渦は磁場を発生させ、地球の元々の磁場を増強します。これは自立的なプロセスであり、地磁気ダイナモと呼ばれています。^[19]

グラッツマイヤーとポール・ロバーツは、MHD方程式に基づいて、地球内部のスーパーコンピュータモデルを作成しました。仮想時間で数千年にわたってシミュレーションを実行した後、地球の磁場の変化を研究することができます。シミュレーション結果は観測結果とよく一致しており、シミュレーションでは、地球の磁場が数十万年ごとに反転することを正しく予測しています。反転中に磁場が完全に消えるわけではなく、より複雑になるだけです。^[20]

いくつかの観測所は、地震の前に超低周波（ULF）活動の急増が起こることがある、と報告している。その顕著な例は、 1989年にカリフォルニア州で起きたロマ・プリエタ地震の前に発生したが^[21]、その後の研究では、これはセンサーの故障に過ぎなかったことが示唆されている。^[22] 2010年12月9日、地球科学者は、 2010年にマグニチュード7.0_の地震が発生する1か月前に、DEMETER衛星がハイチ上空でULF電波の劇的な増加を観測したと発表した。^[23]研究者たちは、この相関関係についてさらに学び、この方法が地震の早期警報システムの一部として使用できるかどうかを調べようとしている。

地球付近および太陽系全体の宇宙プラズマの研究は、宇宙物理学として知られています。宇宙物理学の研究分野には、電離層からオーロラ、地球の磁気圏、太陽風、コロナ質量放出に至るまで、多数のトピックが含まれます。

MHDは、プラズマの集団が局所的な地球空間環境内でどのように相互作用するかを理解するための枠組みを形成します。研究者は、地球の磁気圏界面の位置[ ^24]（地球の磁場と太陽風の境界）、環電流の形成、オーロラ電気ジェット^[25]、地磁気誘導電流^[26]など、地球の磁気圏内の現象をシミュレートするためにMHDを使用したグローバルモデルを開発しました。

地球規模のMHDモデルの代表的な用途の1つは、宇宙天気予報です。激しい太陽嵐は衛星^[27]やインフラに甚大な被害をもたらす可能性があるため、このような現象を早期に検出することが重要です。宇宙天気予報センター（SWPC）は、MHDモデルを実行して、地球への宇宙天気現象の到来と影響を予測しています。

MHDは、恒星、惑星間媒体（惑星間の空間）、そしておそらく星間媒体（恒星間の空間）とジェットを含む天体物理学に適用されます。^[28] ほとんどの天体物理システムは局所的な熱平衡状態にないため、システム内のすべての現象を記述するために追加の運動学的処理が必要です（天体プラズマを参照）。^{[29] [30]}

1919 年にジョセフ・ラーモアが理論化したように、太陽黒点は太陽の磁場によって発生します。太陽風も MHD によって制御されます。太陽の差動回転は、太陽の極における磁気抵抗の長期的な影響である可能性があり、これは太陽の拡張磁場によって想定される パーカーの螺旋形状による MHD 現象です。

これまで、太陽と惑星の形成を記述する理論では、太陽が太陽系の質量の 99.87% を占めているのに、角運動量のわずか 0.54% を占めている理由を説明できませんでした。太陽が形成されたガスと塵の雲などの閉鎖系では、質量と角運動量は両方とも保存されます。この保存則は、質量が雲の中心に集中して太陽が形成されると、スケーターが腕を引き寄せるように、太陽の回転が速くなることを意味します。初期の理論で予測された高速回転では、原始太陽が形成される前にバラバラに投げ出されていたでしょう。しかし、磁気流体力学の効果により、太陽の角運動量が太陽系の外側に伝達され、回転が遅くなります。

理想的なMHDの崩壊（磁気再結合の形で）は、太陽フレアの原因として考えられる。太陽黒点上の太陽活動領域の磁場はエネルギーを蓄えることができ、主電流シートが崩壊して磁場が再結合すると、運動、 X線、放射線のバーストとして突然放出される。 ^{[31] [32]}

MHD は、トカマクやステラレータなどの装置の核融合プラズマで発生するさまざまな物理現象を説明します。

理想的な MHD から導かれるGrad -Shafranov 方程式は、トカマク内の軸対称トロイダル プラズマの平衡を記述します。トカマク実験では、各放電中の平衡が定期的に計算され、再構築され、外部コイルの電流によって制御されるプラズマの形状と位置に関する情報が提供されます。

MHD 安定性理論は、トカマクの動作限界を規定することが知られています。たとえば、理想的な MHD キンク モードは、達成可能なプラズマ ベータ (トロヨン限界) とプラズマ電流 (安全係数の要件によって設定) に厳しい制限を課します。 ${\displaystyle q>2}$

磁気流体力学センサーは、航空宇宙工学などの慣性航法システムにおける角速度の精密測定に使用されます。センサーのサイズが大きくなるにつれて精度が向上します。このセンサーは過酷な環境でも耐えることができます。^[33]

MHD は、プラズマの閉じ込め、原子炉の液体金属冷却、電磁鋳造などの工学的問題に関連しています。

磁気流体力学ドライブまたはMHD 推進装置は、磁気流体力学を使用して可動部品なしで電界と磁界のみを使用して航海船を推進する方法です。動作原理は、推進剤 (ガスまたは水) を帯電させ、磁界によって方向を変えて船を反対方向に押し出すことです。実際に機能するプロトタイプはいくつか存在しますが、MHD ドライブはまだ実用的ではありません。

この種の推進装置の最初のプロトタイプは、1965年にカリフォルニア大学サンタバーバラ校の機械工学教授スチュワード・ウェイによって製作され、テストされた。ウェスティングハウス・エレクトリック社を休職していたウェイは、学部4年生の学生たちにこの新しい推進装置を搭載した潜水艦の開発を課した。^[34] 1990年代初頭には、日本の財団（シップ・アンド・オーシャン財団（東京都港区））が実験船「ヤマト1号」を製作した。この船は液体ヘリウムで冷却された超伝導体を組み込んだ磁気流体力学駆動装置を使用し、時速15kmで航行することができた。^[35]

カリウムを添加した石炭燃焼ガスを燃料とするMHD発電は、より効率的なエネルギー変換の可能性（固体可動部品がないため、高温での動作が可能）を示したが、コストがかかりすぎる技術的な問題のために失敗した。 ^[36]大きな技術的問題の1つは、一次石炭燃焼室の壁が摩耗によって破損することだった。

マイクロ流体工学では、MHDは複雑なマイクロチャネル設計において連続的で脈動のない流れを生成するための流体ポンプとして研究されています。^[37]

MHDは金属の連続鋳造プロセスに導入され、不安定性を抑制し、流れを制御することができる。^{[38] [39]}

産業用MHDの問題は、オープンソースソフトウェアEOF-Libraryを使用してモデル化できます。^{[40] 2つのシミュレーション例としては、}電磁浮上溶融のための自由表面を備えた3D MHDと^[41]回転永久磁石による液体金属の撹拌があります。^[42]

がん研究における重要な課題は、患部に薬剤をより正確に送達する方法の開発である。1つの方法は、生物学的に適合する磁性粒子（強磁性流体など）に薬剤を結合させ、体外に永久磁石を慎重に配置して標的に誘導する方法である。磁気流体力学方程式と有限要素解析を使用して、血流中の磁性流体粒子と外部磁場との相互作用を研究する。^[43]

• ガルティエ、セバスチャン（2016）。現代磁気流体力学入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9781107158658。