磁気レイノルズ数

磁気流体力学において、磁気レイノルズ数( R _m ) は、伝導媒体の運動による磁場の移流または誘導が磁気拡散に及ぼす相対的な影響を推定する無次元量です。これは流体力学におけるレイノルズ数の磁気版であり、通常は次のように定義されます。

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}~~\sim {\frac {\mathrm {誘導} }{\mathrm {拡散} }} }$

どこ

• ${\displaystyle U}$流れの典型的な速度スケールである。
• ${\displaystyle L}$流れの典型的な長さスケールである。
• ${\displaystyle \eta}$磁気拡散率です。

導電性流体の運動が磁場を生成するメカニズムは、ダイナモ理論の対象です。しかし、磁気レイノルズ数が非常に大きい場合、拡散とダイナモはそれほど重要ではなくなり、この場合は、磁場が流れに与える影響に焦点が当てられることが多いです。

磁気流体力学の理論では、磁気レイノルズ数は誘導方程式から導くことができます。

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} }$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {B} }$磁場は
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$流体の速度、
• ${\displaystyle \eta}$磁気拡散率です。

右辺の第1項はプラズマ中の磁気誘導による効果を表し、第2項は磁気拡散による効果を表します。これら2つの項の相対的な重要性は、それらの比である磁気レイノルズ数 を取ることでわかります。両方の項がとなるスケール長と となるスケール速度を共有すると仮定すると、誘導項は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \nabla \sim 1/L}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbf {u} \sim U}$

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\sim {\frac {UB}{L}}}$

そして拡散項は

${\displaystyle \eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \sim {\frac {\eta B}{L^{2}}}.}$

したがって、2つの項の比は

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}.}$

の場合、移流は比較的重要ではないため、磁場は流れではなく境界条件によって決定される純粋な拡散状態に向かって緩和する傾向があります。 ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$

の場合、拡散は長さスケールLでは比較的重要ではありません。磁場の磁束線は、勾配が拡散と移流のバランスを取れるほど十分に短い長さスケールの領域に集中するまで、流体の流れとともに移流します。 ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\gg 1}$

太陽は10 ⁶のオーダーの大きな を持っています。^[要出典] 散逸効果は一般に小さく、拡散に対して磁場を維持することは困難ではありません。 ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

地球の場合、 10 ^{3 の}オーダーと推定されています 。^[1] 散逸はより顕著ですが、磁場は液体鉄の外核の運動によって支えられています。太陽系には、木星、土星、水星などダイナモが機能している天体もあれば、火星、金星、月などダイナモが機能していない天体もあります。 ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

人間の長さスケールは非常に小さいため、通常は導電性流体の動きによる磁場の生成は、水銀または液体ナトリウムを使用した少数の大規模な実験でのみ達成されています。 ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$

永久磁化が不可能な状況、例えばキュリー温度以上の場合、磁場を維持するには、誘導が拡散を上回るほど十分に大きい磁場が必要です。誘導にとって重要なのは速度の絶対値ではなく、むしろ流れの相対的な差とせん断であり、これが磁力線を伸ばしたり折り曲げたりします。^[5] この場合の磁気レイノルズ数のより適切な形は、したがって次のようになります 。${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }={\frac {L^{2}S}{\eta }}}$

ここでSはひずみの尺度である。最もよく知られている結果の1つは、球体内の流れによって磁場が発生する 最小値は次のようになるとBackus ^{[6]が述べたものである。}${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }\geq \pi ^{2}}$

ここで、は球の半径、は最大ひずみ速度である。この境界はその後、プロクターによって約25%改善された。^[7]${\displaystyle L=a}$${\displaystyle S=e_{max}}$

流れによる磁場生成の多くの研究では、計算に便利な周期立方体が考慮されている。この場合、最小値は^{[8]であることがわかった。}

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }=2.48}$

ここで、は長さ の辺を持つスケール領域上の二乗平均平方根ひずみです。 立方体内の小さな長さスケールでのせん断が排除される場合、 は最小値であり、 は二乗平均平方根値です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }=1.73}$${\displaystyle U}$

磁気レイノルズ数は、ペクレ数およびレイノルズ数と似た形式をとります。これら 3 つは、特定の物理場における移流効果と拡散効果の比率を表すものとみなすことができ、速度と長さの積を拡散率で割った形式をとります。磁気レイノルズ数は磁気流体の流れにおける磁場と関連していますが、レイノルズ数は流体速度自体と関連しており、ペクレ数は熱と関連しています。無次元群は、誘導方程式、ナビエ・ストークス方程式、および熱方程式というそれぞれの支配方程式を無次元化することで生じます。

無次元磁気レイノルズ数 は、物理的な流体が関与しない場合にも使用されます。 ${\displaystyle R_{m}}$

${\displaystyle R_{m}=\mu \sigma }$× (特性長さ) × (特性速度)

どこ

${\displaystyle \mu}$透磁率です

${\displaystyle \sigma }$電気伝導率です。

表皮効果は無視でき、渦電流ブレーキトルクは誘導モーターの理論曲線に従います。 ${\displaystyle R_{m}<1}$

表皮効果が支配的であり、ブレーキトルクは誘導電動機モデルで予測されるよりも速度の増加とともにはるかにゆっくりと減少する。^[9]${\displaystyle R_{m}>30}$

• ランドキスト数
• 電磁流体力学
• レイノルズ数
• ペクレ数

• Moffatt, H. Keith、2000、「Reflections on Magnetohydrodynamics」Wayback Machineに 2007-09-29 にアーカイブ。Perspectives in Fluid Dynamics ( ISBN 0-521-53169-1 ) (Ed. GK Batchelor、HK Moffatt、MG Worster) Cambridge University Press、p 347–391。 
• PA Davidson、2001、「磁気流体力学入門」（ISBN 0-521-79487-0）、ケンブリッジ大学出版局。