熱容量比

熱物理学および熱力学において、熱容量比（断熱指数、比熱比、またはラプラス係数とも呼ばれる）は、定圧熱容量（CP ）と定容熱容量（_CV ）の比です。これは、断熱膨張係数とも呼ばれ、理想気体の場合はγ（_ガンマ） ^{[注1 ]} 、実在気体の場合は断熱指数κ（カッパ）で表されます。記号γは、航空宇宙工学および化学工学の分野で使用されています。 $${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {{\bar {C}}_{P}}{{\bar {C}}_{V}}}={\frac {c_{P}}{c_{V}}},}$$ ここでCは熱容量であり、${\displaystyle {\bar {C}}}$cは気体のモル比熱容量（1モルあたりの熱容量）、cは気体の比熱容量（単位質量あたりの熱容量）を表す。添え字PとVはそれぞれ定圧条件と定容条件を示す。

熱容量比は、熱力学的に可逆な過程、特に理想気体に関わる過程における応用において重要であり、音速はこの係数に依存する。

この関係を理解するために、次の思考実験を考えてみましょう。密閉された空気圧シリンダーに空気が入っています。ピストンは固定されています。内部の圧力は大気圧と同じです。このシリンダーをある目標温度まで加熱します。ピストンは動かないため、体積は一定です。温度と圧力は上昇します。目標温度に達すると、加熱は停止されます。加えられたエネルギー量はC _V Δ Tに等しく、Δ Tは温度変化を表します。

ピストンは解放されて外側へ移動し、チャンバー内の圧力が大気圧に達すると停止します。膨張は熱交換なしで起こる（断熱膨張）と仮定します。この作業により、シリンダー内の空気は目標温度以下まで冷却されます。

目標温度に戻すには（ピストンがまだ自由に動く状態で）、空気を加熱する必要がありますが、ガスが再加熱される際にピストンが自由に動くため、もはや定容状態ではありません。この追加の熱量は、以前に加えられた熱量の約40%増となります。この例では、ピストンがロックされた状態で加えられる熱量はC _Vに比例し、加えられる熱の総量はC _Pに比例します。したがって、この例の熱容量比は 1.4 です。

CPとCV_の違いを理解する別の方法は、CP_は、システムに仕事が行われ、体積が変化する場合（例えば、ピストンを動かしてシリンダーの内容物を圧縮する場合）、またはシステムが仕事を行い、温度が変化する場合（例えば、シリンダー内のガスを加熱してピストンを動かす場合）に適用されるということです。C _Vは、${\displaystyle P\,\mathrm {d} V=0}$つまり、仕事は行われない。ピストンを固定した状態で気体に熱を加える場合と、ピストンが自由に動ける状態で熱を加え、圧力を一定に保つ場合の違いを考えてみよう。

2番目のケースでは、ガスは加熱され膨張し、ピストンが大気に対して機械的な仕事を行う。ガスに加えられた熱は、ガスの加熱に一部だけ使われ、残りはピストンが行う機械的な仕事に変換される。

最初の定容ケース（ピストンが固定されている場合）では、外部の動きがないため、大気に対して機械的な仕事は行われません。そのため、定容比熱（ CV _）が使用されます。2番目のケースでは、体積の変化に伴って追加の仕事が行われるため、この定圧ケースでは、気体の温度を上昇させるのに必要な熱量（比熱容量）が大きくなります。

理想気体の場合、モル比熱はせいぜい温度の関数であり、閉鎖系では内部エネルギーは温度のみの関数である。${\displaystyle U=U(n,T)}$ここで、nは物質のモル量である。熱力学的に言えば、これは理想気体の内部圧力がゼロになるという事実の結果である。

メイヤーの関係式を用いると、より容易に測定でき（そしてより一般的に表に記載されている）定圧モル比熱容量（CP ）の値から、定容モル比熱容量（_{CV ）}の値を導き出すことができる。 $${\displaystyle C_{V}=C_{P}-R.}$$

この関係式は、熱容量が熱容量比（γ）と気体定数（R）を用いて表されることを示すために使用できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&C_{P}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}},&&C_{V}={\frac {R}{\gamma -1}}\\&\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{P}-R}},&&\gamma =1+{\frac {R}{C_{V}}}\end{aligned}}}$$

前述のように、温度が上昇すると、分子ガスはより高エネルギーの振動状態に移行できるようになり、自由度が増加してγが低下します。逆に、温度が低下すると、回転自由度も不均等に分配される可能性があります。その結果、C _PとC _Vはともに温度の上昇とともに増加します。

しかしながら、密度がかなり低く、分子間力が無視できる場合、2つの熱容量は依然として一定の定数（前述のように、C _P = C _V + nR ）だけ異なる値を示す可能性があり、これは定圧条件と定容条件での膨張時に行われる仕事のPV差が比較的一定であることを反映している。したがって、2つの値の比γは、温度の上昇とともに減少する。

しかし、気体の密度が十分に高く、分子間力が重要な場合、後述するように、熱力学的表現を用いて2つの熱容量の関係を正確に記述できることがあります。残念ながら、温度が十分に高く、分子が解離したり、他の化学反応を起こしたりすると、状況はかなり複雑になり、単純な状態方程式から得られる熱力学的表現では不十分になる場合があります。

この比率は、単純な圧縮性熱力学的に完全な理想気体の等エントロピー過程（準静的、可逆的、断熱過程）における重要な関係式を与える。

$${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{const.}}}$$

理想気体の法則を用いると、${\displaystyle PV=nRT}$:$${\displaystyle P^{1-\gamma }T^{\gamma }={\text{const.}}}$$$${\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{const.}}}$$

ここで、Pは気体の圧力、Vは体積、Tは熱力学的温度である。

気体力学では、一定量の気体を考えるのではなく、圧力、密度、温度の局所的な関係に関心があります。密度を考慮することで${\displaystyle \rho =M/V}$単位質量あたりの体積の逆数として、${\displaystyle \rho =1/V}$これらの関係において。エントロピーが一定の場合、${\displaystyle S}$、 我々は持っています${\displaystyle P\propto \rho ^{\gamma }}$、 または${\displaystyle \ln P=\gamma \ln \rho +\mathrm {constant} }$したがって、 $${\displaystyle \gamma =\left({\frac {\partial \ln P}{\partial \ln \rho }}\right)_{\!\!S}={\frac {\rho }{P}}\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{\!\!S}.}$$

不完全気体または非理想気体の場合、チャンドラセカール^{[ 3 ]}は、断熱関係を上記と同じ形式で記述できるように3つの異なる断熱指数を定義しました。これらは恒星構造の理論で使用されています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{1}&=\left({\frac {\partial \ln P}{\partial \ln \rho }}\right)_{\!\!S}={\frac {\rho }{P}}\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{\!\!S},\\[2pt]1-\Gamma _{2}^{-1}&=\left({\frac {\partial \ln T}{\partial \ln P}}\right)_{\!\!S}={\frac {P}{T}}\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{\!\!S},\\[2pt]\Gamma _{3}-1&=\left({\frac {\partial \ln T}{\partial \ln \rho }}\right)_{\!\!S}={\frac {\rho }{T}}\left({\frac {\partial T}{\partial \rho }}\right)_{\!\!S}.\end{aligned}}}$$

これらはすべて等しい${\displaystyle \gamma }$理想気体の場合。

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