多重スケール解析

多重尺度解析法の例として、減衰も強制もないダフィング方程式を考えてみましょう。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y+\varepsilon y^{3}=0,}$$$${\displaystyle y(0)=1,\qquad {\frac {dy}{dt}}(0)=0,}$$これは非線形振動子を記述する 2階常微分方程式である。解y ( t )は、(正の)非線形性パラメータ0 < ε ≪ 1の小さな値に対して求められる。減衰のないダフィング方程式はハミルトン系であることが知られている。     $${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}},\qquad {\frac {dq}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p}},\quad {\text{ただし}}\quad H={\tfrac {1}{2}}p^{2}+{\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4},}$$ ここで、 q  = y ( t ) およびp = dy / dtである。したがって、ハミルトニアンH ( p , q ) は保存量、定数であり、与えられた初期条件に対してH ₀ = 1 / 2 + 1 / 4 εとなる。これは、 qとp の両方が有界でなければならないことを意味する。          $$すべての t について、\left|q\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\quad {\text{ および }}\quad \left|p\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\qquad {\text{ が成り立つ。}$$q の上限は、H を p = 0 と等しいとおいて H ₀とすることで求められます。$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon }$そして、q ^{4 の}項を削除します。これは確かに |q| の上限ですが、q ^{4 の}項を残すと、より複雑な式でより小さな上限が得られます。

この問題に対する通常の摂動級数アプローチは、次のように記述する。${\textstyle y(t)=y_{0}(t)+\varepsilon y_{1}(t)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$そしてこれを減衰のないダフィング方程式に代入する。${\textstyle \varepsilon }$連立方程式を与える $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y_{0}}{dt^{2}}}+y_{0}&=0,\\{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+y_{1}&=-y_{0}^{3}.\end{aligned}}}$$

これらを初期条件の下で解くと、次のようになる。 $${\displaystyle y(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\cos(3t)-{\tfrac {1}{32}}\cos(t)-\underbrace {{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)} _{\text{secular}}\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$$

角括弧内の最後の項は永年項であることに注意してください。つまり、| t |が大きい場合、無限に増加します。特に、${\displaystyle t=O(\varepsilon ^{-1})}$この項はO (1) であり、最高次の項と同じオーダーです。項が無秩序になったため、この級数はもはや解の漸近展開ではありません。

より広い範囲で有効な解決策を構築する${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-1})}$そこで、多重尺度解析法を用いる。遅い尺度t ₁を導入する。 $${\displaystyle t_{1}=\varepsilon t}$$ そして、解y ( t ) はtとt1_の両方に依存する摂動級数解であると仮定し、次のように扱う。 $${\displaystyle y(t)=Y_{0}(t,t_{1})+\varepsilon Y_{1}(t,t_{1})+\cdots .}$$

それで： $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&=\left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}\right)+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t_{1}}}\right)+\cdots \\&={\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\end{aligned}}}$$dt ₁ / dt  = ε を使用します。同様に：  $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+\varepsilon \left(2{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$$

すると、ダフィング方程式の多重尺度摂動級数の零次および一次問題は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+Y_{0}&=0,\\{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}+Y_{1}&=-Y_{0}^{3}-2\,{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}.\end{aligned}}}$$

零次問題の一般解は次のようになる。 $${\displaystyle Y_{0}(t,t_{1})=A(t_{1})\,e^{+it}+A^{\ast }(t_{1})\,e^{-it},}$$ ここで、 A ( t1 ₎は零次解Y0 ( t , t1 )に対する複素数値振幅であり、i2 = ₋₁である。さて、一次問題では、微分方程式の右辺の強制力は次の_ように なる^。   $${\displaystyle \left[-3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}\right]\,e^{+it}-A^{3}\,e^{+3it}+c.c.}$$ ここで、ccは前の項の複素共役を表す。永年項の発生は、未知である振幅A ( t1 )に可解条件を課すことによって防止できる_。$${\displaystyle -3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}=0.}$$

可解条件を満たし、かつ初期条件y (0) = 1およびdy / dt (0) = 0も満たす解は次のとおりである。 $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\,\exp \left({\tfrac {3}{8}}\,i\,t_{1}\right).}$$

その結果、多重尺度解析による近似解は次のようになる。 $${\displaystyle y(t)=\cos \left[\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)t\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}$$t ₁ = εt を使用し、 εt = O(1)に対して有効です。これは、リンドステッド・ポアンカレ法を用いて得られた非線形周波数変化と一致します。

この新しい解決策は、${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-2})}$多重尺度法を用いた高次解では、追加の遅い尺度、すなわちt ₂ = ε ² t、t ₃ = ε ³ tなどを導入する必要がある。しかし、これは摂動級数解に曖昧さを生じさせる可能性があり、慎重な処理が必要となる（Kevorkian & Cole 1996 ; Bender & Orszag 1999 を参照）。^{[ 2 ]}

あるいは、現代のアプローチでは、次に説明する正規形法^{[ 3 ]}のように、座標変換を使用してこれらの種類のモデルを導出します。

解決策${\displaystyle y\approx r\cos \theta }$新たな座標で探されている${\displaystyle (r,\theta )}$振幅${\displaystyle r(t)}$ゆっくりと変化し、位相${\displaystyle \theta (t)}$ほぼ一定の割合で変化する、すなわち${\displaystyle d\theta /dt\approx 1.}$簡単な代数計算で座標変換を求める$${\displaystyle y=r\cos \theta +{\frac {1}{32}}\varepsilon r^{3}\cos 3\theta +{\frac {1}{1024}}\varepsilon ^{2}r^{5}(-21\cos 3\theta +\cos 5\theta )+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})}$$ ダフィングの方程式を半径が一定であるというペアに変換する${\displaystyle dr/dt=0}$そして、位相は次のように進化します。 $${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=1+{\frac {3}{8}}\varepsilon r^{2}-{\frac {15}{256}}\varepsilon ^{2}r^{4}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3}).}$$

つまり、ダフィングの振動は一定の振幅を持つ。${\displaystyle r}$しかし周波数は異なる${\displaystyle d\theta /dt}$振幅に応じて。^{[ 4 ]}

より複雑な例は、複素指数関数を含む時間依存座標変換を用いて処理する方が適切である（これは、前述の多重時間スケールアプローチでも用いられた）。ウェブサービスが、幅広い例に対して解析を実行する。^{[ 5 ]}