磁気拡散

磁気拡散とは、通常、導電性の固体またはプラズマなどの流体が存在する場合の磁場の動きを指します。磁場の動きは磁気拡散方程式によって記述され、主に物質を通じた磁場の誘導と拡散によって生じます。磁気拡散方程式は、物理学でよく使用される偏微分方程式です。この現象を理解することは、磁気流体力学に不可欠であり、天体物理学、地球物理学、電気工学に重要な影響を及ぼします。

磁気拡散方程式（誘導方程式とも呼ばれる）は、 自由空間の透磁率、物質の電気伝導率（一定と仮定）です。はプラズマの（非相対論的）速度を表します。右辺の最初の項はプラズマの誘導による効果を表し、2 番目の項は拡散を表します。後者は散逸項として機能し、磁場エネルギーが熱に失われます。2 つの項の相対的な重要性は、 磁気レイノルズ数によって特徴付けられます。$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right] +{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}}$$${\displaystyle \mu_{0}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle R_{m}}$

しかし、伝導率が均一でない場合 、磁気拡散方程式を解くのは非常に難しくなります。 $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times \left[{\frac {1}{\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}\right]}$$

一般化されたオームの法則から始めると：^{[1] [2]} および小さな変位電流（すなわち低周波） に対する回転方程式をアンペール・マクスウェルの法則に 代入 して次の式を得ます： 上式の回転をファラデーの法則に代入すると、 この式は、のi番目の要素とレヴィ・チェビタテンソル で表すことでさらに簡略化できます： 恒等式^{[3] を}使用し、 を思い出すと、外積を消去できます： ベクトル形式で書くと、最終的な式は次 のようになります。 ここで、 は物質導関数です。 これは、ベクトル解析の恒等式と を使用して、より便利な形式に並べ替えることができます： の場合、これは磁場 の拡散方程式になります 。 ここで、は磁気拡散率です。 $${\displaystyle {\vec {J}}=\sigma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)}$$$${\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\about \mu _{0}{\vec {J}}}$$ $${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$$${\displaystyle {\vec {J}}}$$${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}={\vec {E}}+{\vec {v}}\times { \vec {B}}\quad \Rightarrow \quad {\vec {E}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}-{\vec {v}}\time {\vec {B}}.}$$$${\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}-{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}.}$$${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial B_{i}}{\partial t}}&=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}\left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\varepsilon _{klm}\partial _{l}B_{m}-\varepsilon _{klm}v_{l}B_{m}\right)\\&=\varepsilon _{kij}\varepsilon _{klm}\left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\partial _{j}\partial _{l}B_{m}-\left(v_{l}\partial _{j}B_{m}+B_{m}\partial _{j}v_{l}\right)\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{kij}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}}$${\displaystyle \partial _{j}B_{j}=0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial B_{i}}{\partial t}}&={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\left(\partial _{i}\partial _{j}B_{j}-\partial _{j}\partial _{j}B_{i}\right)-\left(v_{i}\partial _{j}B_{j}-v_{j}\partial _{j}B_{i}\right)-\left(B_{j}\partial _{j}v_{i}-B_{i}\partial _{j}v_{j}\right)\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\partial _{j}\partial _{j}B_{i}+v_{j}\partial _{j}B_{i}-\left(B_{j}\partial _{j}v_{i}-B_{i}\partial _{j}v_{j}\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}={\frac {D{\vec {B}}}{Dt}}=\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}-{\vec {B}}\left(\nabla \cdot {\vec {v}}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}}$$${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla }$${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times [{\vec {v}}\times {\vec {B}}]+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}}$$${\displaystyle {\vec {v}}=0}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}=\eta \nabla ^{2}{\vec {B}}}$$${\displaystyle \eta ={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}}$

場合によっては、磁気拡散方程式の項の 1 つを無視することが可能です。これは、磁気レイノルズ数を推定することによって行われます。 ここで、は拡散率、はプラズマの速度の大きさ、はプラズマの特性長さです。 $${\displaystyle R_{m}={\frac {vL}{\eta }}}$$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle v}$${\displaystyle L}$

低周波数では、AC電磁場が導体に浸透する 表皮深さは 次のようになります。 の式と比較すると、表皮深さは1周期の振動における電磁場の拡散長です。 ${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2}{\mu \sigma \omega }}}}$$${\displaystyle \eta }$$${\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2\eta }{\omega }}}={\sqrt {\frac {\eta T}{\pi }}}}$$

限界 では、磁力線は導電性流体の運動に 「固定」されます。この動作を示す簡単な例として、 均一な初期磁場 を持つ正弦波状に変化するせん断流が挙げられます。この限界 の方程式には、解があります^[4] 右の図からわかるように、流体は磁力線を引きずり、流れ場の正弦波特性を獲得します。 ${\displaystyle R_{m}\gg 1}$$${\displaystyle {\vec {v}}=v_{0}\sin(ky){\hat {x}}}$$${\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}},0\right)=B_{0}{\hat {y}}}$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times [{\vec {v}}\times {\vec {B}}]}$ $${\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {r}},t\right)=B_{0}kv_{0}t\cos(ky){\hat {x}}+B_{0}{\hat {y}}}$$

極限 では、磁気拡散方程式は熱方程式のベクトル値形式に過ぎません。導電性材料内の局所的な初期磁場（ガウス分布など）の場合、最大値と最小値は、与えられた境界条件に対するラプラス方程式と一致する値に漸近的に減少します。 ${\displaystyle R_{m}\ll 1}$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}}$

単純な形状の静止導体の場合、磁気拡散時間と呼ばれる時定数を導くことができます。^[5] 一定の透磁率を持つ導体スラブと導体シリンダーには、異なる1次元方程式が適用されます。また、鋼鉄などの非線形飽和材料に対しても、異なる拡散時間方程式を導くことができます。 ${\displaystyle (R_{m}=0)}$