誘導方程式

電磁流体力学において、誘導方程式はプラズマなどの導電性流体の磁場と速度を関係付ける偏微分方程式である。マクスウェル方程式やオームの法則から導出され、プラズマ物理学や天体物理学、特にダイナモ理論で重要な役割を果たしている。

ファラデーの法則とアンペールの法則を説明するマクスウェル方程式は次のようになります 。 ここ で、 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} \over \partial t},}$$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} ,}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$電界です。
• ${\displaystyle \mathbf {B} }$磁場です。
• ${\displaystyle \mu_{0}}$真空透磁率です。
• ${\displaystyle \mathbf {J} }$電流密度です。

変位電流はプラズマでは無視できる。自由電荷が運ぶ電流に比べて無視できるほど小さいからである。唯一の例外は、非常に高い周波数の現象の場合である。例えば、典型的な電気伝導率が10 ⁷  mho /mのプラズマの場合、変位電流は2 × 10未満の周波数では自由電流の10 ^{3倍小さくなる。14Hz}  。

電界はオームの法則を使って電流密度と関係づけられる。 ここで $${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\mathbf {J} /\sigma }$$

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$速度場です。
• ${\displaystyle \sigma}$流体の電気伝導率です。

これら 3 つの方程式を組み合わせて、およびを消去すると、電気抵抗流体の誘導方程式が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$$${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} +\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$$

ここで磁気拡散率である（文献では、電気抵抗率は と定義され、磁気拡散率と同一視されることが多い）。^[1]${\displaystyle \eta =1/\mu _{0}\sigma }$${\displaystyle 1/\sigma }$

流体が典型的な速度と典型的な長さスケールで動く場合、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle \eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \sim {\eta B \over L^{2}},\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\ sim {VB \over L}.}$$

これらの量の比は無次元パラメータであり、磁気レイノルズ数と呼ばれます。 $${\displaystyle R_{m}={LV \over \eta }.}$$

無限の電気伝導率を持つ流体の場合、誘導方程式の最初の項は消えます。これは非常に大きな磁気レイノルズ数に相当します。たとえば、典型的な星では10 ⁹のオーダーになります。この場合、流体は完全流体または理想流体と呼ぶことができます。したがって、ほとんどの天体プラズマのような理想的な導電性流体の誘導方程式は、 ${\displaystyle \eta \to 0}$$${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}=\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$$

これはダイナモ理論では良い近似であると考えられており、恒星、銀河、降着円盤などの天体物理学的環境における磁場の進化を説明するために使用されます。

より一般的には、完全伝導限界の式は、無限の電気伝導率ではなく、空間スケールの大きな領域に適用されます (つまり、)。これは、磁気レイノルズ数も非常に大きくなり、拡散項を無視できるためです。この限界は「理想 MHD」と呼ばれ、その最も重要な定理はアルヴェンの定理(凍結磁束定理とも呼ばれます) です。 ${\displaystyle \eta \to 0}$

非常に小さい磁気レイノルズ数では、拡散項が対流項を上回ります。たとえば、 の値が大きい電気抵抗流体では、磁場は非常に速く拡散し、アルヴェンの定理は適用できません。これは、磁気エネルギーが熱や他の種類のエネルギーに消散することを意味します。誘導方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \eta}$$${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} .}$$

長さスケールにわたって磁気エネルギーが散逸する時間スケールである散逸時間スケールを定義するのが一般的です。 ${\displaystyle \tau _{d}=L^{2}/\eta }$${\displaystyle L}$

• アルヴェンの定理
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