磁気流体力学的乱流

磁気流体力学的乱流は、高レイノルズ数における磁気流体の流れの混沌とし​​た状態に関するものです。磁気流体力学（MHD）は、プラズマのような非常に高い導電率を持つ準中性流体を扱います。流体近似は、衝突長さと衝突時間よりもはるかに大きいマクロな長さと時間スケールに焦点を当てることを意味します。宇宙の可視物質のほとんどがプラズマ状態であり、このプラズマは主に乱流状態にあるため、MHD乱流を理解することは非常に重要です。

質量密度が一定の場合の非圧縮性MHD方程式は、$\displaystyle \rho _{\text{m}}=1}$、 は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,&{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p+\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {B} +\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\\[8pt]\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {B} &=\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {u} +\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} .\\[5pt]\end{aligned}}}$$

どこ

• uは速度を表し、
• Bは磁場を表し、
• pは全圧力（熱＋磁場）場を表し、
• ${\displaystyle \nu }$は動粘度であり、
• ${\displaystyle \eta }$磁気拡散率を表す。

3番目の式は非圧縮性条件です。上記の式では、磁場はアルフベン単位（速度単位と同じ）で表されます。つまり、 ${\displaystyle \mathbf {B} }$正規化される${\displaystyle \mathbf {B} /{\sqrt {\mu _{0}\rho }}}$。

全磁場は2つの部分に分けられる。${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B_{0}} +\mathbf {b} }$（平均値＋変動値）

上記の方程式をエルゼッサー変数で表すと（${\displaystyle \mathbf {z} ^{\pm }=\mathbf {u} \pm \mathbf {b} }$） は

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {z} ^{\pm }}{\partial t}}\mp \left(\mathbf {B} _{0}\cdot \nabla \right)\mathbf {z} ^{\pm }+\left(\mathbf {z} ^{\mp }\cdot \nabla \right)\mathbf {z} ^{\pm }=-\nabla p+\nu _{+}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\pm }+\nu _{-}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\mp }}$$

どこ${\textstyle \nu _{\pm }={\frac {1}{2}}(\nu \pm \eta )}$アルヴェン波の変動の間には非線形相互作用が生じる。$\displaystyle z^{\mp }}$。

MHDの重要な無次元パラメータは

• レイノルズ数${\displaystyle Re=UL/\nu }$
• 磁気レイノルズ数${\displaystyle Re_{M}=UL/\eta }$
• 磁気プラントル数${\displaystyle P_{M}=\nu /\eta }$。

磁気プラントル数は流体の重要な特性です。液体金属は磁気プラントル数が小さく、例えば液体ナトリウムは${\displaystyle P_{M}}$あたり$10^{-5}}$しかしプラズマは大きな${\displaystyle P_{M}}$。

レイノルズ数は非線形項の比率である${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} }$ナビエ・ストークス方程式の粘性項に対する比。磁気レイノルズ数は、誘導方程式の非線形項と拡散項の比である。

多くの実際的な状況では、レイノルズ数は${\displaystyle Re}$流れの速度と磁場は非常に大きい。このような流れでは、通常、速度と磁場はランダムである。このような流れはMHD乱流を示すと言われる。${\displaystyle Re_{M}}$MHD乱流の場合、必ずしも大きい必要はない。${\displaystyle Re_{M}}$ダイナモ（磁場発生）問題において重要な役割を果たす。

平均磁場はMHD乱流において重要な役割を果たし、例えば乱流を異方性にしたり、エネルギーカスケードを減少させることで乱流を抑制したりすることができます。初期のMHD乱流モデルでは乱流の等方性を仮定していましたが、後期のモデルでは異方性の側面が研究されています。MHD乱流に関するより詳しい議論は、Biskamp ^{[ 1 ]}、Verma ^{[ 2 ]} 、Galtierを参照してください。

イロシニコフ^{[ 3 ]}とクライヒナン^{[ 4 ]}は、MHD乱流の最初の現象論的理論を定式化した。彼らは、強い平均磁場が存在する場合、$\displaystyle z^{+}}$そして${\displaystyle z^{-}}$波束は位相速度で反対方向に伝わります${\displaystyle B_{0}}$、そして弱く相互作用する。関連する時間スケールはアルヴェーン時間である。${\displaystyle (B_{0}k)^{-1}}$その結果、エネルギー スペクトルは

どこ${\displaystyle \Pi }$はエネルギーカスケード率です。

その後、Dobrowolny ら^{[ 5 ] は}、カスケード速度に関する以下の一般化された式を導出した。${\displaystyle z^{\pm }}$変数:

どこ${\displaystyle \tau ^{\pm }}$相互作用の時間スケールは${\displaystyle z^{\pm }}$変数。

イロシニコフとクライヒナンの現象学は、私たちが選択すると${\displaystyle \tau ^{\pm }\approx 1/(kV_{A})}$。

マーシュ^{[ 6 ]}は非線形時間スケールを選択した${\displaystyle T_{NL}^{\pm }\approx (kz_{k}^{\mp })^{-1}}$渦の相互作用時間スケールと、エルサッサー変数から導出されたコルモゴロフ型エネルギースペクトルとして：

どこ${\displaystyle \Pi ^{+}}$そして${\displaystyle \Pi ^{-}}$エネルギーカスケード率は${\displaystyle z^{+}}$そして${\displaystyle z^{-}}$それぞれ、${\displaystyle K^{\pm }}$これらは定数です。

MatthaeusとZhou ^{[ 7 ]}は、相互作用時間をアルフベン時間と非線形時間の調和平均と仮定することで、上記の2つの時間スケールを組み合わせようと試みた。

競合する2つの現象論（-3/2と-5/3）の主な違いは、相互作用時間として選択された時間スケールです。主な前提は、イロシニコフとクライヒナンの現象論は強い平均磁場に対して有効であるのに対し、マーシュの現象論は変動が平均磁場を支配する場合（強い乱流）に有効であるということです。

しかし、後述するように、太陽風の観測と数値シミュレーションは、平均磁場が変動よりも強い場合でも、−5/3 エネルギー スペクトルを好む傾向があります。この問題は、Verma ^{[ 8 ]}が繰り込み群解析を用いて、アルフベン波の変動がスケール依存の「局所平均磁場」の影響を受けることを示すことで解決しました。局所平均磁場は次のようにスケールします。${\displaystyle k^{-1/3}}$これをドブロウォルニーの式に代入すると、MHD乱流に対するコルモゴロフのエネルギースペクトルが得られる。

再正規化群解析も、再正規化された粘性および抵抗率を計算するために実施された。これらの拡散量は次のようにスケーリングすることが示された。${\displaystyle k^{-4/3}}$それによって再び${\displaystyle k^{-5/3}}$エネルギースペクトルは、MHD乱流のコルモゴロフ型モデルと一致する。上記の繰り込み群計算は、クロスヘリシティがゼロの場合とゼロでない場合の両方について実行された。

上記の現象論は等方性乱流を前提としているが、平均磁場が存在する場合にはそうではない。平均磁場は通常、平均磁場の方向に沿ったエネルギーカスケードを抑制する。^{[ 9 ]}

平均磁場は乱流を異方性にする。極限では${\displaystyle \delta z^{\pm }\ll B_{0}}$解析理論を構築することで、漸近的に長時間にわたるエネルギー スペクトルの進化を記述する運動方程式が得られる。この研究は、コルモゴロフ・ザハロフ スペクトルを発見したGaltier ら^{[ 10 ]によって行われた。}

$${\displaystyle E(k)\sim (\Pi B_{0})^{1/2}k_{\parallel }^{1/2}k_{\perp }^{-2}}$$

どこ${\displaystyle k_{\parallel }}$そして${\displaystyle k_{\perp }}$これらは、平均磁場に平行および垂直な波数成分である。上記の極限は弱波乱流と呼ばれ、スペクトルはMHD乱流の厳密解である。

強い乱流限界の下では、${\displaystyle \delta z^{\pm }\sim B_{0}}$ゴルデライヒとスリダー^{[ 11 ]}は次のように主張している。${\displaystyle k_{\perp }z_{k_{\perp }}\sim k_{\parallel }B_{0}}$（「臨界平衡状態」）これは、

$${\displaystyle {\begin{aligned}E(k)&\propto k_{\perp }^{-5/3};\\[5pt]k_{\parallel }&\propto k_{\perp }^{2/3}\end{aligned}}}$$

上記の異方性現象論は、大きなクロスヘリシティMHDにも拡張されている。

太陽風プラズマは乱流状態にある。研究者らは、宇宙船から収集したデータから太陽風プラズマのエネルギースペクトルを計算した。運動エネルギーおよび磁気エネルギースペクトル、さらに${\displaystyle E^{\pm }}$より近い${\displaystyle k^{-5/3}}$に比べ${\displaystyle k^{-3/2}}$そのため、MHD乱流のコルモゴロフ型現象論が有利となる。^{[ 12 ] [ 13 ]}惑星間および星間電子密度の変動も、MHD乱流を調査するための窓を提供する。

上述の理論モデルは、高解像度直接数値シミュレーション（DNS）を用いて検証されています。最近のシミュレーションでは、スペクトル指数が5/3に近いと報告されています。^{[ 14 ]}一方で、スペクトル指数が3/2に近いと報告しているものもあります。べき乗則の領域は通常、10年未満です。5/3と3/2は数値的に非常に近いため、エネルギー スペクトルから MHD 乱流モデルの妥当性を確認することは非常に困難です。

エネルギーの流れ${\displaystyle \Pi ^{\pm }}$MHD乱流モデルを検証するためのより信頼性の高い量となる可能性がある。${\displaystyle E^{+}(k)\gg E^{-}(k)}$（高クロスヘリシティ流体または不均衡MHD）KraichnanおよびIroshnikovモデルのエネルギーフラックス予測は、Kolmogorov型モデルの予測とは大きく異なります。DNSを使用してフラックスが${\displaystyle \Pi ^{\pm }}$数値シミュレーションから計算された値は、KraichnanおよびIroshnikovモデルと比較して、Kolmogorovのようなモデルとよりよく一致している。^{[ 15 ]}

^{MHD乱流の異方性も数値シミュレーションを用いて研究されている。GoldreichとSridhar [ 11 ]}の予測（${\displaystyle k_{\parallel }\sim k_{\perp }^{2/3}}$）は多くのシミュレーションで検証されている。注意深く検証するのがより難しい波の乱流領域も検証されている。^{[ 16 ]}

速度場と磁場場のさまざまなスケール間でのエネルギー伝達は、MHD乱流における重要な問題です。これらの量は理論的にも数値的にも計算されています。^{[ 2 ]}これらの計算は、大規模な速度場から大規模な磁場への顕著なエネルギー伝達を示しています。また、磁気エネルギーのカスケードは典型的には順方向です。これらの結果は、ダイナモ問題に重大な影響を与えます。

この分野には多くの未解決の課題があり、数値シミュレーション、理論モデル、実験、観測（例えば太陽風）の助けを借りて、近い将来解決されることが期待される。

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