ランダウ減衰

理論的処理は、非相対論的ゼロ磁場極限におけるブラソフ方程式、すなわちブラソフ・ポアソン方程式系から始まる。小さな極限において明示的な解が得られる。${\displaystyle E}$-フィールド。分布関数${\displaystyle f}$そしてフィールド${\displaystyle E}$一連の展開として以下が挙げられます。${\displaystyle f=f_{0}(v)+f_{1}(x,v,t)+\cdots }$、${\displaystyle E=E_{1}(x,t)+E_{2}(x,t)+\cdots }$そして、同位の項が集められる。

ヴラソフ・ポアソン方程式を 一次近似するには、以下をお読みください。$${\displaystyle (\partial _{t}+v\partial _{x})f_{1}+{e \over m}E_{1}f'_{0}=0,\quad \partial _{x}E_{1}={e \over \epsilon _{0}}\int f_{1}\mathrm {d} v.}$$

ランダウは^{[ 2 ]}初期擾乱によって引き起こされる波を計算した${\displaystyle f_{1}(x,v,0)=g(v)\exp(ikx)}$そして、ラプラス変換と経路積分を用いて、次の形式の減衰進行波を発見した。${\displaystyle \exp[ik(x-v_{\text{ph}}t)-\gamma t]}$波数​${\displaystyle k}$減衰の減少 $${\displaystyle \gamma \approx -{\pi \omega _{p}^{3} \over 2k^{2}N}f'_{0}(v_{\text{ph}}),\quad N=\int f_{0}\mathrm {d} v.}$$

ここ${\displaystyle \omega _{p}}$はプラズマ振動周波数であり、${\displaystyle N}$は電子密度です。後にニコ・ファン・カンペンは^{[ 11 ]}フーリエ変換でも同じ結果が得られることを証明しました。彼は、線形化されたVlasov–Poisson方程式が、現在ファン・カンペンモードとして知られる特異な正規モードの連続スペクトルを持つことを示しました。 $${\displaystyle {\frac {\omega _{p}^{2}}{kN}}f'_{0}{\frac {\mathcal {P}}{kv-\omega }}+\epsilon \delta \left(v-{\frac {\omega }{k}}\right)}$$ ここ、${\displaystyle {\mathcal {P}}}$元本価値を表します。${\displaystyle \delta }$はデルタ関数（一般化関数を参照）で あり、$${\displaystyle \epsilon =1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{kN}}\int f'_{0}{\frac {\mathcal {P}}{\omega -kv}}\mathrm {d} v}$$ はプラズマの誘電率である。これらのモードにおける初期擾乱を分解すると、結果として生じる波のフーリエスペクトルが得られる。減衰は、これらのフーリエモードが、付近でわずかに異なる周波数で位相混合することによって説明される。${\displaystyle \omega _{p}}$。

しかし、無衝突プラズマにおける減衰は、何がエネルギーを吸収するのかという疑問を提起した。プラズマを分散性誘電体媒体としてモデル化する流体理論では、^{[ 12 ]}ラングミュア波のエネルギーは既知であり、場のエネルギーにブリルアン因子を乗じた値である。${\displaystyle \partial _{\omega }(\omega \epsilon )}$しかし、このモデルでは減衰を導出することはできません。波と共鳴電子とのエネルギー交換を計算するには、ブラソフプラズマ理論を2次まで拡張する必要があり、適切な初期条件や永年項に関する問題が生じます。

文献^{[ 13 ]}では、これらの問題が研究されている。無限波の計算は2次精度で不十分であるため、波束が解析される。2次精度の初期条件が見つかり、それによって永年的な挙動が抑制され、エネルギーが流体理論と一致する波束が励起される。図は、群速度で移動する波束のエネルギー密度を示しており、そのエネルギーは位相速度で移動する電子によって運ばれる。曲線の下の面積である全エネルギーは保存される。

厳密な数学理論は、発展方程式（ここでは偏微分方程式であるVlasov–Poisson方程式）のコーシー問題を解き、その解に関する評価を証明することに基づいている。

まず、ランダウ以来、かなり完全な線形化された数学理論が開発されてきた。^{[ 14 ]}

線形化された方程式を超えて非線形性を扱うことは、ランダウ減衰の数学理論における長年の問題であった。以前は、非線形レベルでの数学的結果の1つとして、散乱法を用いて^{[ 15 ]で証明された、円内のVlasov–Poisson方程式の指数関数的に減衰する解のクラスの存在があった（この結果は最近[ 16 ]}で拡張された）。しかし、これらの存在結果は、どのような初期データがそのような減衰解につながるかについては何も述べていない。

フランスの数学者セドリック・ヴィラニとクレマン・ムオが発表した論文^{[ 17 ]}では、初期データの問題が解決され、非線形ヴラソフ方程式に対してランダウ減衰が初めて数学的に確立された。線形安定な同次定常解の近傍（解析的またはジェヴレー位相の場合）から始まる解は、すべての時間において（軌道的に）安定であり、時間的に全体的に減衰することが証明されている。減衰現象は、正則性の伝達という観点から再解釈される。${\displaystyle f}$関数として${\displaystyle x}$そして${\displaystyle v}$それぞれ、エネルギーの交換ではなく。大規模な変動は速度空間でますます小さな規模の変動へと移行し、フーリエスペクトルのシフトに対応します。${\displaystyle f}$関数として${\displaystyle v}$線形理論ではよく知られているこの変化は、非線形の場合にも当てはまることが証明されている。

当初は不可能と考えられていた機械的なN体記述により、ニュートンの運動第二法則とフーリエ級数を用いてランダウ減衰を厳密に計算することが可能になった。^{[ 10 ]}この導出には、ブラソフ方程式もラプラス変換も必要ない。波と電子のエネルギー（より正確には運動量）交換の計算も同様に行われる。この計算により、ランダウ減衰をほぼ共鳴する通過粒子の同期として解釈することが直感的に理解できる。