ベクターボルノロジー

集合体に関する学問${\displaystyle X}$コレクション$\displaystyle {\mathcal {B}}}$サブセットの${\displaystyle X}$以下のすべての条件を満たすもの：

1. $\displaystyle {\mathcal {B}}}$カバー${\displaystyle X;}$つまり、${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$
2. $\displaystyle {\mathcal {B}}}$介在物に対して安定している。つまり、${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そして${\displaystyle A\subseteq B,}$それから${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$
3. $\displaystyle {\mathcal {B}}}$有限和の下で安定している。つまり、${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$それから$\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$

コレクションの要素$\displaystyle {\mathcal {B}}}$と呼ばれる$\displaystyle {\mathcal {B}}}$-有界または単に有界な集合の場合$\displaystyle {\mathcal {B}}}$理解されている。${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$これは境界構造またはボルノロジー集合と呼ばれます。

生物学の基礎または基本システム$\displaystyle {\mathcal {B}}}$部分集合である$\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$の$\displaystyle {\mathcal {B}}}$各要素$\displaystyle {\mathcal {B}}}$ある要素のサブセットである$\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$コレクションが与えられた場合$\displaystyle {\mathcal {S}}}$サブセットの${\displaystyle X,}$最小のボルノロジーを含む$\displaystyle {\mathcal {S}}}$は、${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$そして${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$出生学のセットは、その製品の出生学です${\displaystyle X\times Y}$ボルノロジーは、すべての集合の形式を基礎としている。${\displaystyle B\times C,}$どこ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そして${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$^{[ 1 ]} サブセット${\displaystyle X\times Y}$が積ボルノロジーで有界であるのは、その像が正準射影によって に写像される場合に限る。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$両方とも有界である。

もし${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$そして${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$出生集合は関数である${\displaystyle f:X\to Y}$が、(これらのボルノロジーに関して)局所的に境界のあるマップまたは境界のあるマップであるとは、それがマップする場合である。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$-境界付き部分集合${\displaystyle X}$に$\displaystyle {\mathcal {C}}}$-境界付き部分集合${\displaystyle Y;}$つまり、もし${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)\subseteq {\mathcal {C}}.}$^{[ 1 ]} さらに${\displaystyle f}$は全単射であり、${\displaystyle f^{-1}}$も有界である${\displaystyle f}$これは、ボルノロジー的同型性と呼ばれます。

させて${\displaystyle X}$体上のベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {K} }$どこ${\displaystyle \mathbb {K} }$出生学がある${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ 出生学$\displaystyle {\mathcal {B}}}$の上${\displaystyle X}$ベクターボルノロジーと呼ばれる${\displaystyle X}$ベクトル加算、スカラー乗算、バランスのとれた包の形成に関して安定している場合（つまり、2 つの有界集合の和が有界である場合など）。

もし${\displaystyle X}$はベクトル空間であり、$\displaystyle {\mathcal {B}}}$出生学は${\displaystyle X,}$すると、以下は同等である。

1. $\displaystyle {\mathcal {B}}}$ベクターボルノロジー
2. 有限和とバランスのとれたハル$\displaystyle {\mathcal {B}}}$-有界集合は$\displaystyle {\mathcal {B}}}$-境界付き^{[ 1 ]}
3. スカラー乗算マップ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$定義される${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$そして追加マップ${\displaystyle X\times X\to X}$定義される${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$ドメインが積ボルノロジーを持つ場合（つまり、有界部分集合を有界部分集合にマッピングする場合）、両方とも有界である^{[ 1 ]}

ベクターボルノロジー$\displaystyle {\mathcal {B}}}$凸包の形成に関して安定している場合（つまり、有界集合の凸包が有界である場合）、凸ベクトルボルノロジーと呼ばれます。$\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ そしてベクターボルノロジー$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、唯一の有界ベクトル部分空間である場合に分離されていると呼ばれます。${\displaystyle X}$0次元自明空間${\displaystyle \{0\}.}$

いつもの、${\displaystyle \mathbb {K} }$実数または複素数のいずれかであり、その場合はベクトルボルノロジー$\displaystyle {\mathcal {B}}}$の上${\displaystyle X}$凸ベクトルボルノロジーと呼ばれるのは、$\displaystyle {\mathcal {B}}}$凸集合からなる基底を持つ。

させて${\displaystyle \mathbb {K} }$実数または複素数（通常のボルノロジーを備えたもの）を、${\displaystyle (T,{\mathcal {B}})}$は境界構造であり、${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$は、すべての局所的に有界なベクトル空間を表す。${\displaystyle \mathbb {K} }$上の -値マップ${\displaystyle T.}$ すべての${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$させて${\displaystyle p_{B}(f):=\sup \left|f(B)\right|}$すべての人々のために${\displaystyle f\in LB(T,\mathbb {K} ),}$ここで、これは半ノルムを定義する。${\displaystyle X.}$ 局所凸位相ベクトル空間トポロジー${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$半規範のファミリーによって定義される${\displaystyle \left\{p_{B}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$これは有界集合上の一様収束の位相と呼ばれます。^{[ 1 ]} この位相は${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$完全な空間へ。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle T}$位相空間である、${\displaystyle \mathbb {K} }$を実数または複素数とし、${\displaystyle C(T,\mathbb {K} )}$すべての連続ベクトル空間を表す${\displaystyle \mathbb {K} }$上の -値マップ${\displaystyle T.}$等連続部分集合 の集合${\displaystyle C(T,\mathbb {K} )}$ベクトルボルノロジーを形成する${\displaystyle C(T,\mathbb {K} ).}$^{[ 1 ]}