ボルノロジー

もし${\displaystyle {\mathcal {A}}}$そして$\displaystyle {\mathcal {B}}}$出生学は${\displaystyle X}$それから$\displaystyle {\mathcal {B}}}$と言われているより細かいまたはより強い${\displaystyle {\mathcal {A}}}$そしてまた${\displaystyle {\mathcal {A}}}$と言われている粗いまたはより弱い$\displaystyle {\mathcal {B}}}$もし$\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}.}$^{[ 5 ]}

集合の族${\displaystyle {\mathcal {A}}}$と呼ばれるベースまたは出生学の基本システム$\displaystyle {\mathcal {B}}}$もし${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}}$そしてすべての${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$存在する${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$そのため${\displaystyle B\subseteq A.}$

集合の族$\displaystyle {\mathcal {S}}}$と呼ばれる出生学のサブベース$\displaystyle {\mathcal {B}}}$もし${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}}$そして、すべての有限集合の和集合は$\displaystyle {\mathcal {S}}}$基礎を形成する$\displaystyle {\mathcal {B}}.}$^{[ 5 ]}

出生学のあらゆる基礎は、同時にその下位基礎でもある。

（1つ以上の）ボルノロジーの集合の交差${\displaystyle X}$再び出生学${\displaystyle X.}$ このようなボルノロジーの交差点は、${\displaystyle X}$なぜなら、すべてのボルノロジーは${\displaystyle X}$すべての有限部分集合を含む${\displaystyle X}$（つまり、もし$\displaystyle {\mathcal {B}}}$出生学は${\displaystyle X}$そして${\displaystyle F\subseteq X}$有限であれば${\displaystyle F\in {\mathcal {B}}}$)このような交差は、(部分集合)包含と有限和の下でも閉じていることが容易に検証でき、したがって、ボルノロジーになります。${\displaystyle X.}$

コレクションが与えられた場合$\displaystyle {\mathcal {S}}}$サブセットの${\displaystyle X,}$最小のボルノロジー${\displaystyle X}$含む$\displaystyle {\mathcal {S}}}$と呼ばれる出生学は$\displaystyle {\mathcal {S}}}$^{[ 5 ]} これは、すべてのボルノロジーの交差に等しい。${\displaystyle X}$含まれる$\displaystyle {\mathcal {S}}}$部分集合として。この共通部分は、冪集合が明確に定義されているため、明確に定義されます。${\displaystyle \wp (X)}$の${\displaystyle X}$常に生まれ学${\displaystyle X,}$だからどの家族も$\displaystyle {\mathcal {S}}}$サブセットの${\displaystyle X}$常に少なくとも１つのボルノロジーに含まれています${\displaystyle X.}$

もし${\displaystyle f:X\to Y}$が2つの位相ベクトル空間（必ずしもハウスドルフ空間ではない）間の連続線形作用素である場合、それは有界線形作用素である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$フォン・ノイマン境界構造を持ち、集合が境界を持つのは、それが起源のすべての近傍に吸収される場合に限る（これらは、他の境界構造が明示的に言及されていない場合に通常境界を持つと呼ばれるTVSの部分集合である）。一般に、その逆は成り立たない。

連続的なマップ${\displaystyle f:X\to Y}$2 つの TVS 間の距離は必然的に局所的に制限される。^{[ 5 ]}

もし${\displaystyle f:S\to X}$地図であり$\displaystyle {\mathcal {B}}}$出生学は${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle \left[f^{-1}({\mathcal {B}})\right]}$は、${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B):B\in {\mathcal {B}}\right\},}$これは、逆イメージボルノロジーまたは初期ボルノロジーと呼ばれ、${\displaystyle f}$の上${\displaystyle S.}$^{[ 5 ]}

させて${\displaystyle S}$セットである、${\displaystyle \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$になる${\displaystyle I}$-インデックス付き境界構造の族、そして${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$になる${\displaystyle I}$-インデックス付きマップのファミリー${\displaystyle f_{i}:S\to T_{i}}$すべての${\displaystyle i\in I.}$ の逆画像ボルノロジー${\displaystyle {\mathcal {A}}}$の上${\displaystyle S}$これらの地図によって決定された最も強力なボルノロジーは${\displaystyle S}$それぞれを作る${\displaystyle f_{i}:(S,{\mathcal {A}})\to \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)}$^{局所的に境界が定められている。このボルノロジーは[ 5 ]}と等しい。${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in I}\left[f^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)\right]}.}$

させて${\displaystyle S}$セットである、${\displaystyle \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$になる${\displaystyle I}$-インデックス付き境界構造の族、そして${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$になる${\displaystyle I}$-インデックス付きマップのファミリー${\displaystyle f_{i}:T_{i}\to S}$すべての${\displaystyle i\in I.}$ の直接画像による出生学${\displaystyle {\mathcal {A}}}$の上${\displaystyle S}$これらの地図によって決定された最も弱いボルノロジーは${\displaystyle S}$それぞれを作る${\displaystyle f_{i}:\left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)\to (S,{\mathcal {A}})}$局所的に有界である。各${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$は、${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}_{i}\right),}$すると、このボルノロジーはすべての部分集合の集合に等しい${\displaystyle A}$の${\displaystyle S}$形式${\displaystyle \cup _{i\in I}A_{i}}$それぞれ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$そして有限個を除くすべて${\displaystyle A_{i}}$空です。^{[ 5 ]}

仮に${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$境界構造であり、${\displaystyle S}$のサブセットである${\displaystyle X.}$ の亜空間ボルノロジー${\displaystyle {\mathcal {A}}}$の上${\displaystyle S}$最高のボルノロジー${\displaystyle S}$インクルージョンマップを作成する${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {B}})}$の${\displaystyle S}$の中へ${\displaystyle X}$（定義される）${\displaystyle s\mapsto s}$）局所的に有界である。^{[ 5 ]}

させて${\displaystyle \left(X_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$になる${\displaystyle I}$-インデックス付き境界構造の族、${\displaystyle X={\textstyle \prod \limits _{i\in I}X_{i}},}$そしてそれぞれについて${\displaystyle i\in I,}$させて${\displaystyle f_{i}:X\to X_{i}}$は正準射影を表す。製品誕生学${\displaystyle X}$逆画像ボルノロジーは、正準投影によって決定される${\displaystyle f_{i}:X\to X_{i}.}$ つまり、それは最も強力な出生学である${\displaystyle X}$それぞれの正準射影を局所的に有界にする。積ボルノロジーの基底は次のように与えられる。${\displaystyle {\textstyle \left\{\prod \limits _{i\in I}B_{i}~:~B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}{\text{ for all }}i\in I\right\}}.}$^{[ 5 ]}

位相空間の部分集合${\displaystyle X}$の閉包が のコンパクト部分空間である場合、 は相対的にコンパクトであると呼ばれる。${\displaystyle X.}$ 任意の位相空間${\displaystyle X}$単一要素部分集合が比較的コンパクトである空間（ T1空間など）において、すべての比較的コンパクトな部分集合の集合は${\displaystyle X}$出生学を形成する${\displaystyle X}$と呼ばれるコンパクトなボルノロジー${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]} T1空間 間の連続写像はすべて、そのコンパクトな境界に関して有界である。

比較的コンパクトな部分集合の集合${\displaystyle \mathbb {R} }$出生学を形成する${\displaystyle \mathbb {R} .}$このボルノロジーの基礎は、次の形式のすべての閉区間によって与えられる。${\displaystyle [-n,n]}$のために${\displaystyle n=1,2,3,\ldots .}$

距離空間が与えられた場合${\displaystyle (X,d),}$メトリックボルノロジーはすべての部分集合から構成される${\displaystyle S\subseteq X}$最高位が${\displaystyle \sup _{s,t\in S}d(s,t)<\infty }$有限である。

同様に、測度空間が与えられた場合${\displaystyle (X,\Omega ,\mu ),}$すべての可測部分集合の族${\displaystyle S\in \Omega }$有限尺度（つまり${\displaystyle \mu (S)<\infty }$）ボルノロジーを形成する${\displaystyle X.}$

仮に${\displaystyle X}$は位相空間であり、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$出生学は${\displaystyle X.}$

集合のすべての位相的内部の集合によって生成されるボルノロジー${\displaystyle {\mathcal {B}}}$（つまり、${\displaystyle \{\operatorname {int} B:B\in {\mathcal {B}}\}}$と呼ばれる内部​${\displaystyle {\mathcal {B}}}$そして、で表されます。${\displaystyle \operatorname {int} {\mathcal {B}}.}$^{[ 5 ]} 出生学${\displaystyle {\mathcal {B}}}$と呼ばれる開く場合${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {int} {\mathcal {B}}.}$

集合のすべての位相的閉包の集合によって生成されるボルノロジー${\displaystyle {\mathcal {B}}}$（つまり、${\displaystyle \{\operatorname {cl} B:B\in {\mathcal {B}}\}}$）は閉鎖​${\displaystyle {\mathcal {B}}}$そして、で表されます。${\displaystyle \operatorname {cl} {\mathcal {B}}.}$^{[ 5 ]} 我々は必然的に${\displaystyle \operatorname {int} {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {cl} {\mathcal {B}}.}$

出生学${\displaystyle {\mathcal {B}}}$と呼ばれる以下のいずれかの同等の条件を満たす場合、閉鎖されます。

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {cl} {\mathcal {B}};}$
2. の閉部分集合${\displaystyle X}$生成する${\displaystyle {\mathcal {B}}}$; ^{[ 5 ]}
3. すべての閉鎖${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$に属する${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$^{[ 5 ]}

出生学${\displaystyle {\mathcal {B}}}$と呼ばれる適切な場合${\displaystyle {\mathcal {B}}}$開いていると同時に閉じている。^{[ 5 ]}

位相空間${\displaystyle X}$と呼ばれる地元で${\displaystyle {\mathcal {B}}}$- 有界または局所的に有界場合、すべての${\displaystyle x\in X}$近隣には${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ 局所的に有界な位相空間のコンパクト部分集合はすべて有界である。^{[ 5 ]}

もし${\displaystyle X}$が位相ベクトル空間(TVS)である場合、 のすべての有界部分集合の集合は${\displaystyle X}$出生学（実際には、ベクター出生学）を形成する${\displaystyle X}$と呼ばれるフォン・ノイマンの出生学${\displaystyle X}$、通常の出生学、または単にボルノロジー​${\displaystyle X}$そして、自然な有界性。 ^{[ 5 ]}任意の局所凸TVS において${\displaystyle X,}$すべての閉じた有界円盤の集合は、通常のボルノロジーの基礎を形成する。${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]}

2つのボルノロジー空間間の線形写像は、それが（通常のボルノロジーに関して）有界である場合に限り、連続である。

仮に${\displaystyle X}$は可換位相環である。部分集合${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$と呼ばれる各近傍について有界集合${\displaystyle U}$起源の${\displaystyle X,}$近隣地域が存在する${\displaystyle V}$起源の${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle SV\subseteq U.}$^{[ 5 ]}