マッキートポロジー

関数解析や数学の関連分野において、ジョージ・マッキーにちなんで名付けられたマッキー位相は、連続双対を維持する位相ベクトル空間の最も優れた位相です。言い換えると、マッキー位相は、デフォルトの位相では不連続であった線形関数を連続にしません。位相ベクトル空間(TVS) は、その位相がマッキー位相と同じである場合に マッキー空間と呼ばれます。

マッキー位相は、連続双対におけるすべての線形関数の連続性を保存する 位相ベクトル空間上の最も粗い位相である弱位相の逆です。

Mackey -Arens 定理は、すべての可能な双対トポロジーは弱いトポロジーよりも細かく、Mackey トポロジーよりも粗いことを述べています。

ペアリングが 与えられた場合、によって誘導される上のMackey位相は、上のすべてのコンパクトディスクの集合を使用して定義される極位相である。${\displaystyle (X,Y,b),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,Y,b),}$${\displaystyle \tau (X,Y,b),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

に Mackey 位相が備わっている場合、曖昧さが生じなければ または単に またはで表されます。${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\tau (X,Y,b)}}$${\displaystyle X_{\tau (X,Y)}}$${\displaystyle X_{\tau }}$

が連続である場合、線型写像は（ペアリングとに関して）マッキー連続であると言われます。 ${\displaystyle F:X\to W}$${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (W,Z,c)}$${\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}$

位相ベクトル空間(TVS)の Mackey 位相の定義は、ペアリングの Mackey 位相の上記の定義を特殊化したものです。 が連続双対空間を持つ TVS である場合、上の評価写像は標準ペアリングと呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle \left(x,x^{\prime }\right)\mapsto x^{\prime }(x)}$${\displaystyle X\times X^{\prime }}$

で表されるTVS上のMackey位相は、標準ペアリングによって誘導されるMackey位相である。${\displaystyle X,}$${\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

つまり、Mackey 位相は、内のすべての弱*コンパクトディスクの集合を使用して得られる 上の極位相です。 に Mackey 位相が備わっている 場合、曖昧さが生じない場合は または単にで表されます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}}$${\displaystyle X_{\tau }}$

が連続する場合、TVS 間の線形写像はMackey 連続です。 ${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle F:\left(X,\tau \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\tau \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$

連続双対を持つすべての距離化可能な 局所凸空間 は Mackey 位相を持ちます。つまり、より簡潔に言えば、すべての距離化可能な局所凸空間はMackey 空間です。 ${\displaystyle (X,\nu )}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \nu =\tau \left(X,X^{\prime }\right)}$

すべてのハウスドルフ バレル局所凸空間はマッキーです。

あらゆるフレシェ空間は マッキー位相を持ち、その位相は強位相と一致する。つまり、${\displaystyle (X,\nu )}$${\displaystyle \nu =\tau \left(X,X^{\prime }\right)=\beta \left(X,X^{\prime }\right).}$

マッキー位相は、無限に多くの商品が存在する経済に応用できる。^[1]

• デュアルシステム
• マッキー空間 – 数学の概念
• 極位相 – 有界部分集合の一部の集合上で一様収束する双対空間位相
• 強力なトポロジー
• 線型写像の空間上の位相
• 弱位相 – 数学用語

• ブルバキ、ニコラス(1977)。位相ベクトル空間。数学の原論。アディソン・ウェズレー。
• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Mackey, GW (1946). 「凸位相線形空間について」. Trans. Amer. Math. Soc . 60 (3). アメリカ数学会誌、第60巻、第3号: 519–537. doi :10.2307/1990352. JSTOR  1990352. PMC  1078623 .
• ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Robertson, AP; WJ Robertson (1964)。位相ベクトル空間。ケンブリッジ数学論文集。第53巻。ケンブリッジ大学出版局。62ページ。
• シェーファー、ヘルムート H. (1971)。位相ベクトル空間。GTM 。第3巻。ニューヨーク：シュプリンガー出版社。p. 131。ISBN 0-387-98726-6。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• AI Shtern (2001) [1994]、「Mackey トポロジー」、数学百科事典、EMS プレス