バナッハ尺度

数学の測度論において、バナッハ測度は、一般的に用いられるルベーグ測度と整合性がありながら拡張された、ユークリッド平面のすべての部分集合に大きさ（または面積）を割り当てる特定の方法である。平面にはルベーグ測度を持たない部分集合も存在するが、平面のすべての部分集合はバナッハ測度を持つ。一方、ルベーグ測度は可算加法であるのに対し、バナッハ測度は有限加法である（そのため「内容」と呼ばれる）。

シュテファン・バナッハは1923年にバナッハ測度の存在を証明した。^{[ 1 ]}この証明は特に、ユークリッド空間R3におけるバナッハ＝タルスキーのパラドックスによってもたらされる逆説的な分解は^{、ユークリッド平面}R2には存在し得ないことを明らかにし^た。

R ⁿ上のバナッハ測度^{[ 2 ]}は関数である${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]} ( R ⁿの各部分集合に非負の拡張実数を割り当てる) となるように

• μは有限加法性を持つ、すなわち${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$互いに素な2つの集合について$\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$;
• μはルベーグ測度λを拡張します。つまり、${\displaystyle \mu (A)=\lambda (A)}$全てのルベーグ可測集合に対して$\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$;
• μはR ⁿの等長変換に対して不変である。${\displaystyle \mu (A)=\mu (f(A))}$すべての$\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$そしてすべての等長変換${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$。

μの有限加法性は、${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ そして${\displaystyle \mu (A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (A_{i})}$互いに素な任意の集合に対して${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$また、${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$いつでも${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。

μはルベーグ測度を拡張するものなので、${\displaystyle \mu (A)=0}$Aが有限集合または可算集合であり、かつ${\displaystyle \mu ([a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})}$任意の区間の積について${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。

μは等長変換に対して不変であるため 、特に回転変換と並進変換に対して不変である。

シュテファン・バナッハは、 R ¹とR ²上にバナッハ測度が存在することを示した。これらの結果は、 R ¹とR ²の等長変換群が可解であるという事実から導き出すことができる。

これらの尺度の存在は、 1 次元または 2 次元におけるバナッハ・タルスキーのパラドックスの不可能性を証明している。有限ルベーグ測度の 1 次元または 2 次元の集合を、異なるルベーグ測度を持つ集合に再構成できる有限個の集合に分解することは不可能である。なぜなら、これはルベーグ測度を拡張するバナッハ測度の性質に違反するからである。^{[ 3 ]}

逆に、 n ≥ 3のすべての次元でバナッハ・タルスキーのパラドックスが存在することは、これらの次元ではバナッハ測度が存在し得ないことを示している。

ヴィタリのパラドックスが示すように、バナッハ測度は可算加法測度に強化することはできません。すべてのn ≥ 1に対して、ルベーグ可測でないR ⁿの部分集合が存在します。

これらの結果のほとんどは、何らかの選択公理に依存している。選択公理を用いずにツェルメロ＝フレンケル集合論の公理のみを用いると、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを導出することはできず、ルベーグ測度でない集合の存在を証明することもできない（後者の主張は、到達不可能な基数の存在が矛盾しないという、かなり弱く広く信じられている仮定に依存している）。選択公理がない場合、 R ¹およびR ²上のバナッハ測度の存在も証明できない。^{[ 4 ]}特に、これらのバナッハ測度に対する具体的な公式は与えられない。