不定形

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  図1：y = ⁠ x / x ⁠
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  図2：y = ⁠ x ² / x ⁠
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  図3： y = sin x / x 
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  図4：y = ⁠ x − 49 / √ x − 7 ⁠ ( x = 49の場合)
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  図5 ：y = a x / xただしa = 2
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  図6：y = ⁠ x / x ³ ⁠

不定形${\displaystyle 0/0}$これは微積分において特に一般的であり、極限を用いた導関数の定義を用いて導関数を評価する際にしばしば現れる。

前述のとおり、

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }$（図1参照）

その間

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }$（図2参照）

これは、${\displaystyle 0/0}$は不定形です。この不定形を持つ他の例には、

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }$（図3参照）

そして

${\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }$（図4参照）

数値を直接代入すると${\displaystyle x}$これらの表現のいずれかにアプローチすると、これらは不定形に対応する例であることがわかります${\displaystyle 0/0}$しかし、これらの制限値はさまざまな値をとることができます。任意の希望値${\displaystyle a}$この不定形については、以下のようにして得ることができます。

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }$（図5参照）

価値${\displaystyle \infty }$（無限大への発散という意味で）以下の式も得られる。

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }$（図6参照）

y = xのグラフ⁰

y = 0 ^xのグラフ

以下の限界は、式が${\displaystyle 0^{0}}$不定形です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}&=1,\\\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}&=0.\end{aligned}}}$$

したがって、一般的に、${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0}$そして${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$限界を評価するには不十分です $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}$$

関数が${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$分析的である${\displaystyle c}$、 そして${\displaystyle f}$はプラスです${\displaystyle x}$十分に近い（ただし等しくはない）${\displaystyle c}$すると、${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$になるだろう${\displaystyle 1}$[ ^{3 ]}それ以外の場合は、下の表の変換を使用して極限を評価します^。

その表現${\displaystyle 1/0}$は、一般的に不定形とはみなされない。なぜなら、極限が${\displaystyle f(x)/g(x)}$として${\displaystyle g(x)\rightarrow 0}$が存在する場合、その値に曖昧さはなく、常に発散する。具体的には、制約条件として、${\displaystyle f(x)}$アプローチ${\displaystyle 1}$そして${\displaystyle g(x)}$アプローチ${\displaystyle 0,}$私たちは選択することができます${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$となることによって：

1. ${\displaystyle f(x)/g(x)}$アプローチ${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f(x)/g(x)}$アプローチ${\displaystyle -\infty }$
3. 限界は存在しない。

いずれの場合も絶対値は${\displaystyle |f(x)/g(x)|}$アプローチ${\displaystyle +\infty }$商は${\displaystyle f(x)/g(x)}$拡張実数の意味では発散しなければならない（射影的に拡張された実数直線の枠組みでは、極限は符号なし無限大である）。${\displaystyle \infty }$（3つのケースすべてにおいて）。^{[ 4 ]}同様に、次の形式の表現${\displaystyle a/0}$と${\displaystyle a\neq 0}$（含む${\displaystyle a=+\infty }$そして${\displaystyle a=-\infty }$）は不定形ではありません。なぜなら、そのような式を生み出す商は常に発散するからです。

その表現${\displaystyle 0^{\infty }}$不定形ではありません。${\displaystyle 0^{+\infty }}$考慮して得られた${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$限界値を与える${\displaystyle 0,}$ただし、${\displaystyle f(x)}$非負のまま${\displaystyle x}$アプローチ${\displaystyle c}$表現${\displaystyle 0^{-\infty }}$同様に、${\displaystyle 1/0}$; もし${\displaystyle f(x)>0}$として${\displaystyle x}$アプローチ${\displaystyle c}$極限値は次のようになる${\displaystyle +\infty }$。

その理由を知るには、${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$どこ${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$そして${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$両辺の自然対数を取って${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$それは理解しています${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$つまり${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

2つの変数${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$同じ極限点に収束し、${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$それらは等価無限小(equiv.${\displaystyle \alpha \sim \beta }$)

さらに、変数が${\displaystyle \alpha '}$そして${\displaystyle \beta '}$次のような${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$そして${\displaystyle \beta \sim \beta '}$、 それから： $${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$$

以下に簡単な証明を示します。

2つの等価な無限小があると仮定します${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$そして${\displaystyle \beta \sim \beta '}$。

$${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$$

不定形式の評価について${\displaystyle 0/0}$等価な無限小に関する以下の事実を利用できます（例：${\displaystyle x\sim \sin x}$xがゼロに近づく場合): ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&\sim \sin x,\\x&\sim \arcsin x,\\x&\sim \sinh x,\\x&\sim \tan x,\\x&\sim \arctan x,\\x&\sim \ln(1+x),\\1-\cos x&\sim {\frac {x^{2}}{2}},\\\cosh x-1&\sim {\frac {x^{2}}{2}},\\a^{x}-1&\sim x\ln a,\\e^{x}-1&\sim x,\\(1+x)^{a}-1&\sim ax.\end{aligned}}}$$

例えば：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$$

2番目の等式では、${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$どこ${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$yが0に近づくにつれて、${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$どこ${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$は第4の等式で使用され、${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$第5の等式で使用されています。

ロピタルの定理は、不定形を評価するための一般的な方法である。${\displaystyle 0/0}$そして${\displaystyle \infty /\infty }$この規則は、（適切な条件下で）

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$$

どこ${\displaystyle f'}$そして${\displaystyle g'}$は、​${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$（このルールは式には適用されないことに注意してください）${\displaystyle \infty /0}$、${\displaystyle 1/0}$（これらの式は不定形ではないので、など）これらの導関数によって代数的な簡略化を行い、最終的に極限を評価することができます。

ロピタルの定理は、適切な代数変換を最初に行うことで、他の不定形にも適用できます。たとえば、0 ^{0 の}形式を評価するには、次のようにします。

$${\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}$$

右辺は次の形式です${\displaystyle \infty /\infty }$したがって、ロピタルの定理が適用されます。自然対数(ln) は連続関数であるため、この等式は (右辺が定義されている限り) 有効であることに注意してください。 の挙動は関係ありません。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$長さは（または長さは）${\displaystyle f}$漸近的に正の値をとる。（対数の定義域はすべての正の実数の集合である。）

ロピタルの法則は両方に適用されるが${\displaystyle 0/0}$そして${\displaystyle \infty /\infty }$特定のケースでは、これらの形式のうち一方が他方よりも有用である可能性があります（後で代数的に簡略化できる可能性があるため）。これらの形式は、変換によって変更できます。${\displaystyle f/g}$に${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$。

• ヴァールバーグ、デール E.パーセル、エドウィン J.リグドン、スティーブン E. (2007)。微積分学(第 9 版)。ピアソン・プレンティス・ホール。ISBN 978-0131469686。