内部代数

抽象代数において、内部代数は、集合の位相的内部の概念をコード化する特定のタイプの代数構造です。内部代数は、位相と様相論理S4に対して、ブール代数が集合論と通常の命題論理に対してであるようなものです。内部代数は、さまざまな様相代数を形成します。

内部代数とは、シグネチャ

⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, ^I ⟩

どこ

⟨ S , ·, +, ′, 0, 1⟩

はブール代数であり、接尾辞^{I は}単項演算子、つまり内部演算子を表し、次の恒等式を満たします。

1. x ≤ x^​
2. x ^II = x ^I
3. ( xy )^私= x^私y^私
4. 1^私= 1

x ^{I は}xの内部と呼ばれます。

内部演算子の双対は、 x C = (( x ′) I )′ で定義される閉包演算子 C です。x C^はxの閉包^と呼ばれます ^。双対^性の原理により、閉包演算子は次の恒等式を満たします。

1. xC ≥ x^​
2. xCC = xC^​​
3. ( x + y ) ^C = x ^C + y ^C
4. 0 ^℃ = 0

閉包演算子をプリミティブとすると、内部演算子はx ^I = (( x ′) ^C )′ と定義できます。したがって、内部代数の理論は、内部演算子の代わりに閉包演算子を使用して定式化できます。その場合、 ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, ^C ⟩の形式の閉包代数を検討します。ここで、⟨ S , ·, +, ′, 0, 1⟩ は再びブール代数であり、^{C は}閉包演算子の上記の恒等式を満たします。閉包代数と内部代数は双対を形成し、「演算子を持つブール代数」の典型的な例です。この主題に関する初期の文献 (主にポーランドの位相幾何学) では閉包演算子が参照されていましたが、 Wim Blokの研究に続いて、内部演算子の定式化が最終的に標準になりました^{[引用が必要]}。

条件x ^I = x を満たす内部代数の元は、開元と呼ばれます。開元の補元は閉元と呼ばれ、条件x ^C = xによって特徴付けられます。元の内部は常に開元であり、元の閉包は常に閉元です。閉元の内部は正則開元と呼ばれ、開元の閉包は正則閉元と呼ばれます。開いていて閉じている元は、閉開元と呼ばれます。0 と 1 は閉開元です。

内部代数は、そのすべての要素が開いている (つまり、閉じている) 場合、ブール型と呼ばれます。ブール内部代数は、その内部演算子と閉包演算子が意味のある追加構造を提供しないため、通常のブール代数と同一視できます。特殊なケースは、0 = 1 の恒等式を特徴とする単一要素内部代数である 自明内部代数のクラスです。

内部代数は代数構造であるため、準同型性を持ちます。2 つの内部代数AとBが与えられたとき、写像f  : A → B が内部代数準同型 となるのは、 f がAとBの基礎となるブール代数間の準同型であり、内部と閉包も保存される場合のみです 。したがって、

• 関数 f ( x ^)は、関数 f ( x )の^絶対値です。
• ^関数f ( x )は、^次の式で表されます。

同型写像は、内部代数間の射のもう一つの重要な、より一般的なクラスです。写像f  : A → Bが同型写像であるためには、fがAとB の基礎となるブール代数間の準同型写像であり、 Aの開元と閉元も保存する必要があります。したがって、

• xがAで開いている場合、f ( x ) はBで開いている。
• xがAで閉じている場合、f ( x ) はBで閉じています。

(このような射は、安定準同型や閉包代数半準同型とも呼ばれます。) すべての内部代数準同型は位相同型ですが、すべての位相同型が内部代数準同型であるとは限りません。

初期の研究では、基礎となるブール代数の準同型であるが、必ずしも内部演算子または閉包演算子を保存しない内部代数間のマッピングがしばしば検討されました。このようなマッピングはブール準同型と呼ばれていました。(これらが保存される場合に閉包準同型または位相準同型という用語は使用されていましたが、普遍代数における準同型の標準的な定義ではすべての演算を保存することが求められるため、この用語は現在では不要です。) 可算完全な内部代数 (可算な会合と結合が常に存在する、σ 完全とも呼ばれる) を含むアプリケーションでは、通常、可算な会合と結合を保存する可算完全なブール準同型 (ブール σ 準同型とも呼ばれる) が使用されました。

連続性を内部代数に一般化した最も初期のものは、連続写像の逆像写像に基づくシコルスキーのものである。これはブール準同型であり、列の和集合を保存し、逆像の閉包を閉包の逆像に含めます。したがって、シコルスキーは連続準同型を、 f ( x ) ^C ≤ f ( x ^C )となる 2 つの σ 完全内部代数間のブール σ 準同型fとして定義しました。この定義にはいくつかの困難がありました。構成は反変的に作用し、一般化ではなく連続写像の双対を生成します。一方では、σ 完全性は逆像写像を特徴付けるには弱すぎます (完全性が必要)。他方では、一般化には制限が厳しすぎます。 (シコルスキーは非 σ 完全準同型写像の使用について言及したが、閉包代数の公理には σ 完全性を含めた。) 後に J. シュミットは、連続準同型写像または内部代数の連続射を、 f ( x ^C ) ≤ f ( x ) ^Cを満たす 2 つの内部代数間のブール準同型写像fとして定義した。これは、連続写像の順方向像写像を一般化するものであり、閉包の像は像の閉包に含まれる。この構成は共変であるが、連続写像から連続射を構成できるのは全単射の場合のみであるため、圏論的応用には適さない。 (C. ナチュルマンはシコルスキーのアプローチに戻り、σ 完全性を捨てて上記で定義した位相同型写像を作成した。この用語では、シコルスキーの元の「連続準同型写像」は σ 完全内部代数間の σ 完全位相同型写像である。)

位相空間 X = ⟨ X , T ⟩が与えられたとき、Xの冪集合ブール代数を形成することができる。

⟨ P ( X ), ∩, ∪, ′, ø, X ⟩

そしてそれを内部代数に拡張する

A ( X ) = ⟨ P ( X ) , ∩, ∪, ′, ø, X , ^I ⟩,

ここで^Iは通常の位相的内部演算子である。すべてのS⊆Xに対して、Iは次のように定義される。

S ^I = ∪ { O | O ⊆ SかつOはXにおいて開いている}

すべてのS⊆Xに対して、対応する閉包演算子は次のように与えられる 。

S ^C = ∩ { C | S ⊆ CかつCはXで閉じている}

S ^{I は}Sの最大の開部分集合であり、S ^{C は}XにおけるSの最小の閉集合である。内部代数A ( X ) の開元、閉元、正則開元、正則閉元、閉開元は、通常の位相的な意味では、それぞれ Xの開元、閉元、正則開元、正則閉元、閉開元である。

すべての完全な 原子内代数は、何らかの位相空間Xに対する形式A ( X )の内代数と同型です。さらに、すべての内代数はそのような内代数に埋め込むことができ、内代数の表現を集合の位相体として与えます。構造A ( X ) の特性は、内代数の定義の動機そのものです。この位相との密接な関係のため、内代数はトポブール代数または位相ブール代数とも呼ばれています。

2つの位相空間間の 連続写像が与えられた場合

f  :  X  →  Y

完全な位相同型性 を定義することができる

A ( f ) :  A ( Y ) →  A ( X )

による

A ( f )( S ) = f ⁻¹ [ S ]

Yのすべての部分集合Sに対して成り立ちます。2 つの完全な原子内部代数間のすべての完全な位相同型は、この方法で導出できます。Top が位相空間と連続写像のカテゴリであり、 Cit が完全な原子内部代数と完全な位相同型写像のカテゴリである場合、 TopとCit は双対同型であり、A  :  Top  →  Cit はカテゴリの双対同型である反変関手です。 A ( f ) が準同型であるための必要十分条件は、f が連続開写像である場合です。

このカテゴリの双対同型性の下では、多くの自然な位相的性質が代数的性質に対応し、特に連結性の性質は既約性の性質に対応する。

• Xが空であるのは、 A ( X ) が自明な場合のみである
• Xが非離散的であるのは、 A ( X )が単純である場合に限ります。
• Xが離散的である場合、かつその場合のみ、 A ( X )はブール値である。
• Xがほぼ離散的であるためには、 A ( X )が半単純である必要がある。
• Xが有限生成(Alexandrov) であるためには、 A ( X ) が演算子完全であること、すなわち、その内部演算子と閉包演算子がそれぞれ任意の会合と結合にわたって分配されることが
• Xが連結である場合、そしてその場合のみ、 A ( X )は直接分解不可能である。
• Xが超連結であるためには、 A ( X ) が有限部分直約不可能である
• Xがコンパクト超連結であるための必要十分条件は、A ( X )が部分直約不可能な場合である。

開集合の位相による位相空間の現代的な定式化は、内部代数の別の定式化を促している。一般化された位相空間は、次の形式の 代数構造である。

⟨ B、·、+、′、0、1、T ⟩

ここで ⟨ B , ·, +, ′, 0, 1⟩ は通常通りブール代数であり、T はB （ Bのサブセット）上の単項関係で、次のようになります。

1. 0,1 ∈ T
2. T は任意の結合に対して閉じている（つまり、 Tの任意の部分集合の結合が存在する場合、それはTに含まれる）
3. Tは有限集合に対して閉じている
4. Bのあらゆる要素bに対して、結合Σ{ a ∈ T | a ≤ b }が存在する。

T はブール代数における 一般化された位相であると言われています。

内部代数が与えられると、その開元は一般化された位相を形成する。逆に、一般化された位相空間が与えられると、

⟨ B、·、+、′、0、1、T ⟩

b ^I = Σ{ a ∈ T | a ≤ b }によってB上の内部演算子を定義することができ、それによって開元が正確にTである内部代数が生成されます。したがって、一般化された位相空間は内部代数と同値です。

内部代数を一般化された位相空間と見なすと、位相同型写像はブール代数の標準的な準同型写像に関係が追加されたものであり、普遍代数の標準的な結果が適用されます。

近傍の位相的概念は、内積代数に一般化できます。内積代数の元y は、 x ≤ y ^Iの場合、元xの近傍と呼ばれます。 xの近傍の集合はN ( x )で表され、フィルターを形成します。これにより、内積代数の別の定式化が導かれます。

ブール代数上の近傍関数は、その基礎となる集合Bからそのフィルター集合への マッピングNであり、次のようになります。

1. すべてのx ∈ Bに対して、max{ y ∈ B | x ∈ N ( y )}が存在する。
2. すべてのx、y ∈ Bに対して、y ≤ z ≤ xかつz ∈ N ( z )となるz ∈ Bが存在する場合のみ、x ∈ N ( y )です。

内部代数の要素Nからその近傍のフィルタへのマッピングは、内部代数の基礎となるブール代数上の近傍関数です。さらに、基礎となる集合Bを持つブール代数上の近傍関数Nが与えられた場合、 x ^I = max{y ∈ B | x ∈ N ( y )}によって内部演算子を定義し、内部代数を取得できます。すると、 ⁠ ⁠ はまさにこの内部代数におけるxの近傍のフィルタになります。したがって、内部代数は、指定された近傍関数を持つブール代数と同等です。 ${\displaystyle N(x)}$

近傍関数の観点から見ると、開元とはまさにx ∈ N ( x )となる元x のことです。開元x ∈ N ( y )に関しては、 y ≤ z ≤ xとなる開元zがある場合に限ります。

近傍関数は、より一般的には(meet)-半格子上で定義され、近傍 (半) 格子と呼ばれる構造を生成します。したがって、内部代数は、ブール近傍格子、つまり基礎となる半格子がブール代数を形成する近傍格子 と見なすことができます。

様相論理S4における理論（形式文の集合）Mが与えられた場合、そのリンデンバウム・タルスキー代数を形成することができる。

L ( M ) = ⟨ M / ~, ∧, ∨, ¬, F , T , □⟩

ここで、 ~ はM内の文の同値関係であり、 pとq がM内で論理的に同値である場合に限り、p ~ qによって与えられ、M / ~ はこの関係による同値類の集合です。この場合、L ( M ) は内部代数です。この場合の内部演算子は様相演算子□ (必然的) に対応し、閉包演算子は ◊ (おそらく) に対応します。この構成は、様相代数と様相論理 のより一般的な結果の特殊なケースです。

L ( M )の開いた要素は、必然的に真である場合にのみ真となる文に対応し、閉じた要素は、必然的に偽である場合にのみ偽となる文に対応します。

S4との関係から、内部代数はS4 代数、または様相論理S4とS5を最初に提案した論理学者C. I. ルイスにちなんでルイス代数と呼ばれることもあります。

内部代数は演算子を持つ（通常の）ブール代数であるため、適切な関係構造上の集合体によって表現できます。特に、それらは様相代数であるため、単一の二項関係を持つ集合上の集合体として表現でき、これをクリプキフレームと呼びます。内部代数に対応するクリプキフレームは、まさに順序付き集合です。順序付き集合（S4フレームとも呼ばれる）は様相論理S4のクリプキ意味論を提供し、内部代数と順序の関係は様相論理との関係に深く関係しています。

順序付き集合 X = ⟨ Xが与えられたとき、«⟩ 内部代数を構築することができる。

B ( X ) = ⟨ P ( X ), ∩, ∪, ′, ø, X , ^I ⟩

Xの冪 集合ブール代数から、内部演算子^Iは次のように与えられる。

S ^I = { x ∈ X | （すべてのy ∈ Xに対して） 、x «  y はy ∈ Sを意味する} （すべてのS ⊆ Xに対して。

対応する閉包演算子は次のように与えられる。

S ^C = { x ∈ X |すべてのS ⊆ Xに対して、 y ∈ Sが存在し、 y «  x }となります。

S ^{I は}S の外部の世界からアクセスできないすべての世界の集合であり、S ^{C は}S内のある世界からアクセス可能なすべての世界の集合である。すべての内部代数は、何らかの順序付き集合Xに対して形式B ( X )の内部代数に埋め込むことができ、集合の体(順序付き体)として上記の表現を与える。

この構成と表現の定理は、様相代数とクリプキフレームのより一般的な結果の特殊なケースです。この点で、内部代数は位相との関連で特に興味深いものです。この構成により、順序付き集合 Xに位相、つまりアレクサンドロフ位相が提供され、開集合が次の位相空間 T ( X ) になります。

{ O ⊆ X | すべてのx ∈ Oおよびすべてのy ∈ Xに対して、x «  y はy ∈ Oを意味します}。

対応する閉集合は次のとおりです。

{ C ⊆ X | すべてのx ∈ Cおよびすべてのy ∈ Xに対して、y «  x はy ∈ Cを意味します}。

言い換えれば、開集合とは、その世界が外部からアクセスできない集合（アップセット）であり、閉集合とは、その世界が内部からアクセスできない集合（ダウンセット）です。さらに、B ( X ) = A ( T ( X ) ) です。

任意のモナドブール代数は、内部演算子が全称量指定子で、閉包演算子が存在量指定子である内部代数と見なすことができます。モナドブール代数は、正確には、恒等式x ^IC = x ^Iを満たす内部代数の多様体です。言い換えると、それらは正確に、すべての開元が閉元である内部代数、または同値として、すべての閉元が開元である内部代数です。さらに、そのような内部代数は正確に半単純内部代数です。それらはまた、様相論理S5に対応する内部代数であるため、 S5 代数とも呼ばれています。

順序付き集合と内部代数の関係において、それらは順序が同値関係である場合に対応し、そのような順序付き集合がS5のクリプキ意味論を提供するという事実を反映している。これはまた、モナド論理による量化（モナド論理による量化の代数的記述を提供する）とS5の関係を反映しており、様相演算子 □ (必然的) と ◊ (おそらく) は、それぞれモナド普遍量化と存在量化を使用して、アクセス可能性関係を参照せずにクリプキ意味論で解釈できる。

内部代数の開元はヘイティング代数を形成し、閉元は双対ヘイティング代数を形成する。正則開元と正則閉元は、それぞれこれらの代数の擬似補元と双対擬似補元に対応し、ブール代数を形成する。閉開元は補元に対応し、これらのブール代数と内部代数自体の共通部分代数を形成する。すべてのヘイティング代数は内部代数の開元として表すことができ、後者はその開元によって生成される内部代数として選択することができる。このような内部代数は、後者の自由ブール拡張であるヘイティング代数（同型性を除く）と 1 対 1 に対応する。

ヘイティング代数は、内在代数が様相論理S4に対して果たす役割やブール代数が命題論理に対して果たす役割と同じ役割を直観論理に対して果たします。ヘイティング代数と内在代数の関係は、直観論理とS4の関係を反映しており、直観論理の理論を必然性の下で閉じたS4理論として解釈することができます。ヘイティング代数と、その開元によって生成される内在代数との間の 1 対 1 の対応は、直観論理の拡張と様相論理S4.Grzの通常の拡張との間の対応を反映しています。

内部代数Aが与えられた場合、閉包演算子は微分演算子D^の公理に従います。したがって、閉包演算子を微分演算子として使用することで、 Aと同じ基礎ブール代数を持つ微分代数 D ( A ) を形成できます。

したがって、内部代数は微分代数です。この観点から、それらはまさに恒等式x ^D ≥ xを満たす微分代数の多様体です。微分代数は、様相論理wK4に適切な代数的意味を提供します。したがって、微分代数は位相導来集合とwK4に対応し、内部/閉包代数は位相内部/閉包とS4に対応します。

微分代数Vと微分演算子^{Dが与えられたとき、} Vと同じ基礎ブール代数を持つ内部代数I ( V )を形成できます。内部演算子と閉包演算子はそれぞれx ^I = x · x ′ ^D ′とx ^C = x + x ^Dで定義されます。したがって、すべての微分代数は内部代数と見なすことができます。さらに、内部代数Aが与えられたとき、 I ( D ( A )) = Aが成り立ちます。ただし、D ( I ( V )) = V はすべての微分代数Vに対して必ずしも成立するわけではありません。

ストーン双対性は、ブール代数とブール空間として知られる位相空間のクラスとの間の圏論的双対性を提供する。関係意味論の初期の考え（後にクリプキによって形式化された）とRSピアスの結果に基づいて、ジョンソン、タルスキ、およびG.ハンスールは、冪集合構成を介して演算子に対応する関係をブール空間に装備することにより、ストーン双対性を演算子付きブール代数に拡張した。内部代数の場合、内部（または閉包）演算子はブール空間上の事前順序に対応する。内部代数間の準同型性は、擬似エピモフィズムまたは略してp射として知られるブール空間間の連続写像のクラスに対応する。ヨンソン-タルスキ表現に基づく内部代数へのストーン双対性のこの一般化は、レオ・エサキアによって研究され、S4-代数（内部代数）のエサキア双対性としても知られ、ヘイティング代数のエサキア双対性と密接に関連しています。

ストーン双対性のヨンソン-タルスキによる一般化は一般に演算子を含むブール代数に適用されますが、内部代数と位相の関係により、内部代数に固有のストーン双対性を一般化する別の方法が可能になります。ストーン双対性の発展における中間ステップは、ブール代数を集合体として表すストーンの表現定理です。次に、集合体を位相的基底として使用して、対応するブール空間のストーン位相が生成されます。ルイスの様相論理のためにタン・ツァオ・チェンが導入した位相的意味論に基づいて、マッキンゼーとタルスキは、開元に対応する複体のみを基底として使用するのと同等の位相を生成することにより、内部代数の表現が位相的集合体、つまり内部または閉包を取ることに関して閉じている位相空間上の集合体として得られることを示しまし た。 C. ナチュルマンは、集合の位相体に体写像として知られる適切な射を備えることによって、このアプローチが、ブール代数の通常のストーン双対性が冗長な内部演算子を持つ内部代数 (ブール内部代数) の場合に対応するカテゴリー理論的ストーン双対性として形式化できることを示しました。

ヨンソン-タルスキのアプローチで得られる前順序は、S4 理論のクリプキ意味論におけるアクセス可能性関係に対応し、一方、中間集合体は、理論の文が成り立つクリプキ意味論における可能世界の集合を用いた理論のリンデンバウム-タルスキ代数の表現に対応する。集合体からブール空間に移ると、この関係はいくぶんわかりにくくなる。前順序の集合体をそれ自体のカテゴリとして扱うことで、この深い関係は、トポロジーなしでストーン表現を一般化するカテゴリ理論的双対性として定式化できる。R. ゴールドブラットは、適切な準同型に制限することで、このような双対性を任意の様相代数とクリプキフレームに対して定式化できることを示した。ナチュルマンは、内部代数の場合、この双対性はより一般的な位相同型性に適用され、集合の位相体との双対性を通じてカテゴリ理論的関数を介して因数分解できることを示した。後者は、位相的意味論における S4 理論の文を満たす点の集合を使用して、リンデンバウム-タルスキー代数を表す。前順序は、マッキンゼー-タルスキー位相の特殊化前順序として取得できる。エサキア双対性は、集合体をそれが生成するブール空間に置き換える関数を介して回復できる。代わりに前順序を対応するアレクサンドロフ位相に置き換える関数を介して、集合体としての内部代数の代替表現が得られ、位相はマッキンゼー-タルスキー位相のアレクサンドロフ双反射である。ヨンソン-タルスキーアプローチのストーン位相と前順序のアレクサンドロフ位相の両方を使用して双位相空間を形成し、内部代数の位相的双対性を定式化するアプローチは、G. ベザニシビリ、R. マインズ、および PJ モランディによって研究されている。内部代数のマッキンゼー・タルスキー位相は、前述の 2 つの位相の交差です。

グジェゴルチクは閉包代数の第一階理論が決定不可能であることを証明した。^{[1] [2]}ナトゥールマンは理論が遺伝的に決定不可能（そのすべての部分理論が決定不可能）であることを示し、遺伝的に決定不可能な理論を持つ内部代数の基本クラスの 無限連鎖を示した。

• Blok, WA, 1976, 「内部代数の多様性」、アムステルダム大学博士論文。
• Esakia, L., 2004、「トポロジーによる直観主義論理と様相」、Annals of Pure and Applied Logic 127 : 155-70。
• McKinsey, JCC およびAlfred Tarski、 1944 年、「位相代数」、Annals of Mathematics 45 : 141-91。
• Naturman、CA、1991、「内部代数と位相幾何学」、博士論文、ケープタウン大学数学部。
• Bezhanishvili, G., Mines, R. および Morandi, PJ, 2008, 「閉包代数と Heyting 代数のトポカノニカル完成」, Algebra Universalis 58 : 1-34.
• シュミット、J.、1973、「閉包代数のコンパクト化について」、Fundamenta Mathematicae 79：33-48
• シコルスキー R., 1955,閉包準同型写像と内部写像, Fundamenta Mathematicae 41 : 12-20