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抽象代数において、モナドブール代数は、シグネチャAを持つ代数構造 である。
- ⟨·, +, ', 0, 1, ∃⟩ 型⟨2,2,1,0,0,1⟩ 、
ここで⟨A , ·,+,',0,1⟩はブール代数です。
単項/単項演算子∃ は存在量指定子を表し、次の恒等式を満たします (∃ の受信接頭辞表記法を使用)。
- ∃0 = 0
- ∃x ≥ x
- ∃( x + y ) = ∃x + ∃y
- ∃ x ∃ y = ∃( x ∃ y ) です。
∃ x はxの存在閉包です。∃の双対は単項演算子∀ 、つまり全称量指定子で、 ∀ x := (∃ x ′ ) ′と定義されます。
モナドブール代数には、 ∀ をプリミティブ、 ∃ を定義済みとする双対定義と表記法があり、∃ x := (∀ x ′ ) ′ となります。(これを双対ブール代数の定義と比較してください。) したがって、この表記法では、代数Aはシグネチャ⟨·, +, ', 0, 1, ∀⟩を持ち、 ⟨ A , ·, +, ', 0, 1⟩ は前と同じようにブール代数です。 さらに、 ∀ は上記の恒等式の 次の双対バージョンを満たします。
- ∀1 = 1
- ∀x≤x
- ∀( xy ) = ∀ x ∀ y
- ∀ x + ∀ y = ∀( x + ∀ y )。
∀ x はxの普遍閉包です。
議論
モナディック・ブール代数は位相と重要な関係がある。 ∀ が位相の内部演算子として解釈される場合、上記 (1) ～ (3) に公理 ∀(∀ x ) = ∀ xを加えて、内部代数の公理を構成する。しかし、 ∀(∀ x ) = ∀ x は(1) ～ (4) から証明できる。さらに、モナディック・ブール代数の別の公理化は、内部代数の (再解釈された) 公理に∀(∀ x )' = (∀ x )' を加えて構成される (Halmos 1962: 22)。したがって、モナディック・ブール代数は、次のような半単純内部/閉包代数である。
モナドブール代数のより簡潔な公理化は、上記の(1)と(2)に、∀( x ∨∀ y ) = ∀ x ∨∀ y (Halmos 1962: 21)を加えたものである。この公理化は位相幾何学との関連を不明瞭にする。
モナディック ブール代数は多様体を形成します。モナディック述語論理に対するモナディック ブール代数は、命題論理に対するブール代数と同じであり、一階論理に対する多項式代数と同じものです。ポール ハルモスは多項式代数の研究中にモナディック ブール代数を発見しました。ハルモス (1962) は関連する論文を再版しています。ハルモスとギヴァント (1998) には、モナディック ブール代数の学部生向けの解説が含まれています。
モナディック ブール代数は、様相論理とも重要な関係があります。様相論理S5は、 S4の理論として見ると、 S4 が内部代数のモデルであるのと同じように、モナディック ブール代数のモデルです。同様に、モナディック ブール代数はS5の代数的意味論を提供します。したがって、S5 代数はモナディック ブール代数の 同義語です。
参照
参考文献
- ポール・ハルモス、1962年。『代数論理学』ニューヨーク：チェルシー。
- ------ および Steven Givant、1998 年。「代数としての論理」アメリカ数学協会。