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数学において、エサキア双対性は、ヘイティング代数のカテゴリとエサキア空間のカテゴリとの間の双対同値である。エサキア双対性は、エサキア空間を介してヘイティング代数の順序位相表現を提供する。
Esa がエサキア空間とエサキア射のカテゴリを表すものとします。
H をヘイティング代数とし、 X をHの素数フィルタの集合、≤ をHの素数フィルタ上の集合論的包含を表すものとする。また、各a ∈ Hに対して、φ ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x }とし、τ を{ φ ( a ), X − φ ( a ) : a ∈ H }によって生成されるX上の位相を表すものとする。
定理: [1] ( X , τ , ≤)はエサキア空間であり、Hのエサキア双対と呼ばれる。さらに、φはHから( X , τ ,≤)のすべての閉開集合のヘイティング代数へのヘイティング代数同型である。さらに、各エサキア空間は、 Esaにおいて何らかのヘイティング代数のエサキア双対に同型である。
エサキア空間によるヘイティング代数のこの表現は関数的であり、カテゴリ間の双対同値性をもたらす。
- ヘイティング代数とヘイティング代数準同型のHA
そして
- エサキア空間のエサとエサキア射。
定理: [1] [2] [3] HAはEsaと双対的に同値である。
この双対性はスペクトル空間の観点からも表現することができ、ヘイティング代数のカテゴリはヘイティング空間のカテゴリと双対的に同値であると言える。[4]
参照
参考文献
- ^ ab Esakia, Leo (1974). 「トポロジカルクリプキモデル」.ソビエト数学. 15 (1): 147–151.
- ^ Esakia, L (1985). 「Heyting Algebras I. Duality Theory」.メツニエレバ、トビリシ。
- ^ Bezhanishvili, N. (2006). 中間様相論理と円筒様相論理の束(PDF)アムステルダム論理言語計算研究所 (ILLC). ISBN 978-90-5776-147-8。
- ^ セクション 8.3 を参照 * Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spectral Spaces . New Mathematical Monographs. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/9781316543870. ISBN 9781107146723。