モナド間の分配法則

非公式には、集合上の自由モノイドは「自由半群と単位元」で与えられると言えるでしょう。自由半群と「自由元」ファンクターの両方がモナドであるという事実を利用して、この直感を形式化することができます。^{[ 1 ]}具体的には、モナドを考えてみましょう。

${\displaystyle T(X):=\sum _{n\geq 1}X^{n}}$

${\displaystyle S(X):=X+1}$、

（ここで加算は互いに素な和集合を表す）単位写像は次のように与えられる。

${\displaystyle \eta _{X}^{T}:X\to T(X)}$

$\displaystyle \eta _{X}^{T}(x):=x\in X^{1}}$

${\displaystyle \eta _{X}^{S}:X\to S(X)}$

${\displaystyle \eta _{X}^{S}(x):=x\in X}$。

乗算マップ${\displaystyle \mu _{X}^{S}:X+2\to X+1}$2 の要素を両方とも 1 の要素に送りますが、${\displaystyle T}$の説明はもう少し複雑です。まず、任意の要素が${\displaystyle T(X)}$は、要素の有限（空でない）文字列です。${\displaystyle X}$乗算マップ${\displaystyle T^{2}(X)\to T(X)}$したがって、一連の単語を取り上げる必要があります${\displaystyle X}$1つの単語に。${\displaystyle \mu _{X}^{T}(list)}$すべての（有限個の）単語の連結である${\displaystyle list}$。

分配法則とは${\displaystyle l:TS\to ST}$ここでの意味は？セットについて一言${\displaystyle X+1}$どちらかの単語に${\displaystyle X}$または、${\displaystyle 1}$単位要素を解釈するマップを選択します。${\displaystyle e\in 1}$空の単語として；明示的に：

${\displaystyle l(w)=we,}$

どこ${\displaystyle 私たち}$この単語は${\displaystyle w}$すべてのインスタンスを削除することによって${\displaystyle e}$、 ない限り${\displaystyle w}$すべて${\displaystyle e}$'s、その場合は次のように定義されます。${\displaystyle e\in 1}$要するに、こういうことです。${\displaystyle X}$要素の形式的積として（つまり、自由半群演算として）、${\displaystyle l}$自由に追加された要素をエンコードします${\displaystyle e}$半群に単位元として組み込むことができる（これにより構造はモノイドになる）。定義中のすべての図が可換であることを確認してみよう。

• ${\displaystyle \mu _{T(X)}^{S}\circ S(l_{X})\circ l_{S(X)}=l_{X}\circ T(\mu _{X}^{S})}$

${\displaystyle LHS:w\mapsto (we')\mapsto (we'-e)\mapsto (we'-e)}$

${\displaystyle RHS:w\mapsto w[e/e']\mapsto (w[e/e']-e)}$、

${\displaystyle e,e'}$各コピーの要素である${\displaystyle 1}$で${\displaystyle X+1+1}$、そして${\displaystyle w[e/e']}$単語を表す${\displaystyle w}$あらゆる事例において${\displaystyle e'}$に置き換えられました${\displaystyle e}$。

• $${\displaystyle l_{X}\circ T(\eta _{X}^{S})=\eta _{T(X)}^{S}}$$

${\displaystyle LHS:w\mapsto w\mapsto we}$

${\displaystyle RHS:w\mapsto w}$、

また、次の点に注意してください。${\displaystyle w\in T(X)}$我々は持っています${\displaystyle we=w}$必要に応じて。

• ${\displaystyle S(\mu _{X}^{T})\circ l_{T(X)}\circ T(l_{X})=l_{X}\circ \mu _{S(X)}^{T}}$

${\displaystyle LHS:w\mapsto w[(ve)/v]\mapsto w[(ve)/v]-e\mapsto concat(w[(ve)/v]-e)}$

${\displaystyle RHS:w\mapsto concat(w)\mapsto concat(w)-e}$、

どこ：${\displaystyle concat(w)}$すべての単語の連結です${\displaystyle w}$つまり、乗算${\displaystyle T}$; そして${\displaystyle w[(ve)/v]}$すべての単語を置き換えた結果です${\displaystyle v}$で${\displaystyle w}$と${\displaystyle (ve)}$。

• ${\displaystyle l_{X}\circ \eta _{S(X)}^{T}=S(\eta _{X}^{T})}$

${\displaystyle LHS:(x\in X\ or\ e\in 1)\mapsto (x\ or\ e)\mapsto (x\ or\ e)-e}$

${\displaystyle RHS:(x\ or\ e)\mapsto (x\ or\ e)}$。

要約すると、4つの交換条件は以下の考え方を包含している。

1. 要素の削除${\displaystyle 私たち}$それらをアイデンティティに置き換えるように動作します。${\displaystyle w[e/e']}$。
2. どんな言葉でも${\displaystyle w}$の上${\displaystyle X}$要素を含んでいません${\displaystyle e}$、 それで${\displaystyle we=w}$。 言い換えると、${\displaystyle X+1}$それはまさに不一致な結合である。
3. 単語のリスト${\displaystyle w=(v_{1},...,v_{n})}$インスタンスを削除する${\displaystyle e}$で${\displaystyle v_{i}}$残っている「空の単語」をすべて削除します。${\displaystyle v_{i}=e}$そして、結果として得られたリストを連結すると、最初に連結した場合と同じ結果が得られます。${\displaystyle v_{1}v_{2}...v_{n}}$そしてすべてのインスタンスを削除する${\displaystyle e}$。
4. ${\displaystyle xe=x}$既に２で説明したとおり、${\displaystyle ee=e}$つまり、私たちは解釈すべきです${\displaystyle e}$空虚な言葉として。

^{これはベック[ 2 ]}が最初に挙げた例であり、「分配法則」という用語の由来となっている。2つのモナドを考えてみよう。${\displaystyle G,M:{\mathbf {Set}}\to {\mathbf {Set}}}$セットを送信する${\displaystyle X}$それぞれ自由可換群とその上の自由モノイド（の基礎となる集合）に対して。形式群演算を加算、モノイド演算を乗算とみなす。この場合、両方の合成群は${\displaystyle GM}$そして${\displaystyle MG}$自由環ファンクターを与える。自由環が分配法則を持つという事実を利用できる。${\displaystyle MG\to GM}$それがモナドでもあることを示すため。

G の M に対する分配法則は、和の積 (つまり要素) が${\displaystyle M(G(X))}$) は、積の合計 (要素) と同一視できます。${\displaystyle G(M(X))}$) と表記することに注意してください。${\displaystyle G(X)}$添加基は、${\displaystyle M(X)}$乗法モノイド - 通常の慣例とは異なります。次のセクションを参照してください。

の場合${\displaystyle T=S}$分配法則マップは以下のように簡略化される。${\displaystyle K:T^{2}\Rightarrow T^{2}}$また、追加の条件を課すこともできる。${\displaystyle K}$BD法則と呼ばれる${\displaystyle T}$もし：

（D）${\displaystyle K}$これは分配法則であり、

（B）ヤン・バクスター方程式を満たす：

${\displaystyle K_{T(X)}\circ T(K_{X})\circ K_{T(X)}=T(K_{X})\circ K_{T(X)}\circ T(K_{X})}$

（地図として）${\displaystyle T^{3}(X)\to T^{3}(X)}$)

BD法則は、乗算がBCD法則である場合に成立する。${\displaystyle T}$は "${\displaystyle K}$-可換」とは、

（C）${\displaystyle \mu _{X}^{T}\circ K_{X}=\mu _{X}^{T}}$

（地図として）${\displaystyle T^{2}(X)\to T(X)}$)

条件(B)は、文字通りモノイドオブジェクト上で定義されたヤン・バクスター方程式であるため、ヤン・バクスター方程式と呼ばれます。${\displaystyle T:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}}$は、上の自己関手のカテゴリーにおけるモノイドとみなされる。${\displaystyle {\mathbf {C}}}$[ ^{4 ]​}

のために${\displaystyle P}$代数と​${\displaystyle C}$共有体上の余代数${\displaystyle k}$それらの絡み合いは線形マップである${\displaystyle \psi :C\otimes P\to P\otimes C}$必要とされる条件と同様の条件を満たすことは、${\displaystyle \psi }$分配法則。具体的には、交換法則の図式。${\displaystyle CCP\to PC}$それは、仮説上の乗算によって誘発されるだろう${\displaystyle CC\to C}$は に置き換えられます${\displaystyle C\otimes P\to P\otimes C\otimes C}$コ乗法によって誘発される${\displaystyle C\to C\otimes C}$;同様に、三角形の図${\displaystyle P\to PC}$タイプの 1 つに置き換えられます${\displaystyle C\otimes P\to P\otimes k}$共単位によって誘発される。^{[ 5 ]}