FOIL法

初等代数学において、FOILは2つの二項式を乗算する標準的な方法の覚え方である^{[ 1 ]}。そのため、この方法はFOIL法と呼ばれることがある。FOILという単語は、積の4つの項の頭文字をとったものである。

• まず（各二項式の「最初の」項同士を掛け合わせる）
• 外側の項（つまり、最初の二項式の最初の項と2番目の二項式の2番目の項を掛け合わせる）
• 内側の項（最初の二項式の第2項と2番目の二項式の第1項を掛け合わせる）
• L最後（各二項式の「最後の」項を掛け合わせる）

一般形は

${\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.}$

aは「最初の」項であり「外側の」項でもあることに注意してください。bは「最後の」項であり「内側の」項でもある、といった具合です。和における4つの項の順序は重要ではなく、FOILという単語の文字の順序と一致する必要はありません。

FOIL 法は、分配法則を使用して代数式を乗算するより一般的な方法の特殊なケースです。FOILという言葉は、もともと代数を学ぶ高校生のための記憶術としてのみ意図されていました。この用語は、ウィリアム・ベッツの 1929 年のテキストAlgebra for Todayに登場し、彼は次のように述べています。 ^{[ 2 ]}

…最初の項、外側の項、内側の項、最後の項。（上記の規則は、first、outer、inner、lastの頭文字をとってFOILという単語で覚えることもできます。）

ウィリアム・ベッツは当時、アメリカ合衆国における数学改革運動に積極的に参加し、初等数学に関する多くのテキストを執筆し、「数学教育の改善に生涯を捧げた」人物であった。^{[ 3 ]}

現在、米国の多くの学生や教育者は「FOIL」という言葉を「2つの二項式の積を展開する」という意味の動詞として使用しています。^{[ 4 ]}

この方法は、線形二項式の乗算に最もよく使用されます。たとえば、

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}}$

二項式のどちらかに減算が含まれる場合、対応する項は負にする必要があります。たとえば、

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}}$

FOIL法は分配法則を含む2段階のプロセスに相当します。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}}$

最初のステップでは、( c + d ) を最初の二項式の加算に分配します。2番目のステップでは、分配法則を用いて2つの項をそれぞれ簡略化します。このプロセスでは、分配法則を合計3回適用する必要があることに注意してください。FOIL法とは対照的に、分配法則を用いる方法は、三項式やそれ以上の項を持つ積にも容易に適用できます。

FOILルールは、2つの二項式の積を4つ（または同類項をまとめればそれ以下）の単項式の和に変換します。^{[ 6 ]}逆のプロセスは因数分解と呼ばれます。特に、上記の証明を逆から読むと、グループ化による因数分解と呼ばれる手法が示されています。

FOILの覚え方を、項数が任意の2つの多項式に置き換える視覚的な記憶ツールがあります。まず、最初の多項式の項を左端に、2番目の多項式の項を上端に表に書き出し、その表に積を記入します。FOILの法則に相当する表は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}}$

これらが多項式( ax + b )( cx + d )の場合、与えられた次数の項は、反対角線に沿って加算することによって求められます。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}}$

それで${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

( a + b + c )( w + x + y + z )を乗算する場合、表は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}}$

表の各項目の合計は、多項式の積に等しい。したがって、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}}$

同様に、( ax ² + bx + c )( dx ³ + ex ² + fx + g )を乗算するには、同じ表を作成します。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &dx^{3}&ex^{2}&fx&g\\\hline ax^{2}&adx^{5}&aex^{4}&afx^{3}&agx^{2}\\bx&bdx^{4}&bex^{3}&bfx^{2}&bgx\\c&cdx^{3}&cex^{2}&cfx&cg\end{array}}}$

そして、反対対角線に沿った合計値：

${\displaystyle {\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}}$

FOILルールは、被乗数が2つ以上ある積や、被乗数が被加数が2つ以上ある積の展開には直接適用できません。しかし、結合法則と再帰的FOIL法を適用することで、そのような積を展開することができます。例えば、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}}$

配布に基づく代替方法はFOILルールの使用を回避しますが、覚えやすく適用しやすい場合があります。例：

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}}$

• 二項定理
• 因数分解

• Steege, Ray; Bailey, Kerry (1997). Schaum's Outline of Theory and Problems of Intermediate Algebra . Schaum's Outline Series. New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-060839-9。