非公式には、地理的な場所を指定するということは、通常、その場所の緯度 と経度 を示すことを意味します。緯度と経度の数値は、さまざまな単位や形式で表すことができます。[ 2 ] [ 3 ]
六十進法 ：度 、分 、秒 ：北緯40度26分46秒、西経79度58分56秒度と分（小数点表記）：40° 26.767′ N 79° 58.933′ W または 40° 26'.767 N 79° 58'.933 W または 40° 26'767 N 79° 58'933 W 十進度数：+40.446 -79.982（「+」記号は通常省略されます） 慣例として、経度が 100° 未満の場合は 3 桁、緯度が 10° 未満の場合は 2 桁、分と秒が 10' または 10 '' 未満の場合は 2 桁を使用するというものがあります。これは、値に関係なく、数字を順番に読み取るときに混乱するリスクを減らすために行われます。たとえば、05° 09' 01 '' S 008° 03' 02 '' Eなどです。
これらの形式ではスペースが省略されることがあり、上記の書式のバリエーションがよく見られます。[ 3 ] '26''123N000°00'04'' 902W などです。
1度は60分、1分は60秒です。したがって、度分秒形式から十進度形式に変換するには、次の式を使用できます。 d e c 私 m 1 l d e g r e e s = d e g r e e s + m 私 n u t e s 60 + s e c o n d s 3600 。 {\displaystyle {\rm {{decimal\ degrees}={\rm {{degrees}+{\frac {\rm {minutes}}{60}}+{\frac {\rm {seconds}}{3600}}.}}}}}
十進度形式から度分秒形式に変換するには、 1 b s D e g r e e s = | d e c 私 m 1 l d e g r e e s | f l o o r A b s D e g r e e s = ⌊ 1 b s D e g r e e s ⌋ d e g r e e s = サイン （ d e c 私 m 1 l d e g r e e s ） × f l o o r A b s D e g r e e s m 私 n u t e s = ⌊ 60 × （ 1 b s D e g r e e s − f l o o r A b s D e g r e e s ） ⌋ s e c o n d s = 3600 × （ 1 b s D e g r e e s − f l o o r A b s D e g r e e s ） − 60 × m 私 n u t e s {\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {absDegrees}}&=|{\rm {{decimal\ degrees}|}}\\{\rm {floorAbsDegrees}}&=\lfloor {\rm {{absDegrees}\rfloor }}\\{\rm {degrees}}&=\operatorname {sgn}({\rm {{decimal\ degrees})\times {\rm {floorAbsDegrees}}}}\\{\rm {minutes}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})\rfloor }}}}\\{\rm {seconds}}&=3600\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})-60\times {\rm {minutes}}}}}}\\\end{aligned}}} 1 b s D e g r e e s {\displaystyle {\rm {absDegrees}}} f l o o r A b s D e g r e e s {\displaystyle {\rm {floorAbsDegrees}}}
座標系の変換 座標系変換とは、同じ測地基準面を基準とした、ある座標系から別の座標系への変換のことです。一般的な変換作業としては、測地座標系と地球中心地球固定座標系（ECEF ）間の変換や、ある地図投影法から別の地図投影法への変換などがあります。
ECEF座標から測地座標へ
経度の変換 ECEF座標から経度への変換は次のとおりです。 λ = アタン2 （ Y 、 X ） 。 {\displaystyle \lambda =\operatorname {atan2} (Y,X).} atan2 は象限分解アークタンジェント関数です。地心経度と測地経度は同じ値になります。これは、地球やその他の同様の形状の惑星が自転軸を中心に大きな回転対称性 を持っているためです（一般化については、三軸楕円体経度を参照してください）。
4次方程式κ {\displaystyle \kappa } フェラーリの解法 [ 12 ] [ 13 ] ζ = （ 1 − e 2 ） z 2 1 2 、 ρ = 1 6 （ p 2 1 2 + ζ − e 4 ） 、 s = e 4 ζ p 2 4 ρ 3 1 2 、 t = 1 + s + s （ s + 2 ） 3 、 u = ρ （ t + 1 + 1 t ） 、 v = u 2 + e 4 ζ 、 w = e 2 u + v − ζ 2 v 、 κ = 1 + e 2 u + v + w 2 + w u + v 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}}
利用可能な技術やアルゴリズムは数多くあるが、Zhu [ 14 ]によれば、最も正確なのは Heikkinen [ 15 ] { 1 、 b 、 e } {\displaystyle \{a,\,b,\,e\}} 1 = 6378137.0 地球の赤道半径（メートル） b = 6356752.3142 地球の極半径（メートル） e 2 = 1 2 − b 2 1 2 e ′ 2 = 1 2 − b 2 b 2 p = X 2 + Y 2 F = 54 b 2 Z 2 G = p 2 + （ 1 − e 2 ） Z 2 − e 2 （ 1 2 − b 2 ） c = e 4 F p 2 G 3 s = 1 + c + c 2 + 2 c 3 k = s + 1 + 1 s P = F 3 k 2 G 2 Q = 1 + 2 e 4 P r 0 = − P e 2 p 1 + Q + 1 2 1 2 （ 1 + 1 Q ） − P （ 1 − e 2 ） Z 2 Q （ 1 + Q ） − 1 2 P p 2 U = （ p − e 2 r 0 ） 2 + Z 2 V = （ p − e 2 r 0 ） 2 + （ 1 − e 2 ） Z 2 z 0 = b 2 Z 1 V h = U （ 1 − b 2 1 V ） ϕ = アークタン [ Z + e ′ 2 z 0 p ] λ = arctan2 [ Y 、 X ] {\displaystyle {\begin{aligned}a&=6378137.0{\text{ m. Earth Equatorial Radius}}\\[3pt]b&=6356752.3142{\text{ m. Earth Polar Radius}}\\[3pt]e^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]p&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fp^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]k&=s+1+{\frac {1}{s}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3k^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}p}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pp^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{p}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}}
注：arctan2 [Y, X] は、4象限逆正接関数です。
パワーシリーズ 小さいe 2 κ = ∑ 私 ≥ 0 α 私 e 2 私 {\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}} α 0 = 1 ; α 1 = 1 Z 2 + p 2 ; α 2 = 1 Z 2 Z 2 + p 2 + 2 1 2 p 2 2 （ Z 2 + p 2 ） 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}
測地座標からローカル接平面 （ENU ）座標への変換は、2段階のプロセスで行われます。
測地座標をECEF座標に変換する ECEF座標をローカルENU座標に変換する
ECEFからENUへ ECEF座標からローカル座標に変換するには、ローカル基準点が必要です。通常、これはレーダーの位置になります。レーダーが次の場所に設置されている場合{ X r 、 Y r 、 Z r } {\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}} { X p 、 Y p 、 Z p } {\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}} [ x y z ] = [ − 罪 λ r コス λ r 0 − 罪 ϕ r コス λ r − 罪 ϕ r 罪 λ r コス ϕ r コス ϕ r コス λ r コス ϕ r 罪 λ r 罪 ϕ r ] [ X p − X r Y p − Y r Z p − Z r ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}
注記： ϕ {\displaystyle \ \phi } は測地緯度 地心緯度は 垂直方向 を表すのに不適切であるため、必要に応じて変換する 必要があります。
ENUからECEFへ これは単にECEFからENUへの変換の逆なので [ X p Y p Z p ] = [ − 罪 λ r − 罪 ϕ r コス λ r コス ϕ r コス λ r コス λ r − 罪 ϕ r 罪 λ r コス ϕ r 罪 λ r 0 コス ϕ r 罪 ϕ r ] [ x y z ] + [ X r Y r Z r ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{p}\\Y_{p}\\Z_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}\\\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}\\0&\cos \phi _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}
地図投影法間の変換 同じ測地系を参照する異なる地図投影法間での座標と地図位置の変換は、ある投影法から別の投影法への直接変換式によって行うか、またはまずある投影法から別の投影法に変換することによって行うことができます。A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} テクニカル マニュアル 8358.1 [ 16 ] USGS の 論文Map Projections: A Working Manual [ 17 ]などの参考文献には、地図投影の変換式が記載されています。DoD および NGA がサポートする GEOTRANS プログラム [ 18 ]
測地系Aから測地系 B へ地理座標を変換するための様々な経路測地系間の変換は、さまざまな方法で行うことができます。測地座標をある測地系から別の測地系に直接変換する変換があります。また、測地座標をECEF座標に変換し、ECEF座標をある測地系から別の測地系に変換し、新しい測地系のECEF座標を測地座標に戻すという、より間接的な変換もあります。さらに、ある（測地系、地図投影法）ペアから別の（測地系、地図投影法）ペアに直接変換するグリッドベースの変換もあります。
モロデンスキー変換は、異なる測地系の測地座標系を、地心座標（ECEF）への変換という中間ステップを経ずに直接変換します。[ 25 ]
モロデンスキー変換は、国家地理空間情報局 （NGA）の標準規格TR8350.2およびNGAがサポートするGEOTRANSプログラムで使用されています。[ 26 ]
グリッドベースの方法 位置の関数としてのNAD27とNAD83基準間の位置ずれの大きさ。 グリッドベースの変換は、ある (地図投影法、測地基準系) ペアの地図座標を別の (地図投影法、測地基準系) ペアの地図座標に直接変換します。例として、北米測地系 (NAD) 1927 から NAD 1983 測地系への変換を行う NADCON 方式があります。[ 27 ] NTv2 ) は、NAD 1927 と NAD 1983 間の変換を行う NADCON のカナダ版です。HARN は、NAD 83/91 および高精度グリッドネットワーク (HPGN) としても知られています。[ 28 ]
多重回帰方程式変換と同様に、グリッドベースの手法では、地図座標を変換するために低次の補間法を使用しますが、3 次元ではなく 2 次元です。NOAA は、NADCON 変換を実行するためのソフトウェア ツール (NGS 測地ツールキットの一部として) を提供しています。[ 29 ] [ 30 ]
重回帰方程式 経験的多重回帰 法を用いた測地系変換は、標準的なモロデンスキー変換よりも小さな地理的領域でより高い精度の結果を得るために作成されました。MRE変換は、大陸規模またはそれより小さい地域のローカル測地系をWGS 84などのグローバル測地系に変換するために使用されます。[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]
MREは、中間ECEFステップを経ない測地座標の直接変換です。測地座標ϕ B 、 λ B 、 h B {\displaystyle \phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}} B {\displaystyle B} 多項式 としてモデル化される。ϕ A 、 λ A 、 h A {\displaystyle \phi _{A},\,\lambda _{A},\,h_{A}} A {\displaystyle A} ϕ B {\displaystyle \phi _{B}} に パラメータ 化できる 。9 Δ ϕ = 1 0 + 1 1 U + 1 2 V + 1 3 U 2 + 1 4 U V + 1 5 V 2 + ⋯ {\displaystyle \Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots }
1 私 、 {\displaystyle a_{i},} U = K （ ϕ A − ϕ m ） V = K （ λ A − λ m ） {\displaystyle {\begin{aligned}U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m})\\\end{aligned}}} K 、 {\displaystyle K,} ϕ m 、 λ m 、 {\displaystyle \phi _{m},\,\lambda _{m},} A 。 {\displaystyle A.} 同様の方程式でΔ λ {\displaystyle \Delta \lambda } Δ h {\displaystyle \Delta h} （ A 、 B ） {\displaystyle (A,\,B)}
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dc78a19342c8264fdeea46d3761d5048983e44)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dbb6327e6c7251271822b903e1a424dcb7d6fba)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=6378137.0{\text{ m. 地球の赤道半径}}\\[3pt]b&=6356752.3142{\text{ m.地球極半径}}\\[3pt]e^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]p&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fp^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]k&=s+1+{\frac {1}{s}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3k^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}p}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pp^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(pe^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(pe^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{p}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be544e96dd79b7154c99bff5436ed63603e8e8e1)
