解析関数の逆関数のテイラー展開の公式
数学的解析 において 、 ラグランジュの逆定理（ ラグランジュ・ビュルマンの公式 とも呼ばれる）は、 解析関数 の 逆関数 の テイラー級数 展開を与える。ラグランジュの逆定理は、 逆関数定理 の特殊なケースである 。
声明 zが w の関数として 次の式で
定義されていると します。
ず = ふ （ わ ）
{\displaystyle z=f(w)}
ここで、 fは 点 a において解析的であり、 w について方程式を 逆変換 または 解くこと ができ、それをべき級数で表すこと が できる [ 1]
ふ ′
（ 1つの ） ≠ 0.
{\displaystyle f'(a)\neq 0.}
わ = グ （ ず ）
{\displaystyle w=g(z)}
グ （ ず ） = 1つの +
∑
ん = 1
∞
グ
ん
（ ず − ふ （ 1つの ）
）
ん
ん ！
、
{\displaystyle g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(zf(a))^{n}}{n!}},}
どこ
グ
ん
=
リム
わ → 1つの
d
ん − 1
d
わ
ん − 1
[
（
わ − 1つの
ふ （ わ ） − ふ （ 1つの ）
）
ん
]
。
{\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {wa}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}
定理はさらに、この級数が非ゼロの収束半径を持つこと、すなわち、 の 近傍 における z の解析関数を表すことを述べています。 これは 級数の反転 とも呼ばれます。
グ （ ず ）
{\displaystyle g(z)}
ず = ふ （ 1つの ） 。
{\displaystyle z=f(a).}
解析性に関する主張を省略すると、この式は 形式的な冪級数 に対しても有効であり、さまざまな方法で一般化できます。つまり、複数の変数を持つ関数に対して定式化できます。また、任意の解析関数 Fに対して F ( g ( z )) の簡単な式を提供するように拡張できます。さらに、 逆関数 g が多値関数である
場合に一般化できます。
ふ ′
（ 1つの ） = 0 、
{\displaystyle f'(a)=0,}
この定理はラグランジュ [2] によって証明され 、 ハンス・ハインリヒ・ビュルマン [3] [4] [5] によって一般化された 。いずれも 18 世紀後半である。 複素解析 と 輪郭積分 [6] を用いた直接的な導出がある。複素形式冪級数バージョンは 多項式 の公式を知っていることの帰結であり、 解析関数 の理論 を適用することができる。実際には、解析関数の理論の仕組みはこの証明において形式的な方法でのみ導入される。つまり、本当に必要なのは 形式的留数 [ 7] のある特性であり、より直接的な形式的 証明 が利用可能である。実際、ラグランジュの逆定理には、木を数える議論や帰納法を用いたものなど、かなり異なる証明がいくつか追加されている。 [7] [8] [9]
f が 形式的冪級数で
ある場合 、上記の式は、合成逆級数 gの係数を級数 f の係数で直接与えるものではない 。関数 f と g を 形式的冪級数で次のように
表すことができる場合、
ふ （ わ ） =
∑
け = 0
∞
ふ
け
わ
け
け ！
そして
グ （ ず ） =
∑
け = 0
∞
グ
け
ず
け
け ！
{\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}}
f 0 = 0 かつ f 1 ≠ 0 のとき、逆係数の明示的な形式は ベル多項式 で与えられる ： [10]
グ
ん
=
1
ふ
1
ん
∑
け = 1
ん − 1
（ − 1
）
け
ん
け ¯
B
ん − 1 、 け
（
ふ ^
1
、
ふ ^
2
、 … 、
ふ ^
ん − け
） 、 ん ≥ 2 、
{\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\overline {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{nk}),\quad n\geq 2,}
どこ
ふ ^
け
=
ふ
け + 1
（ け + 1 ）
ふ
1
、
グ
1
=
1
ふ
1
、
そして
ん
け ¯
= ん （ ん + 1 ） ⋯ （ ん + け − 1 ）
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ および}}\\n^{\overline {k}}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}}
は上昇階乗 です 。
f 1 = 1 のとき、最後の式は 連想面体 の面の観点から解釈できる [11]
グ
ん
=
∑
ふ
の顔
け
ん
（ − 1
）
ん − 薄暗い ふ
ふ
ふ
、 ん ≥ 2 、
{\displaystyle g_{n}=\sum _{F{\text{ }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F} の面,\quad n\geq 2,}
ここで、 連想面体の 各面について
ふ
ふ
=
ふ
私
1
⋯
ふ
私
メートル
{\displaystyle f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}}
ふ =
け
私
1
× ⋯ ×
け
私
メートル
{\displaystyle F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}}
け
ん
。
{\displaystyle K_{n}.}
例 例えば、 p次の代数方程式
x
p
− x + ず = 0
{\displaystyle x^{p}-x+z=0}
は関数 f ( x ) = x − x p のラグランジュ逆関数公式を用いてx について解くことができ 、形式的な級数解が得られる。
x =
∑
け = 0
∞
（
p け
け
）
ず
（ p − 1 ） け + 1
（ p − 1 ） け + 1
。
{\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}
収束テストにより、この級数は実際に に対して収束し、これは f の局所逆を 定義できる最大の円でもある。
|
z
|
≤
(
p
−
1
)
p
−
p
/
(
p
−
1
)
,
{\displaystyle |z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)},}
アプリケーション
組合せ論 で使われるラグランジュの逆定理の特別な場合があり 、 が を満たす 解析的な場合に適用さ れ、 を得る と 、逆定理 （ を満たす ）に対して、次式が得られます。
f
(
w
)
=
w
/
ϕ
(
w
)
{\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}
ϕ
(
w
)
{\displaystyle \phi (w)}
ϕ
(
0
)
≠
0.
{\displaystyle \phi (0)\neq 0.}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
f
(
a
)
=
f
(
0
)
=
0.
{\displaystyle f(a)=f(0)=0.}
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
f
(
g
(
z
)
)
≡
z
{\displaystyle f(g(z))\equiv z}
g
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
[
lim
w
→
0
d
n
−
1
d
w
n
−
1
(
(
w
w
/
ϕ
(
w
)
)
n
)
]
z
n
n
!
=
∑
n
=
1
∞
1
n
[
1
(
n
−
1
)
!
lim
w
→
0
d
n
−
1
d
w
n
−
1
(
ϕ
(
w
)
n
)
]
z
n
,
{\displaystyle {\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}}
これは次のようにも書ける。
[
z
n
]
g
(
z
)
=
1
n
[
w
n
−
1
]
ϕ
(
w
)
n
,
{\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}
ここで、は w の関数のテイラー級数における の係数を抽出する演算子です 。
[
w
r
]
{\displaystyle [w^{r}]}
w
r
{\displaystyle w^{r}}
この式の一般化は ラグランジュ・ビュルマンの式 として知られています。
[
z
n
]
H
(
g
(
z
)
)
=
1
n
[
w
n
−
1
]
(
H
′
(
w
)
ϕ
(
w
)
n
)
{\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})}
ここで、 H は 任意の解析関数です。
導関数 H ′ ( w ) は、非常に複雑になることがあります。より簡単なバージョンでは、 H ′ ( w ) を H ( w )(1− φ ′ ( w )/ φ ( w )) に置き換えて、
[
z
n
]
H
(
g
(
z
)
)
=
[
w
n
]
H
(
w
)
ϕ
(
w
)
n
−
1
(
ϕ
(
w
)
−
w
ϕ
′
(
w
)
)
,
{\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}
これは H ′ ( w ) の代わりに φ ′ ( w ) を使います。
ランバート わ 関数 ランバート W 関数は、次の式によって暗黙的に定義される
関数である。
W
(
z
)
{\displaystyle W(z)}
W
(
z
)
e
W
(
z
)
=
z
.
{\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}
この定理を使って、のテイラー級数を計算 する こと が でき ます 。
W
(
z
)
{\displaystyle W(z)}
z
=
0.
{\displaystyle z=0.}
f
(
w
)
=
w
e
w
{\displaystyle f(w)=we^{w}}
a
=
0.
{\displaystyle a=0.}
d
n
d
x
n
e
α
x
=
α
n
e
α
x
,
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},}
これにより
W
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
[
lim
w
→
0
d
n
−
1
d
w
n
−
1
e
−
n
w
]
z
n
n
!
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
z
n
n
!
=
z
−
z
2
+
3
2
z
3
−
8
3
z
4
+
O
(
z
5
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}}
この級数の 収束半径は （ ランバート 関数の
主枝を与える）である。
e
−
1
{\displaystyle e^{-1}}
（近似的に） 収束する級数は 級数の逆変換によっても導出できる。この関数は 次式を満たす。
|
ln
(
z
)
−
1
|
<
4
+
π
2
{\displaystyle |\ln(z)-1|<{4+\pi ^{2}}}
2.58
…
⋅
10
−
6
<
z
<
2.869
…
⋅
10
6
{\displaystyle 2.58\ldots \cdot 10^{-6}<z<2.869\ldots \cdot 10^{6}}
f
(
z
)
=
W
(
e
z
)
−
1
{\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1}
1
+
f
(
z
)
+
ln
(
1
+
f
(
z
)
)
=
z
.
{\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.}
をべき 級数に展開して逆行列をとることができる。 [12] これにより、
z
+
ln
(
1
+
z
)
{\displaystyle z+\ln(1+z)}
f
(
z
+
1
)
=
W
(
e
z
+
1
)
−
1
:
{\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}}
W
(
e
1
+
z
)
=
1
+
z
2
+
z
2
16
−
z
3
192
−
z
4
3072
+
13
z
5
61440
−
O
(
z
6
)
.
{\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).}
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
は、上記の級数のz を 代入することで計算できる 。例えば、 z に -1を 代入すると、
ln
x
−
1
{\displaystyle \ln x-1}
W
(
1
)
≈
0.567143.
{\displaystyle W(1)\approx 0.567143.}
バイナリツリー [13]のラベルなし 二分木 の 集合 を考えてみましょう 。の要素は サイズ0の葉か、2つの部分木を持つルートノードのいずれかです。ノード 上の二分木の数を で表します 。
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
B
n
{\displaystyle B_{n}}
n
{\displaystyle n}
ルートを削除すると、2分木は2つの小さな木に分割されます。これにより、生成関数の関数方程式が得られます。
B
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
B
n
z
n
:
{\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}
B
(
z
)
=
1
+
z
B
(
z
)
2
.
{\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}
とすると 、次の式が得られる 。 を に適用すると、次の式が 得
られる。
C
(
z
)
=
B
(
z
)
−
1
{\displaystyle C(z)=B(z)-1}
C
(
z
)
=
z
(
C
(
z
)
+
1
)
2
.
{\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}
ϕ
(
w
)
=
(
w
+
1
)
2
{\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}
B
n
=
[
z
n
]
C
(
z
)
=
1
n
[
w
n
−
1
]
(
w
+
1
)
2
n
=
1
n
(
2
n
n
−
1
)
=
1
n
+
1
(
2
n
n
)
.
{\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}
これは、 が n 番目の カタラン数 であることを示しています 。
B
n
{\displaystyle B_{n}}
積分の漸近近似 ラプラス型積分の漸近近似を与えるラプラス・エルデイの定理では、関数の反転が重要なステップとして扱われます。
参照
参考文献
^ M. Abramowitz、IA Stegun 編 (1972)。「3.6.6. ラグランジュの展開」。数式、グラフ、および数表付き数学関数ハンドブック。ニューヨーク: ドーバー。p. 14。 ^ ラグランジュ、ジョゼフ＝ルイ (1770)。 「新しい方法で、一連の流れを再構築する」。 Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin : 251–326。 https://archive.org/details/uvresdelagrange18natigoog/page/n13 (注: ラグランジュは 1768 年にこの論文を提出しましたが、1770 年まで出版されませんでした。) ^ Bürmann、Hans Heinrich、「Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum」、1796 年にフランス国立研究所に提出。この記事の概要については、 Hindenburg、Carl Friedrich 編を参照してください。 （1798年）。 「Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges von Herrn Bürmann」 [単純化された分析の試み。ビュルマン氏による要約の抜粋]。 Archiv der reinen und angewandten Mathematik [ 純粋数学と応用数学のアーカイブ ]。 Vol. 2. ライプツィヒ、ドイツ: Schäferischen Buchhandlung。 495–499ページ。 ^ Bürmann、Hans Heinrich、「Formules du développement, de retour et d'integration」、フランス国立研究所に提出。ビュルマンの原稿は、パリのエコール・ナショナル・デ・ポン・エ・ショセ［国立橋と道路学校］のアーカイブに残されている。 (メッセージ 1715 を参照してください。) ^ Joseph-Louis Lagrange と Adrien-Marie Legendre によるビュルマンの定理に関する報告書は次のとおりです。「Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann」、 Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques 、vol. 2、13～17ページ（1799年）。 ^ ET Whittaker と GN Watson 。 『現代分析の講義』 。ケンブリッジ大学出版局、第 4 版 (1927 年 1 月 2 日)、pp. 129–130 ^ リチャード、スタンレー（2012）。 列挙的組合せ論。第1巻 。 ケンブリッジ研究上級数学。第49巻。ケンブリッジ： ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-1-107-60262-5 . MR 2868112。 ^ Ira, Gessel (2016)、「ラグランジュ反転」、 Journal of Combinatorial Theory、シリーズ A 、 144 : 212–249、 arXiv : 1609.05988 、 doi :10.1016/j.jcta.2016.06.018、 MR 3534068 ^ Surya, Erlang; Warnke, Lutz (2023)、「帰納法によるラグランジュ逆変換公式」、 アメリカ数学月刊誌 、 130 (10): 944–948、 arXiv : 2305.17576 、 doi :10.1080/00029890.2023.2251344、 MR 4669236 ^ 式 (11.43)、p. 437、CA Charalambides、 列挙的組合せ論、 Chapman & Hall / CRC、2002 ^ アギア、マルセロ;アルディラ、フェデリコ（2017）。 「ホップモノイドと一般化された順列面体」。 arXiv : 1709.07504 [math.CO]。 ^ Corless, Robert M.; Jeffrey, David J.; Knuth, Donald E. (1997 年 7 月)。「Lambert W 関数の級数列」。1997 年国際記号計算および代数計算シンポジウムの議事録 。pp. 197–204。doi :10.1145/258726.258783。 ^ ハリス、ジョン; ハースト、ジェフリー L.; モッシングホフ、マイケル (2008). 組合せ論とグラフ理論 . シュプリンガー. pp. 185–189. ISBN 978-0387797113 。
外部リンク 
![{\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {wa}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f950df2aa1b50a9a612bebf83ec1f477ccb2a43c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5534819ee0b0478ccf4baae31dab5749253581)
![{\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40dd3c72c1981bf5a581dcb634c8b7a131d63d4a)
![{\displaystyle [w^{r}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce2885e02f3ac6762327f4c1ff160679cc1b6fe)
![{\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{ n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe99606ed984e3e1545a7b0286a4b13caef3a18)
![{\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07399d0d90c11fcf93f6f1cef65d93f5c91e0b9e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=zz^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9eba73ae41225b61bae9e161eb01ccef58ba92)
![{\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={ \frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ba46e7a5afc13aa8efe81f91c521b2a342fd73)