ヒルベルト級数とヒルベルト多項式

可換代数において、体上で有限生成された次数付き可換代数のヒルベルト関数、ヒルベルト多項式、およびヒルベルト級数は、代数の同次成分の次元の増加を測る、密接に関連した3つの概念である。

これらの概念は、フィルター代数、これらの代数上の次数付きまたはフィルター付きモジュール、および射影スキーム上のコヒーレント層に拡張されています。

これらの概念が用いられる典型的な状況は以下のとおりです。

• 多変数多項式環の 同次イデアルによる商環で、総次数によって次数が付けられている。
• 多変数多項式環のイデアルによる商を、総次数でフィルタリングしたもの。
• 局所環をその最大イデアルのべき乗で濾過すること。この場合、ヒルベルト多項式はヒルベルト・サミュエル多項式と呼ばれる。

代数または加群のヒルベルト級数は、次数付きベクトル空間のヒルベルト・ポアンカレ級数の特殊な場合である。

ヒルベルト多項式とヒルベルト級数は、計算代数幾何学において重要である。なぜなら、これらは明示的な多項式方程式で定義される代数多様体の次元と次数を計算する最も簡単な方法として知られているからである。さらに、これらは代数多様体の族に対して有用な不変量を提供する。なぜなら、平坦な族は${\displaystyle \pi :X\to S}$任意の閉点上で同じヒルベルト多項式を持つ${\displaystyle s\in S}$これは、ヒルベルトスキームとクォートスキームの構築に使用されます。

体K上の有限生成次数付き可換代数Sを考えます。これは、正の次数を持つ要素によって有限生成されます。これは、

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

そしてそれは${\displaystyle S_{0}=K}$。

ヒルベルト関数

${\displaystyle HF_{S}:n\longmapsto \dim _{K}S_{n}}$

整数n をKベクトル空間S _nの次元に写像する。ヒルベルト級数（より一般的な次数付きベクトル空間の設定ではヒルベルト・ポアンカレ級数と呼ばれる）は形式級数である。

${\displaystyle HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)t^{n}.}$

Sが正の次数を持つh個の同次要素によって生成される場合$d_1, ..., d_h$すると、ヒルベルト級数の和は有理数になる。

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}\left(1-t^{d_{i}}\right)}},}$

ここで、Qは整数係数を持つ多項式である。

Sが次数1の要素によって生成される場合、ヒルベルト級数の和は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}},}$

ここで、Pは整数係数の多項式であり、${\displaystyle \delta }$はSのクルル次元です。

この場合、この有理分数の級数展開は次のようになります。

${\displaystyle HS_{S}(t)=P(t)\left(1+\delta t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}t^{n}+\cdots \right)}$

どこ

${\displaystyle {\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}={\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}}$

は、​${\displaystyle n>-\delta ,}$それ以外の場合は0となる。

もし

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},}$

係数$t^n$で${\displaystyle HS_{S}(t)}$したがって

${\displaystyle HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}.}$

のために${\displaystyle n\geq i-\delta +1,}$この和の添え字iの項は、 nの次数 の多項式である。${\displaystyle \delta -1}$先頭係数付き${\displaystyle a_{i}/(\delta -1)!.}$これは、一意の多項式が存在することを示している。${\displaystyle HP_{S}(n)}$有理係数を持つ、それは${\displaystyle HF_{S}(n)}$nが十分に大きい場合、この多項式はヒルベルト多項式であり、次の形式をとります。

${\displaystyle HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}n^{\delta -1}+{\text{ n の低次の項。}$

最小のn ₀で、${\displaystyle HP_{S}(n)=HF_{S}(n)}$n ≥ n ₀の場合、ヒルベルト正則性と呼ばれる。これは以下よりも低い可能性がある。${\displaystyle \deg P-\delta +1}$。

ヒルベルト多項式は次元が整数であるため数値多項式ですが、係数が整数になることはほとんどありません（Schenck 2003 、pp. 41）。 

これらの定義はすべて、 S上の有限生成次数付き加群に拡張できます。唯一の違いは、ヒルベルト級数に因子t ^mが現れることです。ここでmは加群の生成元の最小次数であり、負の値をとることもあります。

フィルター付き代数のヒルベルト関数、ヒルベルト級数、ヒルベルト多項式は、対応する次数付き代数のものと同じである。

P ⁿにおける射影多様体Vのヒルベルト多項式は、Vの同次座標環のヒルベルト多項式として定義される。

多項式環とその同次イデアルによる商環は、典型的な次数付き代数である。逆に、Sが体K上で次数 1 のn個の同次元g ₁ , ..., g _nによって生成される次数付き代数である場合、 X _{i を}g _iに写す写像は、次数付き環の準同型を定義する。${\displaystyle R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$S上に。その核は同次イデアルIであり、これは次数付き代数の同型を定義します。${\displaystyle R_{n}/I}$そしてS。​

したがって、次数1の要素によって生成される次数付き代数は、同型を除いて、同次イデアルによる多項式環の商環と完全に一致する。そのため、本稿の残りの部分は、イデアルによる多項式環の商環に限定して論じる。

ヒルベルト級数を用いると、代数多様体の次数を、ヒルベルト級数の分子の1における値として計算できる。これはまた、ベズーの定理の比較的簡単な証明にもなる。

射影代数集合の次数とヒルベルト級数の関係を示すために、同次イデアルの零点の集合として定義される射影代数集合Vを考えます。${\displaystyle I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ここでkは体であり、${\displaystyle R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$代数集合上の正則関数の環とする。

この節では、代数集合の既約性やイデアルの素数性は必要ない。また、ヒルベルト級数は係数体の拡張によって変化しないため、一般性を失うことなく、体k は代数的に閉じていると仮定する。

Vの次元dはRのクルル次元から 1 を引いた値に等しく、 Vの次数は、 Vと次の交点の数 (重複度を考慮して数える) である。${\displaystyle d}$一般位置にある超平面。これは、Rにおいて正則な数列が存在することを意味する。${\displaystyle h_{0},\ldots ,h_{d}}$次数が 1 の同次多項式のd + 1個からなる。正則数列の定義は、完全数列の存在を意味する。

${\displaystyle 0\longrightarrow \left(R/\langle h_{0},\ldots ,h_{k-1}\rangle \right)^{[1]}{\stackrel {h_{k}}{\longrightarrow }}R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k-1}\rangle \longrightarrow R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k}\rangle \longrightarrow 0,}$

のために${\displaystyle k=0,\ldots ,d.}$これは、

${\displaystyle HS_{R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }(t)=(1-t)^{d}\,HS_{R}(t)={\frac {P(t)}{1-t}},}$

どこ${\displaystyle P(t)}$はRのヒルベルト級数の分子です。

指輪${\displaystyle R_{1}=R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }$クルル次元は1であり、射影代数集合の正則関数の環である。${\displaystyle V_{0}}$次元が0で、有限個の点（複数点の場合もある）から構成される。${\displaystyle h_{d}}$は規則的な数列に属し、これらの点のいずれも方程式の超平面には属さない。${\displaystyle h_{d}=0.}$この超平面の補空間は、${\displaystyle V_{0}.}$これにより${\displaystyle V_{0}}$アフィン代数集合は、${\displaystyle R_{0}=R_{1}/\langle h_{d}-1\rangle }$正則関数の環として。線形多項式${\displaystyle h_{d}-1}$は零因子ではない${\displaystyle R_{1},}$こうして正確な数列が得られる

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{1}{\stackrel {h_{d}-1}{\longrightarrow }}R_{1}\longrightarrow R_{0}\longrightarrow 0,}$

これはつまり

${\displaystyle HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}}(t)=P(t).}$

ここでは、フィルター付き代数のヒルベルト級数と、次数付き代数のヒルベルト級数がフィルター付き代数としてのヒルベルト級数でもあるという事実を利用しています。

したがって${\displaystyle R_{0}}$はアルティン環であり、次元P (1)のkベクトル空間である。ジョルダン・ヘルダーの定理を用いて、 P (1)が代数集合Vの次数であることを証明することができる。実際、点の重複度は、合成列における対応する極大イデアルの出現回数である。

ベズーの定理を証明するには、同様の手順で進めることができる。${\displaystyle f}$次数が の同次多項式である${\displaystyle \delta }$Rの零因子ではない正確な数列

${\displaystyle 0\longrightarrow R^{[\delta ]}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/\langle f\rangle \longrightarrow 0,}$

示しているのは

${\displaystyle HS_{R/\langle f\rangle }(t)=\left(1-t^{\delta }\right)HS_{R}(t).}$

分子に着目すると、これはベズーの定理の次の一般化を証明する。

定理- fが次数 の同次多項式である場合${\displaystyle \delta }$がRの零因子でない場合、 Vと、で定義される超曲面との交点の次数は${\displaystyle f}$Vの次数と${\displaystyle \delta .}$

より幾何学的な形で表現すると、これは次のように言い換えることができます。

定理- 次数dの射影超曲面が次数δの代数集合の既約成分を一切含まない場合、それらの交差の次数はdδである。

通常のベズーの定理は、1つの超曲面から始めて、それをn -1個の他の超曲面と順番に交差させることで容易に導き出すことができる。

射影代数集合は、その定義イデアルが正則列によって生成される場合、完全交差である。この場合、ヒルベルト級数には単純な明示的な公式が存在する。

させて${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$k個の同次多項式${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$それぞれの学位${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{k}.}$設定${\displaystyle R_{i}=R/\langle f_{1},\ldots ,f_{i}\rangle ,}$1つは、以下の正確なシーケンスを持つ。

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;R_{i-1}^{[\delta _{i}]}\;{\xrightarrow {f_{i}}}\;R_{i-1}\;\rightarrow \;R_{i}\;\rightarrow \;0\,.}$

ヒルベルト級数の加法性は、次のことを意味する。

${\displaystyle HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{\delta _{i}})HS_{R_{i-1}}(t)\,.}$

単純な再帰により

${\displaystyle HS_{R_{k}}(t)={\frac {(1-t^{\delta _{1}})\cdots (1-t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n}}}={\frac {(1+t+\cdots +t^{\delta _{1}-1})\cdots (1+t+\cdots +t^{\delta _{k}-1})}{(1-t)^{n-k}}}\,.}$

これは、 k個の多項式の正則列によって定義される完全交差の余次元がkであり、その次数が列内の多項式の次数の積であることを示している。

次数付き正則環R上のすべての次数付き加群Mは、ヒルベルトのシジジー定理により次数付き自由分解を持ち、つまり完全列が存在する。

${\displaystyle 0\to L_{k}\to \cdots \to L_{1}\to M\to 0,}$

どこで${\displaystyle L_{i}}$は次数付き自由加群であり、矢印は次数0の次数付き線形写像である。

ヒルベルト級数の加法性は、

${\displaystyle HS_{M}(t)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).}$

もし${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$は多項式環であり、基底要素の次数がわかっている場合、${\displaystyle L_{i},}$すると、前のセクションの式から、${\displaystyle HS_{M}(t)}$から${\displaystyle HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}.}$実際、これらの式は、次数付き自由加群L が次数hの同次要素の基底を持つ場合、${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{h},}$すると、そのヒルベルト級数は

${\displaystyle HS_{L}(t)={\frac {t^{\delta _{1}}+\cdots +t^{\delta _{h}}}{(1-t)^{n}}}.}$

これらの公式は、ヒルベルト級数を計算する方法と見なせるかもしれない。しかし、既知のアルゴリズムでは、ヒルベルト級数の計算と自由分解の計算は同じグレブナー基底から始まるため、実際にはそのようなケースは稀である。グレブナー基底からヒルベルト級数を直接計算することができ、その計算複雑度は自由分解の計算複雑度よりも高くない。

ヒルベルト多項式は、ヒルベルト級数から容易に導出できます（上記参照）。このセクションでは、多項式環の商環を、総次数でフィルタリングまたは等級付けした場合のヒルベルト級数の計算方法について説明します。

したがって、Kを体とする。${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$を多項式環とし、I をRのイデアルとする。HをIの要素の次数が最も高い同次部分によって生成される同次イデアルとする。Iが同次であれば、H = Iとなる。最後に、B を全次数部分順序を細分化する単項式順序のためのIのGröbner 基底とし、G をBの要素の先頭単項式によって生成される (同次) イデアルとする。

ヒルベルト級数の計算は、フィルター代数 R/I と次数付き代数 R/H および R/G が同じヒルベルト級数を持つという事実に基づいています。

このように、ヒルベルト級数の計算は、グレブナー基底の計算を通して、単項式によって生成されるイデアルに関する同じ問題に帰着され、これは通常、グレブナー基底の計算よりもはるかに容易です。計算全体の複雑さは、主に正則性、すなわちヒルベルト級数の分子の次数に依存します。実際、グレブナー基底は、正則性によって制限される次数の多項式上の線形代数によって計算できます。

ヒルベルト級数とヒルベルト多項式の計算は、ほとんどの数式処理システムで利用可能です。例えば、MapleとMagmaでは、これらの関数はそれぞれHilbertSeriesとHilbertPolynomialという名前です。

代数幾何学では、次数1の要素によって生成される次数付き環は、Proj構成によって射影スキームを生成する一方、有限生成次数付き加群は連接層に対応する。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は射影スキームX上の連接層であり、 のヒルベルト多項式を定義する。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$関数として${\displaystyle p_{\mathcal {F}}(m)=\chi (X,{\mathcal {F}}(m))}$ここで、χは連接層のオイラー標数であり、${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)}$セールのひねり。この場合のオイラー標数は、グロタンディークの有限性定理により明確に定義された数である。

この関数は確かに多項式です。^{[ 1 ]} mが大きい場合、dimと一致します。${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}}(m))}$セールの消滅定理により、Mが有限生成次数付き加群で、${\displaystyle {\tilde {M}}}$関連する連接層において、ヒルベルト多項式の2つの定義は一致する。

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